Xây dựng đường cong Bezier, đường cong Bspline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong Bspline ứng dụng phần mềm Matlab

Hiện nay việc gia công cơ các bề mặt sản phẩm trong công nghiệp rất đa dạng và phức tạp, vì vậy để thiết kế và mô tả nó thuận lợi người ta sử dụng các phần mềm máy tính trợ giúp. Trong đó các phần mềm CADCAM đóng vai trò quan trọng trong việc trợ giúp xây dựng các bề mặt bằng máy tính.

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay việc gia công cơ các bề mặt sản phẩm trong côngnghiệp rất đa dạng và phức tạp, vì vậy để thiết kế và mô tả nóthuận lợi người ta sử dụng các phần mềm máy tính trợ giúp.Trong đó các phần mềm CAD/CAM đóng vai trò quan trọngtrong việc trợ giúp xây dựng các bề mặt bằng máy tính

Môn học: "Phương pháp xây dựng bề mặt choCAD/CAM" cung cấp cho các học viên các phương pháp xâydựng bề mặt thường gặp trong sản xuất công nghiệp, trên cơ sở

đó giúp cho học viên hiểu thêm quá trình xây dựng các đườngcong và các mặt phức tạp trong hệ thống CAD/CAM/CNC

Trong quá trình tìm hiểu và học tập môn hoc, tác giả đãtiến hành làm tiêủ luận để có thức riêng cho bản thân về mônhọc và thực hành lập trình sơ bộ cho các biên dạng đường vàmặt cơ bản, bước đầu biết được nguyên lý chung cho quá trìnhxây dựng các bề mặt này

Tiểu luận môn học sau được trình bày làm 2 phần:

- Phần 1 Cơ sở lý thuyết: bao gồm các kiến thức chung

nhất về mô hình toán học và cách xây dựng đường cong Bezier,

đường cong B-spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline.

- Phần 2 Bài tập: Xây dựng đường cong Bezier, đường

cong spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong spline ứng dụng phần mềm Matlab

B-Trong quá trình thực hiện tiểu luận, tác giả chân thành cảm

ơn sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn Bộ môn Máy -

Ma sát, Khoa Cơ khí, Đại học Bách khoa Hà nội và các ý kiến đóng góp của các bạn trong lớp.Trong qua trình làm tác giả không thể tránh được những thiếu sót, rât mong được sự đóng góp của thầy cô và các bạn để có thể hoàn thiện tốt hơn

Phần 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Để tạo thành các khối vật thể trong không gian 3D, trong

kĩ thuật người ta sử dụng các đường cong phẳng Trong toánhọc, các đoạn cong được biểu diễn bằng một hàm ẩn, hàm tườngminh hoặc một hàm tham số Hàm để mô tả đường cong đượcgọi là mô hình toán học của đường cong Có nhiều hàm để mô tảcác đường cong nhưng người ta sử dụng rộng rãi hàm đa thức vìhàm này dễ làm việc và linh hoạt trong việc mô tả nhiều loạiđường cong kỹ thuật

Để xây dựng đoạn cong trên cơ sở điểm đã biết, người taphải dựa vào một hàm nào đó và gọi nó là hàm cơ sở Sử dụnghàm đa thức chuẩn làm hàm cơ sở có ưu việt là dễ dàng địnhnghĩa và đánh giá Khảo sát hàm bậc ba:

r(u) = (x(u), y(u), z(u))

a u u u u

Hay r(u) = UA với 0u1.

Trong đó U là véc tơ cơ sở và A là véc tơ hệ số

1.1 Mô hình toán học đường cong Berier.

Chúng ta trình bày cách xây dựng đường cong Bezier trên

cơ sở đường cong Ferguson với các điều kiện mút V0, V1, V2, V3trong đó:

V0 - điểm bắt đầu đoạn đường cong, tương ứng với điểmP0

V1 - điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm đầu đường cong

và bằng V0 + t0/3 chỉ ra trên hình 1

V2 - điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm cuối đường cong

và bằng V3 - t1/3;

V3 - Điểm cuối của đoạn cong ứng với đỉnh P1

Điểm cuối của đường cong Bezier với điều kiện mút đượcviết như sau:

V0 = P0; V1 = V0 + t0/3; V2 = V3 - t1/3; V3 = P1

Hình 1 Ví dụ đường cong Bezier bậc 3

Để có thể dùng phương pháp xây dựng đường cong bậc ba

Ferguson vào xây dựng đường cong Bezier khi biết các điều

kiện mút của nó, chúng ta phải tìm môtis quan hệ giữa điều kiện

mút của đường cong bậc 3 Ferguson P0, P1, t0, t1, và điều kiện

mút của đường cong Bezier V0, V1, V2, V3 có nghĩa là ta phải có:

V0 = P0 V3 = P1Xác định t0 theo V1 ta nhận được:

V1 = V0 + t0/33V1 = 3V0 - t0t0 = 3(V1-V0)Xác định t1 theo V2 ta có:

1 0 1 0

3 3 0 0

0 0 3 3

1 0 0 0

0 0 0 1

(4)

Thay (4) vào (2) ta nhận được đường cong Bezier bậc ba.r(u) = U C S

= U C L R(5)

Với 0u1

1 2 3 3

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 3 3

1 0 0 0

0 0 0 1

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1

V V V V

Phương trình (5) được gọi là phương trình đường congBezier

Phương trình trên cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm đathức:

1 ( )

i

i

V u B

trong đó:

B0,3(u) = (1-u)3

B1,3(u) = 3u(1-u)2

B2,3(u) = 3u2(1-u)

B3,3(u) = u3

Bi,3(u) được gọi là đa thức Bezier bậc 3

Đa thức Bezier tương đương với số hạng trong khai triểnnhị phân (u+v)n, với v = 1 - u

Dạng chung của đa thức Bezier bậc n được viết như sau:

u) - (1 u

! )!

(

! (u)

n i,

i i n

r

0 ,

) ( )

Chúng ta có thể tiến hành các phép như là tăng bậc, giảmbậc hàm Bezier

Ví dụ: đường cong Berier bậc ba

Chương trình trên Matlab

hold off;

grid on

Ta sẽ có được biên dạng đường cong Berier bậc ba như sau:

1.2 Mô hình toán học đường cong B-spline đồng nhất

Để hiểu được đặc trưng hình học của một đường cong spline bậc 3 cần phải biết cấu trúc hình học của đường congnày.Giả sử, bốn đỉnh điều khiển của đường cong bậc ba nàyđược ký hiệu V0, V1, V2, V3.Ta định nghĩa như sau:

Ta xây dựng đoạn cong r(u) thoả mãn điều kiện sau:

- Đoạn cong bắt đầu từ điểm P0 và điểm cuối là P1

- Vectơ tiếp tuyến t0 ở điểm P0 là bằng ( M0-V0)

- Vectơ tiếp tuyến t1 ở điểm P1 là bằng ( M1-V1)

Điểm mút P0 và P1 của đoạn cong biểu diễn theo các đỉnh điềukhiển như sau:

- Điểm đầu P0 của đoạn cong B-spline r(u) được dánh giánhư sau

o

6

4 3

2 2

3

0 1 0

V V V

v V V M V

Đánh giá r(u) tại điểm cuối P1 ứng với u = 1

6

4 3

2 2

3

0 1 1

V V V

V V V M V

Ta có t 0 r.(u), do đó ta xác định tiếp tuyến t0:

2 2

0 2 0 2 0 0 0 0

V V V V V V M

Hay .( 0 ) 2 2 0

0

V V r

Tương tự ta có:

2 2

1 3 1 3 1 1 1 1

V V V V V V M

Hay .( 1 ) 3 2 1

1

V V r

Tử các phương trình (1-a), (1-b), (2-a), (2-b) ta có hệ phương trình tuyến tính

) 0 4

( 6

1

2 4 0

0  V  V V 

P

) 4

0 ( 6

1

3 2 1

) 0 3 0 3 ( 6

1

2 0

t

) 3 0 3 0 ( 6

1

3 1

t    

Chuyển sang dạng ma trận ta được:

KR V V V V

t t P

1 0 1 0

3 0 3 0

0 3 0 3

1 4 1 0

0 1 4 1 6 1 P

Thay kết quả tìm được vào đường cong Ferguson ta tìm được cách biểu diễn đường cong B-spline đồng nhất bậc 3

r(u) =U C S

= U (C K) R

U = [1 u u2 u3 ]

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

1

N

R = [V0 V1 V2 V3 ]TTrong đó N- hệ số đường cong B-spline bậc ba

Đường cong B-spline đồng nhất bậc ba viết dưới dạng biểu thứcđại số như sau:

3

3 2

3 2 1

3 2 0

3 2

3 3 3 1 6

3 6 4 6

3

3

1

V u V u u u V

u u V

u u u

Đặt:

6

3 3 1 )

6

3 6 4 )

(

3 2 3

,

1

u u u

6

3 3 3 1 )

(

3 2 3

,

2

u u u u

6 ) (

3 3

,

3

u u

Tập phương trình đại số Si,3(u) với i = 0,B-spline đồng nhấtbậc ba hay còn gọi là hàm hỗn hợp B-spline

- Ví dụ: đường cong B-spline bậc 3

1.3 Mảnh mặt Berier

Bây giờ chúng ta xây dựng mảnh mặt Bezier từ các đườngcong Bezier tương tự như phương pháp hình thành mảnh mặtFerguson đã nêu trên Giả thiết rằng chúng ta có mảng 4x4 đỉnhđiều khiển V i , j được bố trí như trên hình 4

V03 V13

V23

V33 V32

V 22

V 12 V02

V01

V00 V10

V11 V21

V 31 V30 V20

3 0

3 3

i ( ) ( ) B

3 0

3

! )!

3 (

! 3 )

1 (

! )!

3 (

! 3 v)

r(u,

i j

j j

i

j j u

u i

= U M B MT VTTrong đó: U = 1 u u2 u3

0 3 6 3

0 0 3 3

0 0 0 1

23 22 21 20

13 12 11 10

03 02 01 00

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V B

M được gọi là ma trận hệ số Bezier

B là ma trận hệ số điều khiển Bezier

Phương trình mảnh mặt Bezier tổng quát bậc n và m điều khiển như sau:

 

 



m i

n j

ij

n

j v V B u

0 0

m

i ( ) ( ) B

v)

Trong đó:

i m i

m

i i m

m u

(

! )

(

j n j

n

j j n

n v

(

! )

(

Trong CAD/CAM người ta thường sử dụng mảnh mặt Bezier bậc m=n=5 hoặc m=n=7 Khi bậc m=n=5 số đỉnh điều khiển cần thiết là 36

Chúng ta có thể tiến hành tăng hoặc giảm bậc của phương trình mảnh mặt tam giác Bezier

Ví dụ bề mặt Berierbậc 2

P(i,j,2)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y); S(g,h)=S(g,h)+

P(i,j,3)*bsplinebasis(i,m,u,X)*bsplinebasis(j,n,v,Y); end

end

end

end

 

 



3 0

3 0

3

3 ( ) ( ) )

,

(

i j

ij j

i u N u V N

v

u

= U N B NT VTTrong đó: U = [ 1 u u2 u3 ]

23 22 21 20

13 12 11 10

03 02 01 00

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V B

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

1

N

6

3 3 1 )

3 , 0

u u u u

6

3 6 4 ) (

3 2 3

, 1

u u u

6

3 3 3 1 ) (

3 2 3

, 2

u u u u

6 ) (

3 3

, 3

u u

Mặt B-spline đồng nhất được thể hiện dưới hình sau:

Măt cong B-spline đồng nhất bậc hai được em như là tíchtensor của đường cong B-spline đồng nhất bậc hai r(u) = U N2

R Mặt đồng nhất B-spline có thể có bậc của hai biến u và vkhác nhau Ví dụ mặt B-spline có biến u hoặc biến v bậc hai,phương trình được biểu diễn như sau:

r(u)= U N B N2T

VT Với 0 ≤ u ≤ 1 Trong đó:

22 21 20

12 11 10

02 01 00

V V V

V V V

V V V

V V V B

0 3 6 3

0 3 0 3

0 1 4 1 6

0 2 2

0 1 1

X = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];

Y = [0 0 0 0.5 1+eps 1+eps 1+eps];

Q = zeros(pr+1,pr+1);

R = zeros(pr+1,pr+1);

S = zeros(pr+1,pr+1);

R(g,h)=R(g,h)+ 1,u,X)*bsplinebasis(j,m-1,v,Y);

S(g,h)=S(g,h)+ 1,u,X)*bsplinebasis(j,m-1,v,Y);

surf(P(:,:,1) ,P(:,:,2), P(:,:,3),'FaceColor',

'none','LineWidth',1.0);

title('Manh mat B-Spline ');