HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN – VÒNG II (Dùng cho các thí sinh dự thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 1 1 1 − − + − − −= x x x x xx xP a) Rút gọn P. b) Tìm Nx ∈ sao cho N P ∈ 2 (N là tập hợp các số tự nhiên). Câu 2 (2 điểm): a) Giải phương trình: 1123234 =−+++ xxx b) Giải hệ phương trình: += += += 12 12 12 2 2 2 xz zy yx Câu 3 (2 điểm): a) Cho hai phương trình x 2 + 2mx + mn - 1 = 0 và x 2 - 2nx + m + n = 0 (ẩn x, tham số m, n). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. b) Người ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để tạo thành một số mới có ba chữ số. Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (được tạo thành) và mẫu số là số có hai chữ số ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị nguyên của các tỉ số trên. Câu 4 (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O; R) (B, C là hai tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai E. a) Chứng minh rằng tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB. b) Đường thẳng BE cắt AC tại M. Chứng minh rằng MA = MC. Câu 6 (1 điểm): Cho các số 2009 số thực dương 1 2 2009 , , ,a a a thoả mãn 1 2 2009 1a a a = . Tính tổng: 1 1 2 1 2 3 2008 2 2 3 2 3 4 2009 3 3 4 3 4 5 2009 1 2009 2009 1 2009 1 2 2007 1 1 1 1 1 1 . 1 1 S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký của giám thị 1: Họ và tên, chữ ký của giám thị 2: ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN – VÒNG II (Đề thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Hướng dẫn chấm gồm 3 trang I Hướng dẫn chung. 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn. 2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm. 3. Tuyệt đối không là tròn điểm. II. Hướng dẫn chi tiết. Câu 1 ( 2 điểm): a. (1 điểm): Điều kiện ≠ ≥ 1 0 x x ( ) ( ) = − − − − ++− −= − − + − − −= 22 1 1 1 )1)(1( 1 1 1 1 1 1 x x x x xxx x x x x x xx xP ( )( ) ( )( ) 1 1 1 11 1 1 11 2 2 2 −= − − +−= − − +++−= x x x xx x x xxxx . b. (1 điểm): Ta có QxQPN P ∈⇒∈⇒∈ 2 . Giả sử 222 1)1),(,0,,( axbbaaxbbabNba b a x =⇒=⇒⇒=⇒=≠∈= Khi đó 1 22 − = aP , do đó = = ⇔ = = ⇔ =− =− ⇔ >− − ⇔∈ 9 4 3 2 21 11 01 )1(2 2 x x a a a a a a N P 0,25 0,25 0,5 0,25 0.25 0,5 Câu 2 (2 điểm): a. (1 điểm): Điều kiện: 2 3 3 ≤≤− x 1 0123 023 0)123()23( 0)123223()4343( 023234111123234 22 =⇔ =−− =−− ⇔ =−−+−+⇔ =+−−−+++−+⇔ =−−+−−⇔=−+++ x x x xx xxxx xxxxxx b. (1 điểm): Với mọi Ra ∈ , ta có aaa 210)1( 22 ≥+⇒≥− , đẳng thức xảy ra khi a = 1. Do đó yxyyx ≥⇒≥+= 212 2 , zyzzy ≥⇒≥+= 212 2 , 2 2 1 2z x x z x= + ≥ ⇒ ≥ 1x y z⇒ = = = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm 1=== zyx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0.25 Câu 3 (2 điểm): a (1 điểm): x 2 + 2mx + m(n + 1) = 0 (1) mmnmnmm −−=+−=∆ 22' 1 )1( x 2 - 2nx + n – 1 = 0 (2) 1)1( 22' 2 +−=−−=∆ nnnn ( ) Rnmnmnmnmmnnm ∈∀≥−+−+−=+−−−+=∆+∆⇒ ,,0)1()1()( 2 1 1 22222' 2 ' 1 . Suy ra trong hai số ' 1 ∆ và ' 2 ∆ có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng không. Suy ra trong hai phương trình (1) và (2) có ít nhất phương trình có nghiệm. 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1 điểm): Giả sử ab là số tự nhiên có hai chữ số ( { } 0,9; ;2;1;0, ≠∈ aba ). Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số a, b ta được số có ba chữ số ba0 Đặt ba ba ab ba k + + == 10 1000 . Ta chứng minh: 105 ≤< k . Thật vậy: * 0)10(1010010 ≥⇔+≤+⇔≤ bbabak mà 100 ≤⇒≥ kb , k = 10 khi b = 0. * bababak 450)10(51005 >⇔+>+⇔> mà 59,1 >⇒≤≥ kba Với k nguyên thì 6 ≥ k . Dễ thấy với a = 1, b = 8 thì k = 6. Kết luận: Giá trị lớn nhất cần tìm là 10 và giá trị nhỏ nhất cần tìm là 6. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4 (1 điểm): • Khi ABCD là hình chữ nhật. Áp dụng định lí Pi ta go ⇒ ĐFCM • Khi ABCD không là hình chữ nhật. Không mất tính tổng quát giả sử DAB > 90 0 . Kẻ AH vuông góc với CD tại H và DK vuông góc với AB tại K. Suy ra H thuộc đoạn CD và K thuộc tia đối của tia AB và AHDK là hình chữ nhật. Theo định lí Pi ta go ta có: DHCDDHCDAHDHCDAHCHAHAC .2)( 22222222 −++=−+=+= Mà DHCDCDADACDHAHAD .2 222222 −+=⇒+= Tương tự DHCDABBCAKABABADBD .2.2 22222 ++=++= 222222 DACDBCABBDAC +++=+⇒ . 0.25 0.25 0.25 0.25 A B C H D K Câu 5 (2 điểm): a. (1 điểm): Gọi K là giao điểm của CE và AB, Cx là tia đối của tia CA. Ta có: · · · KEA CED DCx= = ( · · ,KEA CED đối đỉnh, · · ,CED DCx cùng chắn cung » CD ) · · · · 0 180KBE BEC BDC BCA= − = = ( · · ,KBE BEC kề bù, tứ giác BCED nội tiếp) BD//AC ⇒ · · BCA DCx= ⇒ · · KEA KEB= Vậy EK là phân giác góc · AEB . b. (1 điểm): Xét hai tam giác MBC và MCE, ta có: ¶ M chung và · · CBM ECM= ⇒ ∆ MBC và ∆ MCE đồng dạng MBMEMC MC MB ME MC . 2 =⇒=⇒ (1) Xét hai tam giác ABM và EAM, ta có: ¶ M chung, · 1 2 EAM = (sđ » CD - sđ » CE ) · 1 2 ABM = sđ » BE = 2 1 (sđ » BC - sđ » CE ), mà » » · · BC CD ABM EAM= ⇒ = ⇒ hai tam giác ABM và EAM đồng dạng MBMEMA MA MB ME MA . 2 =⇒=⇒ (2) Từ (1) và (2) ⇒ MA = MC. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Câu 7 (1 điểm) : Vì 1 2 2009 1a a a = , ta có: • 2 2 3 2 3 4 2009 2 2 3 2 3 4 2008 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + + + + + + + + + • 3 3 4 3 4 5 2009 1 3 3 4 3 4 5 2008 3 4 5 2009 1 1 2 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 2 3 2009 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2008 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = + + + + + + + + + + …………………………………………. 0.25 0.25 B D CMA K O x E • 1 2 2008 2009 2009 1 2009 1 2 2007 1 1 2 1 2 3 2008 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + 1S⇒ = 0.25 0.25 . HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN – VÒNG II (Dùng cho. của giám thị 1: Họ và tên, chữ ký của giám thị 2: ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: TOÁN – VÒNG