ĐỀ: Câu I (2 điểm): Tính các giới hạn sau: a) 2 2 5 2 lim 3 n n n + − ; c) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x → + ÷ − − ; c) 2 3 7 12 lim 3 x x x x → − + − . Câu II (1,5 điểm): Cho hàm số f(x) = − ≠ − + = 3 1 1 1 2 1 1 x khi x x m khi x Xác định m để hàm số liên tục tại x 0 = 1 Câu III (2,5 điểm): 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = sin 3 (2x + 1); b) 2 5 3 1 x y x x − = + + . 2. Cho hàm số: y = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 xcos 2 x. Chứng minh rẳng: y’ = 0. Câu IV (1điểm): Cho hàm số: 1 ( )y f x x = = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C). Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x + 4y – 8 = 0. Câu V: (3 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. gọi O là tâm của đáy ABCD. a) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥(SBD) và (SBD)⊥(ABCD). b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD). c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC. BÀI LÀM …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………… CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM I a) 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 ) 5 5 2 lim lim lim 5 3 3 3 (1 ) 1 n n n n n n n n n + + + = = = − − − 0,5 b) 2 3 2 2 1 1 1 1 3 1 3 ( 1)( 2) lim lim lim 1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x x x x → → → + + − − + + = = = ÷ − − − + + − + + 0,25 0,25 0,25 c) 2 3 3 7 12 ( 3)( 4) lim lim 1 3 3 x x x x x x x x → → − + − − = = − − − 0,25 0,25 0,25 II Ta có: • f(1) = 2m + 1 • 3 2 2 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) limf ( ) lim lim lim( 1) 3 1 1 x x x x x x x x x x x x x → → → → − − + + = = = + + = − − Hàm số liên tục tại x 0 = 1 1 limf ( ) f(1) x x → ⇔ = 2 1 3 1m m⇔ + = ⇔ = 0,25 0,5 0,25 0,5 III 1a) Y’ = (sin 3 (2x + 1))’ = 3sin 2 (2x + 1)(sin(2x + 1))’= 6sin 2 (2x + 1)cos(2x + 1) 0,25+0,5 1b) 2 2 2 2 (5 3)'( 1) (5 3)( 1)' 5( 1) (5 3)(2 1) 5 6 8 ' 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x y x x x x x x − + + − − + + + + − − + − + + = = = + + + + + + 0,25 0,25 0,25 2 y = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 xcos 2 x = (1- cos 2 x) 3 + cos 6 x + 3sin 2 xcos 2 x = 1- 3 cos 2 x + 3cos 4 x + 3sin 2 xcos 2 x = 1- 3cos 4 x + 3cos 4 x = 1 ⇒ y’ = 1’ = 0 0,75 0,25 IV •d: x + 4y – 8 = 0 1 2 4 y x⇔ = − + • Ta có : 2 1 f'( )x x = − Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Theo giả thiết, ta có: 0 0 2 0 1 1 f'( ) 2 4 x x x = − = − ⇔ = ± • 0 0 1 1 2 : 1 2 4 x y PTTT y x= ⇒ = ⇒ = − + • 0 0 1 1 2 : 1 2 4 x y PTTT y x= − ⇒ = − ⇒ = − − 0,25 0,25 0,25 0,25 V a) SABCD là hình chóp đều ⇒ SO⊥ABCD • ( ) ( ) ( ) AC BD AC SBD SAC SBD AC SO ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ • ( ) ( ) ( ) ( ) SO ABCD SBD ABCD SO SBD ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ 0,5 0,5 b) • 2 14 2 2 2 ( ,( )) 4 2 2 a d S ABCD SO SA AO a a= = − = − = 0,5 0,5 c) •Trong ∆SOC, dựng OF⊥SC. Ta có: OF CS OF BD ⊥ ⊥ ⇒ OF là đường vuông góc chung của BD và SC • ( , )d BD SC OF= . Trong ∆SOK, có: 1 1 1 16 2 2 2 2 7OF OS OC a = + = 7 ( , ) 4 d BD SC OF a⇒ = = 0,5 0,5