thi hoc ky 2 2010-2011

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN : TOÁN - LỚP 11 Thời gian làm bài : 90 phút  Phần chung (6 điểm)  Bài 1 : (2 điểm) Tính các giới hạn sau : a/ x 2 2 x - 2x - x + x lim 5x - 1 →−∞ ; b/ x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x + 1 - 2 Bài 2 : (1 điểm) Cho hàm số f(x) = 2 2 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 ; x > 3 2x - 5x - 3 2 a + ax - x ; x 3 21      ≤   . Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 3 Bài 3 : (2 điểm) Tìm các đạo hàm sau : a/ y = x 6 - x ; b/ 2 cos(2x +1) y = x Bài 4 : (1 điểm) Cho đồ thị (H) : x + 2 y = 2x -1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm có tung độ bằng - 2 Phần riêng (Dành cho học sinh lớp ( 11T) (4 điểm) Bài 5 : (4 điểm) Cho hình chóp SABC . SC ⊥ (ABC) , ABC là tam giác vuông cân tại A , I là trung điểm của BC .H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Cho biết : SA = a 2 2 , AB = AC = a a) Chứng minh rằng : (SAB) ⊥ (SAC) (1đ) b) Chứng minh rằng : AI ⊥ (SBC) (1đ) c) Tính số đo của góc tạo bởi AB và (SBC) (1đ) d) Tính số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) (1đ) Phần riêng (Dành cho học sinh lớp ( 11A + 11C2) (4 điểm) Bài 5 : (4 điểm) Cho hình chóp SABC . SA ⊥ (ABC) , ABC là tam giác đều cạnh a . I , K lần lượt là trung điểm của BC , AC. H là hình chiếu vuông góc của B lên SC , SA = a 2 2 . G là trọng tâm của tam giác ABC và L là trực tâm tam giác SBC a) Chứng minh rằng : SB ⊥ (CGL) (1đ) b) Chứng minh rằng : GL ⊥ (SBC) (1đ) c) Tính số đo của góc tạo bởi SB và (SAC) (1đ) d) Tính số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) (1đ) ĐÁP ÁN Phần chung (6 điểm) Bài 1 : Tính các giới hạn a) x 2 2 x - 2x - x + x lim 5x - 1 →−∞ = x 2 1 x 1 - + x 1 + x x lim 1 x(5 - ) x →−∞ − ……………(0,5) = x 2 1 1 - + 1 + x x lim 1 5 - x →−∞ − = 0………….(0,5) Bài 2 : f(x) = 2 2 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 ; x > 3 2x - 5x - 3 2 a + ax - x ; x 3 21      ≤   . f(3) = a 2 + 3a - 6 7 - x 3 lim → f(x) = - x 3 lim → (a 2 + ax – 2 21 x 2 ) ………(0.25) = a 2 + 3a - 6 7 + x 3 lim → f(x) = + x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x - 3 = + x 3 lim → 2 (x - 3)(2x + x + 1) (x - 3)(2x + 1) … (0,25) = + x 3 lim → 2 2x + x + 1 2x + 1 = 22 7 ….(0,25) f liên tục tại x = 3⇔f(3) = - x 3 lim → f(x) = + x 3 lim → f(x) ⇔ a 2 + 3a - 6 7 = 22 7 ⇔ a 2 + 3a – 4 = 0 ⇔ a = 1 ∨ a = - 4 (0,25) b/ x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x + 1 - 2 = x 3 lim → 2 2 2 (x-3)(2x +x+1)( 2x -5x+1+2) 2x -5x-3 … (0,5) = x 3 lim → 2 2 (2x + x + 1)( 2x - 5x + 1 + 2) 2x + 1 = 88 7 ……………………………………….(0,5) Bài 3 : Tìm các đạo hàm a/ y = x 6 - x y’ = x '. 6 - x + x.( 6 - x)' y’ = (6 - x)' 6 - x + x. 2 6 - x (0.5) y’ = 2(6 - x) - x 2 6 - x = 12 - 3x 2 6 - x (0.5) Bài 4 : (H) : x + 2 y = f(x) = 2x -1 ( ) ( ) ' ' ' 2 x + 2 (2x -1) - (2x -1) (x + 2) y = 2x -1 ' 2 -5 y = (2x -1) (0.25) Gọi M o (x ; 2)− ∈ (H) ⇔ o o x + 2 -2 = 2x -1 ⇔ o o 4x 2 x 2− + = + ⇔ o x 0= (0.25) f ’(0) = - 5 (0.25) PT tiếp tuyến của (H) tại điểm M(0 ; - 2) là : y = - 5x - 2 (0.25) b/ 2 cos(2x +1) y = x 2 ' ' 2 ' 2 (cos(2x +1)) .x - x .cos(2x +1) y = x …… (0.5) 2 2 2 ' 2 -4x .sin(2x +1)- cos(2x +1) y = x ……….(0.5) S C A B I S A G B L H C K H I Phần riêng cơ bản (4 điểm) Phần riêng nâng cao (4 điểm) a/ (SAB) ⊥ (SAC) SC ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) ⇒AB⊥SC (0,25) AB ⊥ SC và AB ⊥ AC ⇒ (SAC) ⊥ AB… (0,5) (SAC) ⊥ AB và AB ⊂ (SAB) ⇒ (SAC) ⊥ (SAB) (0,25) a/ SB ⊥ (CGL) SA ⊥ (ABC) và CG ⊂ (ABC) ⇒CG⊥SA (0,25) CG SA CG AB ⊥   ⊥  ⇒CG ⊥ (SAB)⇒CG ⊥ SB (0,5) CG ⊥ SB và CL ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (CGL) (0,25) b/ AI ⊥ (SBC) (ABC) ⊥ SC và AI ⊂(ABC) ⇒ SC ⊥ AI (0,25) Tam giác ABC vuông cân tai A và I là trung điểm của BC ⇒ AI⊥ BC (0,25) AI ⊥ BC và AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ (SBC) (0,5) b/ GL ⊥ (SBC) SB ⊥ (CGL) (cmt) ⇒ SB ⊥ GL (0,25) Chứng minh tương tự câu a/ có : BG ⊥ (SAC) ⇒BG⊥SC, mà BL ⊥ SC nên SC⊥(BGL) (0,25) SC ⊥ (BGL) ⇒ SC ⊥ GL (0,25) SB ⊥ GL và SC ⊥ GL ⇒ GL ⊥ (SBC) (0.25) c/ Tính số đo của góc tạo bởi SA và (SBC) Gọi ϕ là góc tạo bởi SA và (SBC) AI ⊥ (SBC) ⇒ hình chiếu vuông góc của SA lên mp(SBC) là SI (0,25) Mà AI ⊥ (SBC) và SI ⊂ (SBC) ⇒ AI ⊥ SI . Suy ra ϕ = · ASI (0,25) ∆ ABC vuông cân tại A có AB = AC = a ⇒ BC = a 2 và AI = BC a 2 = 2 2 (0,25) ∆SAI vuông tại I ⇒ · AI 1 sin ASI = = SA 2 ⇒ 1 sin = 2 ϕ ⇒ ϕ = 30 o (0,25) c/ Tính số đo của góc tạo bởi SB và (SAC) Gọi ϕ là góc tạo bởi SB và (SAC) BG ⊥ (SAC) tại K ⇒ hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC) là SK (0,25) Mà BK⊥ (SAC) và SK ⊂ (SAC) ⇒ BK ⊥ SK . Suy ra ϕ = · BSK (0,25) BK là đường cao của tam giác đều ABC cạnh a ⇒ BK= a 3 2 ; SK= 2 2 a 3 SA AK 2 + = (0.25) ⇒∆SBK vuông cân tại K ⇒ ϕ = 45 o (0,25) d) Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) Có BK ⊥ SC (vì BK ⊥ (SAC)) và BH ⊥ SC ⇒ (BHK) ⊥ SC (SBC) (SAC) SC (BHK) SC (BHK) (SAC) KH (BHK) (SBC) BH ∩ =   ⊥   ∩ =   ∩ =  ⇒góc tạo bởi (SAC) và (SBC) là góc tạo bởi BH và KH (0.25) Gọi θ là góc tạo bởi (SAC) và (SBC) Tam giác BHK vuông tại K (vì BK ⊥ (SAC) và KH ⊂ (SAC) ⇒ BK⊥KH) Suy ra · BHKθ = (0.25) SA ⊥ BC và AI ⊥ BC ⇒ SI ⊥ BC Tính được : SI= a 5 2 và SC = a 6 2 (0.25) Trong∆SBC:BH.SC=SI.BC⇒BH= a 5 6 (0.25) · BK 3 10 sin sin BHK BH 10 θ = = = Vậy · 3 10 BHK arcsin( ) 10 θ = = (0.25) d) Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) Có AI ⊥ SB (vì AI ⊥ (SBC)) và AH ⊥ SB ⇒ (AHI) ⊥ SB (SBC) (SAB) SB (AHI) SB (AHI) (SAB) AH (AHI) (SBC) HI ∩ =   ⊥   ∩ =   ∩ =  ⇒góc tạo bởi (SAB) và (SBC) là góc tạo bởi AH và HI (0.25) Gọi θ là góc tạo bởi (SAB) và (SBC) Tam giác AHI vuông tại I (vì AH ⊥ (SBC) và HI ⊂ (SBC) ⇒ AH⊥HI) Suy ra · AHIθ = (0.25) Tam giác SAB vuông tại A(vì AB ⊥ (SAC) và SA ⊂ (SBC) ⇒ AB ⊥ SA) có AH là đường cao SA = a 2 và AB = a ⇒ SB = a 3 AH.SB = SA.AB ⇒ AH = a 6 3 …………(0.25) · AI 3 sin sin AHI AH 2 θ = = = Vậy · o AHI 60θ = = (0.25) . 3 lim → f(x) ⇔ a 2 + 3a - 6 7 = 22 7 ⇔ a 2 + 3a – 4 = 0 ⇔ a = 1 ∨ a = - 4 (0 ,25 ) b/ x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x + 1 - 2 = x 3 lim → 2 2 2 (x-3)(2x +x+1)( 2x -5x+1 +2) 2x -5x-3 …. 1 →−∞ ; b/ x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x + 1 - 2 Bài 2 : (1 điểm) Cho hàm số f(x) = 2 2 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 ; x > 3 2x - 5x - 3 2 a + ax - x ; x 3 21      ≤   . Tìm. 3 lim → f(x) = + x 3 lim → 3 2 2 2x - 5x - 2x - 3 2x - 5x - 3 = + x 3 lim → 2 (x - 3)(2x + x + 1) (x - 3)(2x + 1) … (0 ,25 ) = + x 3 lim → 2 2x + x + 1 2x + 1 = 22 7 ….(0 ,25 ) f liên tục tại x