Đáp án môn toán khối D - 2007

Đáp án môn toán khối D - 2007

1/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007Môn: TOÁN, khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) Ta có 2x 2y2.x1 x1==−++ • Tập xác định: D = \{ 1}−\. • Sự biến thiên: 22y' 0, x D.(x 1)=>∀∈+ 0,25 Bảng biến thiên 0,25 • Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 1, tiệm cận ngang y = 2. 0,25 • Đồ thị: 0,25 2 Tìm tọa độ điểm M … (1,00 điểm) Vì ()MC∈ nên 0002xMx; .x1⎛⎞⎜⎟+⎝⎠ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: ()( )()()20000220002x 2x2yy'x xx y x .x1x1 x1=−+⇔= ++++ ()()2200202xAx;0,B0; .x1⎛⎞⎜⎟⇒−⎜⎟+⎝⎠ 0,25 Từ giả thiết ta có: ()2200202x1.x2x1− =+ 2002002x x 1 02x x 1 0.⎡+ +=⇔⎢− −=⎢⎣001x2x1⎡=−⎢⇔⎢=⎣ 0,50 yx −∞ 1− +∞ y' + + +∞2 −∞2yOx 21− 2/4 Với 01x2=− ta có 1M;22⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠. Với 0x1= ta có ()M1;1. Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1M;22⎛⎞− −⎜⎟⎝⎠ và ()M1;1. 0,25 II 2,00 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 11sinx 3cosx 2 cosx62π⎛⎞++ =⇔ −=⎜⎟⎝⎠ 0,50 ()xk2,x k2k.26ππ⇔=+π=−+π ∈Z 0,50 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (1,00 điểm). Đặt ()11xu,yvu2,v2.xy+= += ≥ ≥ Hệ đã cho trở thành: ()33uv5uv5uv 8 mu v 3 u v 15m 10+=⎧+=⎧⎪⇔⎨⎨= −+− += −⎩⎪⎩ 0,25 u,v⇔là nghiệm của phương trình: 2t5t8m− += (1). Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm 12tt,tt== thoả mãn: 12t2,t 2≥≥ (t1, t2 không nhất thiết phân biệt). Xét hàm số ()2ft t 5t 8=−+ với t2≥: Bảng biến thiên của ()ft: 0,50 Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 7m24≤ ≤ hoặc m22≥. 0,25 III 2,00 1 Viết phương trình đường thẳng d . (1,00 điểm) Tọa độ trọng tâm: ()G 0;2;2 . 0,25 Ta có: () ( )OA 1; 4; 2 , OB 1; 2; 4==−JJJG JJJG. Vectơ chỉ phương của d là: ( ) ( )n 12; 6;6 6 2; 1;1 .=−= −G 0,50 Phương trình đường thẳng d: xy2z2.211− −==− 0,25 2 Tìm tọa độ điểm M . (1,00 điểm) Vì ()MM1t;2t;2t∈∆⇒ − − + 0,25 t −∞ 2− 2 5/2 +∞ ()f' t − − 0 + ()ft 22+∞ 7/4 2+∞ 3/4 ()( )()()()()( )22 222222MA MB t 6 t 2 2t 2 t 4 t 4 2t⇒+=+−+−+−++−+− ()2212t 48t 76 12 t 2 28.=−+=−+ 22MA MB+ nhỏ nhất t2.⇔= 0,50 Khi đó ( )M1;0;4.− 0,25 IV 2,00 1 Tính tích phân (1,00 điểm) Đặt 4232lnx xu ln x,dv x dx du dx, v .x4==⇒= = Ta có: eee4423 3111x1 e1I .ln x x ln xdx x ln xdx.42 42=− =−∫∫ 0,50 Đặt 43dx xulnx,dvxdx du ,v .x4==⇒== Ta có: eeee4443341111x1e13e1x ln xdx ln x x dx x .44 416 16+=−=−=∫∫ Vậy 45e 1I.32−= 0,50 2 Chứng minh bất đẳng thức (1,00 điểm) Bất đẳng thức đã cho tương đương với ()()( ) ( )abbaabln 1 4 ln 1 414 14 .ab+++≤+⇔ ≤ 0,50 Xét hàm ()()xln 1 4fxx+= với x0.> Ta có: ()( ) ( )()xx x x2x4ln4 1 4 ln1 4f' x 0x14−+ += <+ ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng ( )0; .+∞ Do f(x) nghịch biến trên ( )0;+∞ và ab0≥> nên ( ) ( )fa fb≤ và ta có điều phải chứng minh. 0,50 V.a 2,00 1 Tìm hệ số của x5 (1,00 điểm) Hệ số của x5 trong khai triển của ()5x1 2x− là ()4452.C.− Hệ số của x5 trong khai triển của ()102x13x+ là 33103.C . 0,50 Hệ số của x5 trong khai triển của ()()5102x1 2x x 1 3x−++ là ()44335102 C 3 .C 3320.−+= 0,50 2 Tìm m để có duy nhất điểm P sao cho tam giác PAB đều (1,00 điểm) (C) có tâm ()I1; 2− và bán kính R3.= Ta có: PAB∆ đều nên IP 2IA 2R 6=== ⇔ P thuộc đường tròn ( )C' tâm I, bán kính R' 6.= 0,50 Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với ()C' tại P ( )d I;d 6 m 19, m 41.⇔=⇔==− 0,50 4/4 V.b 2,00 1 Gii phng trỡnh logarit (1,00 im) iu kin: x4.2 3 0.>Phng trỡnh ó cho tng ng vi: ()( )2xx x22log 4 15.2 27 log 4.2 3++= ( )2xx5. 2 13.2 6 0 = 0,50 xx22523== Do x20> nờn x23= 2xlog3= (tha món iu kin). 0,50 2 Chng minh SCDvuụng v tớnh khong cỏch t H n (SCD) (1,00 im) Gi I l trung im ca AD. Ta cú: IA = ID = IC = a CD AC. Mt khỏc, CD SA. Suy ra CD SC nờn tam giỏc SCD vuụng ti C. 0,50 Trong tam giỏc vuụng SAB ta cú: 22 222222SH SA SA 2a 2SB 3SB SA AB 2a a= ===++ Gi d1 v 2d ln lt l khong cỏch t B v H n mt phng (SCD) thỡ 2211dSH 2 2dd.dSB3 3=== Ta cú: B.SCDBCD1SCD SCD3VSA.Sd.SS== 2BCD11SAB.BCa.22== 22222SCD11SSC.CDSAABBC.ICID22==++ +2a2.= Suy ra 1ad.2= Vy khong cỏch t H n mt phng (SCD) l: 212add.33= = 0,50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định. ----------------Ht---------------- SAB CD HI . đáp án mà vẫn đúng thì đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định. -- -- - -- - -- - -- - -- Ht -- - -- - -- - -- - -- - - SAB CD HI . Gi d1 v 2d ln lt l khong cỏch t B v H n mt phng (SCD) thỡ 2211dSH 2 2dd.dSB3 3=== Ta cú: B.SCDBCD1SCD SCD3VSA.Sd.SS== 2BCD11SAB.BCa.22== 22222SCD11SSC.CDSAABBC.ICID22==++