Thông tin tài liệu
Lời nói đầu Học toán và làm toán là hai vấn đề hoàn toàn khác nhau. Đó là hai mặt không thể tách rời của toán học, trong đó học toán là cơ bản và làm toán là một vấn đề đặc biệt quan trọng. Học toán sẽ giúp cho chúng ta nắm đợc những điều cơ bản nhất và những vận dụng ban đầu của lý thuyết cơ sở. Làm toán nghĩa là đào sâu suy nghĩ, phát triển một bài toán ở mức độ t duy cao hơn, nhờ đó sẽ giúp chúng ta có một cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về một vấn đề. Và hệ quả tất yếu của việc đào sâu suy nghĩ đó là những sáng tạo toán học nh những khái niệm, những bài toán, những ứng dụng hay lý thuyết mới. Đó mới là mục đích sâu sắc nhất của toán học. Với tinh thần đó, nhóm những cựu học sinh trờng THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ Hòa Bình đ cùng nhau xây dựng nên tờ Tập san Toán học 2007 nhằm mục đích động viên phong trào học toán ở trờng Chuyên Hoàng Văn Thụ nói riêng và các bạn học sinh của Tỉnh Hòa Bình nói chung. Tờ báo đợc hoàn thành với sự tâm huyết, lòng yêu toán và hớng tới mái trờng cũ của những học sinh đ từng học tập dới mái trờng Hoàng thân yêu. Đó cũng là món quà mà những cựu học sinh muốn gửi tặng đến các thầy cô giáo với lòng biết ơn sâu sắc! Đây là lần thứ hai Tập san ra mắt, nhng với quy mô và nội dung phong phú hơn rất nhiều so với lần ra mắt trớc đó. Nội dung của Tập san là những bài viết với nội dung tìm tòi, sáng tạo, những kinh nghiệm, ứng dụng và những phơng pháp học toán. Hy vọng rằng dù với một lợng kiến thức không nhiều, nhng Tập san sẽ mang lại cho các bạn nhiều điều bổ ích và lý thú. Vì khả năng của Ban biên tập còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn, nên trong quá trình biên tập, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và nhiều điểm không đợc nh mong muốn, rất mong nhận đợc sự thông cảm và những đóng góp xây dựng của các bạn độc giả. Và chúng tôi cũng hy vọng rằng, với truyền thống hào hùng của trờng THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, các bạn thế hệ sau sẽ tiếp tục phát huy và không ngừng nâng cao vị thế của tuổi trẻ Hòa Bình trong mắt bạn bè ở mọi miền đất nớc. Hy vọng rằng Tập san sẽ đợc các bạn khóa sau duy trì và hoàn thiện hơn nữa về mọi mặt. Ban biên tập xin đợc cảm ơn tất cả các bạn đ tham gia và ủng hộ nhiệt tình để tờ Tập san đợc ra mắt đúng nh dự kiến. Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc! Chúc các bạn thành công trong học tập và thành đạt trong cuộc sống! Hòa Bình tháng 1 năm 2007 Ban biên tập Tập san Toán học 2007 Hội đồng biên tập Trởng ban biên tập: Nguyễn Lâm Tuyền Phó ban biên tập: Bùi Lê Vũ Cộng tác viên: Nguyễn Thái Ngọc, Lu Nh Hòa, trần quang thọ phạm tháI sơn, nguyễn duy hoàng Mục lục Phần 1. Sáng tạo toán học Giới thiệu phơng pháp tính một số lớp tích phân dạng hàm lợng giác Cao Trung Chinh 1 Tổng quát hóa bài toán - Đỗ Thị Thu Hà 3 Xung quanh bài toán bất đẳng thức thi Toán Quốc tế 2005 Nguyễn Anh Tuấn. 5 Thử đi tìm bất đẳng thức trong tam giác Dơng Thị Hơng Nguyễn Nh Thắng 9 Một sự tình cờ Nguyễn Lâm Tuyền 12 Sử dụng tính chất hàm đơn ánh để giải bài toán phơng trình hàm Nguyễn Thái Ngọc. 15 Lời giải các bài thi Toán Quốc tế 2003 Hà Hữu Cao Trình 17 Số phức với hình học phẳng Vũ Hữu Phơng 20 Phơng trình hàm và sự trù mật Bùi Lê Vũ 23 Dy số và sự trù mật trên R + Hồ Sỹ Tùng Lâm. 26 Một số bài toán số học về dy tổng các lũy thừa Trần Quốc Hoàn. 28 Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cô-si Nguyễn Lâm Tuyền 30 Phơng pháp sử dụng định nghĩa để tính giới hạn Lê Bảo Khánh 35 Điểm Lemoine trong tam giác Lê Văn Đính 38 Câu chuyện đờng tròn và elipse Lu Nh Hòa 40 Một số phơng pháp xác định giới hạn của dy số Nguyễn Lâm Tuyền 41 Một lớp các bài toán bất đẳng thức Nguyên Minh Phúc. 46 Một số khái niệm về góc định hớng Trần Quang Thọ 48 Tiêu chuẩn hội tụ tổng quát Bùi Lê Vũ Nguyễn Thái Ngọc 52 ứng dụng định lý Stolz trong tìm giới hạn của dy số Ngô Nhất Sơn. 55 ứng dụng của một bài toán tổng quát Nguyễn Hà Thuật 57 Tập dợt sáng tạo Đặng Phùng Hng. 59 Vận dụng định lý sách giáo khoa linh hoạt Trịnh Anh Tuấn 61 Mở rộng khái niệm tâm tỉ cự cho tứ diện Hoàng An Giang 64 Phơng pháp logic mệnh đề Phạm Phúc Lân 66 Phép chiếu và ứng dụng của phép chiếu Nguyễn Lâm Tuyền. 69 Một số bài toán bất đẳng thức chọn lọc Lu Nh Hòa 73 Sử dụng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức Vũ Việt Dũng 75 Tiếp cận toán bằng vật lý Nguyễn Lâm Tuyền 78 Bất đẳng thức Schur và ứng dụng Trơng Quốc Hng 81 Một số bài tập về toán rời rạc Bùi Mạnh Quân 83 Sử dụng hàng điểm điều hòa để giải bài toán cực trị Trần Thị Linh Phơng 85 Phần II. Lịch sử và ứng dụng Toán học Sự phát triển của số học Phùng Ngọc Thắng 87 Toán học và tự động hóa Nguyễn Lâm Tuyền 90 Dùng đa thức để phát hiện lỗi đờng truyền Nguyễn Lâm Tuyền Cấu trúc tự nhiên Nguyễn Thái Ngọc 93 95 Phần III. Toán học và ngoại ngữ Học toán và ngoại ngữ Ngô Thành Long 97 Phơng tích của điểm với đờng tròn Lu Nh Hòa 98 Phép nghịch đảo Lu Nh Hòa 99 Phần IV. Những bài toán hay và các bài toán tự sáng tạo Các bài toán tự sáng tạo Nguyễn Lâm Tuyền. 103 Những bài toán hay Nhiều tác giả 109 PhÇn i S¸ng t¹o To¸n häc PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC - 2007 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH Giới Thiệu Phương Pháp Giới Thiệu Phương PhápGiới Thiệu Phương Pháp Giới Thiệu Phương Pháp Tính một số lớp tích phân dạng hàm lượng giác Tính một số lớp tích phân dạng hàm lượng giácTính một số lớp tích phân dạng hàm lượng giác Tính một số lớp tích phân dạng hàm lượng giác ThÇy cao trung chinh GV. THPT Chuyªn Hoµng V¨n Thơ, Hoµ B×nh § Ĩ gióp häc sinh cã thªm nh÷ng kiÕn thøc mang tÝnh hƯ thèng, t«i xin giíi thiƯu mét sè líp tÝch ph©n d¹ng hµm sè l−ỵng gi¸c th−êng gỈp trong c¸c k× thi tèt nghiƯp còng nh− thi ®¹i häc. Hi väng qua bµi viÕt nµy, c¸c em cã thĨ rót ra nhiỊu ®iỊu bỉ Ých cho b¶n th©n. I. D¹ng ∫ dxxxf )cos,(sin . 1. NÕu f(sinx, cosx) lµ hµm h÷u tØ th× ®Ỉt t = tg 2 x . 2. Mét sè hiƯn t−ỵng c¸ biƯt. - NÕu f(-sinx, cosx) = - f(sinx, cosx) th× ®Ỉt x = cost. - NÕu f(sinx, - cosx) = - f(sinx, cosx) th× ®Ỉt x = sint. - NÕu f(-sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) th× ®Ỉt x = tgt. Qua c¸c c¸ch ®ỉi biÕn nh− trªn, ta cã thĨ tÝnh c¸c tÝch ph©n mét c¸ch ®¬n gi¶n vµ nhanh chãng. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dơ cơ thĨ. 1. VÝ dơ 1. TÝnh I = ∫ x dx sin . Lêi gi¶i. §Ỉt t = tg 2 x ⇒ 2 2cos 2 dx dt x = , 2 1 2 sin t t x + = . VËy I = ∫ x dx sin = ln ln 2 dt x t c tg c t = + = + ∫ 2.VÝ dơ 2. TÝnh I = ∫ 3 2 3 cos sin x xdx . Lêi gi¶i. §Ỉt t = cosx xdxdt sin − = ⇒ . Ta cã I = - ∫ − 3 2 2 1 t t dt = 4 2 3 3 t t dt − − ∫ = 7 1 3 7 3 3 3 3 3 3 cos 3 cos 7 7 t t c x x c − + = − + C¸c b¹n hy tù gi¶i hai vÝ dơ sau: 3. VÝ dơ3. TÝnh I = dx x x xx ∫ + + 42 53 sin sin coscos . 4.VÝ dơ 4. TÝnh I = ∫ − + x x x x dx 22 cos cos sin 2 sin Chó ý: ë ®©y mäi nguyªn hµm ®−ỵc hiĨu lµ trªn mçi kho¶ng cđa tËp x¸c ®Þnh. II. D¹ng ∫ xdxx nm cossin . - NÕu m hc n lµ sè nguyªn d−¬ng lỴ th× t−¬ng øng ta ®Ỉt t = cosx hc t = sinx - NÕu m vµ n ®Ịu lµ sè nguyªn d−¬ng ch½n th× chóng ta dƠ dµng sư dơng c«ng thøc h¹ bËc vµ gãc nh©n ®«i ®Ĩ gi¶i qut bµi to¸n. - NÕu (m+n) lµ sè nguyªn ch½n th× ®Ỉt t = tgx hc t = cotgx. Tïy theo tõng ®iỊu kiƯn cđa bµi to¸n mµ ta cã thĨ chän lùa c¸ch ®Ỉt cho phï hỵp. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dơ: PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC - 2007 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH 1.VÝ dơ1. TÝnh 4 5 sin cos x xdx ∫ . Lêi gi¶i. §Ỉt t = sinx, ta cã dt = cosxdx VËy ∫ xdxx 54 cossin = = ( ) ( ) ∫ ∫ =−=− dttttdttt 864 2 24 21 = cttt ++− 975 9 1 7 2 5 1 = cxxx ++− 975 sin 9 1 sin 7 2 sin 5 1 . 2.VÝ dơ 2. TÝnh ∫ 3 3 coscos sin xx xdx . Lêi gi¶i. Ta cã ∫ 3 3 coscos sin xx xdx = 4 3 3 sin cos x xdx − ∫ §Ỉt t = cosx (do m = 3, n = 4 3 − ), ta cã dt = - sinxdx. VËy 4 3 3 sin cos x xdx − ∫ = - ( ) 4 2 3 1 . t t dt − − ∫ = 2 4 3 3 t t dt − − ∫ = 5 1 3 3 3 3 5 t t c − − + = 5 1 3 3 3 cos 3cos 5 x x c − − + 3. VÝ dơ3. TÝnh I = ∫ xdxx 42 cossin . Lêi gi¶i. Ta sư dơng c«ng thøc h¹ bËc: 1 sinxcosx= sin 2 2 x , 2 1 cos2 cos 2 x x + = vµ dÕ dµng gi¶i qut bµi to¸n. 4.VÝ dơ 4. TÝnh I = ∫ 3 11 cossin xx dx . Lêi gi¶i. DƠ thÊy m = 3 11 − , n = 3 1 − vµ m + n = - 4 nªn ta ®Ỉt t = tgx , ta cã ngay dt = (1+tg2x)dx . VËy: I = ∫ 3 1211 cos xxtg dx = ∫ 3 114 cos xtgx dx = ( ) ( ) ( ) 2 2 11 2 3 11 2 3 1 1 . 1 . t dt t t dt t t − − + = + + ∫ ∫ = 11 5 3 3 t t dt − − + ∫ = 8 2 3 3 3 3 8 2 t t c − − − − + = 8 2 3 3 3 3 8 2 tg x tg x c − − − − + §Ĩ kÕt thóc bµi viÕt, t«i xin ®−a ra mét sè bµi tËp ®Ĩ c¸c em lun tËp thªm vỊ ph−¬ng ph¸p trªn. III. Bµi tËp. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a) I 1 = dx x x xx ∫ + cos sin cossin 2 b) I 2 = ∫ + x x xdx sin sin cos 2 3 c) I 3 = ∫ − − 1 sin cos 2sin 23 x x xdx d) I 4 = ∫ 3 2 3 cos sin x xdx e) I 5 = ∫ x xdx 2 4 sin cos ./. ============================= Gi¸o dơc kh«ng ph¶i lµ sù chn bÞ cho cc sèng; ChÝnh gi¸o dơc lµ cc sèng. Jonh Dewey PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC - 2007 3 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH tổng quát hóa tổng quát hóatổng quát hóa tổng quát hóa Bài Toán Bài ToánBài Toán Bài Toán §ç ThÞ Thu Hµ Chuyªn To¸n K97 - 00 Sv. Khoa KÕ to¸n – KiĨm to¸n §¹i häc kinh tÕ Qc d©n - Hµ Néi C CC C hµo c¸c b¹n - Nh÷ng ng−êi ®, ®ang vµ sÏ tiÕp tơc g¾n bã víi To¸n häc trªn con ®−êng ®i t×m vỴ ®Đp léng lÉy cđa nã! Ch¾c h¼n tÊt c¶ chóng ta ®Ịu ® tõng kinh ng¹c vµ th¸n phơc tr−íc c¸c ph¸t minh cđa nh÷ng nhµ to¸n häc vµ còng ® tõng hái, t¹i sao nh÷ng kÕt qu¶ ®Đp nh− vËy l¹i kh«ng ph¶i do chÝnh chóng ta s¸ng t¹o ra. Trong khi ®ã, trªn thùc tÕ, nÕu chóng ta ®−ỵc ®èi mỈt víi nhiỊu trong sè c¸c ph¸t minh ®ã th× chóng ta cã thĨ t×m ra lêi gi¶i dƠ dµng trong tÇm kiÕn thøc cđa m×nh. Hay ®¬n gi¶n h¬n, nh÷ng b¹n yªu to¸n ® tõng tham dù gi¶i bµi trªn t¹p chÝ To¸n häc vµ Ti trỴ, ® cã bao giê c¸c b¹n mn trë thµnh ng−êi ra ®Ị to¸n hay ch−a? Hay b¹n cho r»ng ®ã lµ c«ng viƯc cđa thÇy c«, cđa nh÷ng ng−êi ®ang nghiªn cøu to¸n häc? C©u tr¶ lêi lµ kh«ng ph¶i! Chóng ta ®Ịu cã thĨ t¹o cho m×nh mét c¸i g× ®ã trªn nỊn t¶ng nh÷ng g× chóng ta ® biÕt vµ ® cã, vµ c¸i chóng ta cÇn chØ lµ mét chót s¸ng t¹o. T«i mn cïng c¸c b¹n thư søc víi mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p - ph−¬ng ph¸p tỉng qu¸t hãa! Khi c¸c b¹n gi¶i xong mét bµi to¸n, b¹n hy nªn tù hµo mét chót vỊ c¸ch gi¶i cđa m×nh vµ hy tù hái xem, liƯu c¸ch gi¶i ®ã cã cßn phï hỵp nÕu b¹n thay ®ỉi chi tiÕt ë ®Ị bµi. Theo t«i, c¸ch gi¶i tèi −u ph¶i lµ c¸ch gi¶i sư dơng Ýt nhÊt nh÷ng d÷ liƯu ® cã ë ®Ị bµi. Khi ®ã víi nh÷ng gi¶ thiÕt kh«ng cÇn thiÕt, b¹n cã thĨ thay ®ỉi nã mµ c¸ch gi¶i vÉn gi÷ nguyªn. §ã lµ mét c¸ch “tỉng qu¸t hãa”. §iỊu nµy cã vỴ h¬i tr¸i quy lt v× c¸ch lµm lµ tỉng qu¸t bµi to¸n dùa trªn c¸ch gi¶i bµi to¸n. Nh−ng t«i nghÜ lµ rÊt tù nhiªn vµ “dƠ lµm”. Chóng ta hy xem xÐt mét sè vÝ dơ: 1. VÝ dơ 1. T×m hµm f: [0;1] → R, liªn tơc trong [0;1] tháa mn: 2 f(x) 2x. f(x ) ≥ T«i xin ®−a ra 2 c¸ch gi¶i kh¸c nhau. a) Lêi gi¶i 1. Tõ f(x) ≥ 2x. f(x 2 ) suy ra x.f(x) ≥ 2x 2 .f(x 2 ) , ∀ x ∈ (0;1] Thay x = 0 ⇒ f(0) ≥ 0 §Ỉt g(x) = x.f(x), ∀ x ∈ (0;1] ⇒ g(x) ≥ 2 g(x 2 ) ⇒ )( 2 1 2 1 xg ≥ g(x). B»ng quy n¹p, ta chøng minh ®−ỵc: 2 n g(x) ≤ g(x n 2 1 ), ∀ n ≥ 1. V× g(x) liªn tơc trong [0; 1] nªn +∞→n lim g(x n 2 1 ) = g(1). ⇒ 1 lim 2 n n→+∞ . +∞→n lim g(x n 2 1 ) ≥ g(x) ⇒ 0 ≥ f(x), ∀ x ∈ (0;1] (1) MỈt kh¸c, víi x ∈ [ 2 1 ;1) ta cã f(x) ≥ 2x. f(x 2 ) ≥ f(x 2 ) ≥ ≥ f(x n 2 ) ⇒ f(x) ≥ +∞→n lim f(x n 2 ) = f(0) ≥ 0 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã f(x) = 0, ∀ x ∈ [ 1 2 ; 1) Víi x ∈ (0; 2 1 ). B»ng quy n¹p ta chøng minh ®−ỵc: f(x) ≥ 2 n x 12 − n f(x n 2 ) PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC 2007 4 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH ⇒ Víi n ®đ lín th× f(x) ≥ 0 (3) Tõ (1) vµ (3) ta cã f(x) = 0, ∀ x ∈ (0; 1 2 ) VËy ( ) 0, (0;1] f x x = ∀ ∈ . V× f(x) liªn tơc trong [0;1] nªn f(x) = 0, ∀ x ∈ [ ] 0;1 NhËn xÐt. Tõ c¸ch chøng minh trªn, ta thÊy: Sè 2 trong ®iỊu kiƯn hoµn toµn cã thĨ thay b»ng sè a > 0 bÊt kú, khi ®ã ta cã bµi to¸n: Bµi to¸n 1.1. T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f(x): [0;1] → R, liªn tơc trong ®o¹n [0;1] tháa mn ®iỊu kiƯn: f(x) ≥ ax f(x 2 ) , ∀ a > 0. H¬n n÷a, ta cã thĨ thay ®ỉi thµnh bµi to¸n tỉng qu¸t sau mµ lêi gi¶i kh«ng thay ®ỉi. Bµi to¸n 1.2. T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f: [0;1] → R, liªn tơc trong [0; 1] tháa mn ®iỊu kiƯn f(x) ≥ ax 1 − α f(x α ), trong ®ã α >1. b) Lêi gi¶i 2. Do f(x) liªn tơc trong [0;1] nªn f(x) cã nguyªn hµm trong [0;1]. Gäi F(x) lµ mét nguyªn hµm cđa f(x) trong [0;1]. §Ỉt g(x) = F(x) - F(x 2 ) ⇒ g / (x) = F / x) - 2x F(x 2 ) = f(x) - 2x. f(x 2 ) ≥ 0, ∀ x ∈ [0;1] ⇒ g(x) lµ hµm kh«ng gi¶m trªn [0;1]. Mµ g(0) = g(1) = 0 nªn g(x) = 0), víi mäi x ∈ [0;1] ⇒ F(x) =F(x 2 )= = F(x n 2 ) ⇒ F(x) = +∞→n lim F(x n 2 ) = F(0), ∀ x ∈ (0;1) ⇒ f(x) = 0, ∀ x ∈ (0;1) Do f(x) liªn tơc trong [0;1] nªn f(x) = 0, ∀ x ∈ [0;1]. Nh− vËy, theo c¸ch gi¶i thø 2, ta cã thĨ kh¸i qu¸t ®−ỵc bµi to¸n nh− sau: Bµi to¸n 2.1. Cho hµm g: [0;1] → [0;1] cã ®¹o hµm trong [0;1] tháa mn ®iỊu kiƯn hµm [ ] xxg −)( ®¬n ®iƯu trªn [0;1], g(0)=0 vµ g(1)=1. T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè [ ] : 0;1 f R → , liªn tơc trong [0;1], tháa mn: f(x) ≥ g / (x). f(g(x)), ∀ x ∈ [0;1]. Cã b¹n sÏ tù hái t¹i sao l¹i cã thĨ ®−a ra mét bµi to¸n nh− vËy. RÊt ®¬n gi¶n: B¹n hy thư tỉng qu¸t hãa b»ng c¸ch thay x 2 b»ng mét hµm g(x) bÊt k×, vµ ¸p dơng hoµn toµn t−¬ng tù c¸ch trªn b¹n sÏ thÊy cÇn ph¶i bỉ sung gi¶ thiÕt ®Ĩ cã mét c¸ch gi¶i hoµn chØnh. V× nh− t«i ® nãi ë trªn, c¸ch tỉng qu¸t hãa bµi toµn ë ®©y lµ xt ph¸t tõ c¸ch gi¶i chø kh«ng ph¶i tõ ®Ị bµi. TÊt nhiªn, víi gi¶ thiÕt qu¸ cơ thĨ nh− trªn sÏ dÉn ®Õn thu hĐp h−íng tỉng qu¸t cđa bµi to¸n, vµ ®Ĩ cã ®−ỵc mét ®Ị bµi thùc sù tỉng qu¸t t«i rÊt mong chê ë kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cđa c¸c b¹n. Sau ®©y, mêi c¸c b¹n cïng theo dâi vÝ dơ 2, cïng víi 2 c¸ch gi¶i ë c¶ vÝ dơ tr−íc, t«i xin ®Ị xt vÝ dơ 3 kh¸ thó vÞ: 2.VÝ dơ 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) - 2 1 f( 2 x ) = x 2 trªn tËp tÊt c¶ c¸c hµm liªn tơc trong ®o¹n [- 2 1 ; 3 1 ]. Lêi gi¶i. Gäi F(x) lµ mét nguyªn hµm cđa f(x) trong [- 2 1 ; 3 1 ]. §Ỉt g(x) = F(x) - F( 2 x ), ta cã: g / (x) = f(x) - 2 1 f( 2 x ) = x 2 ⇒ g(x) = 3 1 x 3 + c. V× g(0) = 0 nªn c = 0. ⇒ g(x) = 3 1 x 3 . VËy F(x) = F( 2 x ) + 3 1 x 3 ⇒ F(x) = 3 1 x 3 + 3 1 ( 2 x ) 3 + + 3 1 ( 1 2 −n x ) + + F( n x 2 ) = 21 8 x 3 (1 - n 3 2 1 ) + F( n x 2 ), víi mäi x ∈ [- 2 1 ; 3 1 ]. Khi n ®đ lín, ta cã: F(x) = 21 8 x 3 + F(0) ∀ x ∈ [- 2 1 ; 3 1 ]. PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC 2007 5 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH ⇒ f(x) = 7 8 x 3 , ∀ x ∈ [- 2 1 ; 3 1 ]. Thư l¹i thÊy ®óng. NhËn xÐt. Qua c¸ch gi¶i trªn ta thÊy ®iỊu ®Çu tiªn lµ gi¶ thiÕt x ∈ [- 2 1 ; 3 1 ] lµ kh«ng cÇn thiÕt, ta cã thĨ më réng tËp x¸c ®Þnh lµ [ ] 1;1 − mµ kÕt qu¶ kh«ng thay ®ỉi. Thø hai, gi¶ thiÕt x 2 còng cã thĨ kh¸i qu¸t thµnh 1 ®a thøc. Nh− vËy, ta cã thĨ kh¸i qu¸t nh− sau: Bµi to¸n 2a. Cho g(x) lµ ®a thøc bËc n cã tËp x¸c ®Þnh lµ [-1;1]. T×m hµm :[ 1;1] f R − → , liªn tơc trªn R vµ tháa mn : f(x) - 3 1 f( 2 x ) = g / (x). C¸c b¹n hy thư t×m ®iỊu kiƯn cho g(x) nÕu ta mn kh¸i qu¸t g(x) thµnh mét hµm liªn tơc bÊt k×. Trë l¹i bµi to¸n vÝ dơ 1, víi c¸ch gi¶i tr×nh bµy ë bµi to¸n vÝ dơ 2, ta hoµn toµn cã thĨ thay ®ỉi gi¶ thiÕt f(x) - 2xf(x 2 ) ≥ 0 bëi f(x)- 2x f(x 2 ) = g’(x). C¸c b¹n hy ®−a ra mét ®Ị bµi cã c¸c ®iỊu kiƯn r»ng bc cho g(x) ®Ĩ t¹o thµnh mét bµi to¸n hoµn chØnh. KÕt hỵp c¸c h−íng tỉng qu¸t trªn, t«i xin ®Ị xt mét bµi to¸n tỉng qu¸t h¬n: 3. VÝ dơ 3. Cho c¸c hµm sè g: [0;1] → R, [ ] [ ] : 0;1 0;1 f → trong ®ã g, h cã ®¹o hµm trªn [0;1], h(0) = 0, h(1) =1 vµ g lµ ®a thøc bËc n .T×m hµm f: [0;1] → R, tháa mn: f(x) - h / (x).f(h(x)) = g / (x). Mêi c¸c b¹n hy gi¶i bµi to¸n nµy vµ tiÕp tơc! Sau ®©y lµ bµi tËp ®Ĩ c¸c b¹n tù lun: Bµi tËp. Cho f(x) cã ®¹o hµm trong (0;1), liªn tơc trong [0;1], ngoµi ra f(0) = f(1) = 0. Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè c ∈ (0;1) tháa mn ®iỊu kiƯn: f(c) = 1996.f / (c). Chóc c¸c b¹n thµnh c«ng! Xung Quanh Bài Toán Bất Đẳng Thức THI TOÁN QUỐC TẾ 2005 Ngun anh tn Chuyªn to¸n k97-00 Sv. Líp D2000VT, Häc viƯn C«ng nghƯ B−u chÝnh ViƠn th«ng. T TT T rong kú thi Olympic To¸n Qc tÕ lÇn thø 46 tỉ chøc t¹i Mexico cã bµi to¸n vỊ bÊt ®¼ng thøc (B§T) nh− sau: Bµi to¸n 1. Cho 3 sè thùc d−¬ng x, y, z tháa mn ®iỊu kiƯn xyz ≥ 1. Chøng minh r»ng: 5 2 5 2 2 x x x y z − + + + 5 2 5 2 2 y y y z x − + + + + 5 2 5 2 2 z z z x y − + + ≥ 0 (1) Lêi gi¶i 1. B§T (1) t−¬ng ®−¬ng víi: ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 5 2 2 x y z x y z x y z + + − + + + + + + ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 5 2 2 y z x x y z y z x + + − + + + + + + ( ) ( ) 5 2 2 2 2 2 5 2 2 z x y x y z z x y + + − + + + + ≥ 0 ⇔ 5 2 2 1 x y z + + + 5 2 2 1 y z x + + + + 5 2 2 1 z x y + + ≤ 2 2 2 3 x y z + + (2) Ta sÏ chøng minh: 5 2 2 1 x y z + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 y z x y z + + + . ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt xyz ≥ 1 ta cã: 5 2 2 1 x y z + + ≤ 4 2 2 1 x y z yz + + ≤ PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC 2007 6 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH ≤ 4 2 2 2 2 1 2x y z y z + + + (3) ¸p dơng B§T Bunhiac«pxky ta cã: 2 2 2 2 2 2 y z y z + + + × 2 4 2 2 2 2 2x y z y z × + + + ≥ ≥ ( ) 2 2 2 2 x y z + + ⇔ 4 2 2 2 2 1 2x y z y z + + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 y z x y z + + + (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra 5 2 2 1 x y z + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 y z x y z + + + . Còng t−¬ng tù: 5 2 2 1 y z x + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 z x x y z + + + 5 2 2 1 z x y + + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 x y x y z + + + Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta thu ®−ỵc (2) ⇒ ®pcm. §¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 1 Lêi gi¶i 2. ¸p dơng B§T Bunhiac«pxky ta cã: ( ) 5 2 2 2 2 1 x y z y z x + + + + ≥ ≥ ( ) 2 2 2 2 x y z + + ⇒ 5 2 2 1 x y z + + ≤ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 y z x x y z + + + + . Thªm hai B§T t−¬ng tù n÷a: 5 2 2 1 y z x + + ≤ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 z x y x y z + + + + vµ 5 2 2 1 z x y + + ≤ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 x y z x y z + + + + Ta suy ra: 5 2 2 1 x y z + + + 5 2 2 1 y z x + + + + 5 2 2 1 z x y + + ≤ ≤ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 x y z x y z x y z + + + + + + + MỈt kh¸c tõ gi¶ thiÕt xyz ≥ 1 ⇒ 1 1 1 x y z + + ≤ yz + zx + xy ≤ ≤ 2 2 2 x y z + + , do ®ã tõ B§T trªn suy ra (2) ⇒ ®pcm. §¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 1. B»ng c¸ch 2, ta chøng minh ®−ỵc bµi to¸n tỉng qu¸t sau: Bµi to¸n 2. Cho n sè thùc d−¬ng 1 2 , , , n x x x ( ) 3 n ≥ tho¶ mn ®iỊu kiƯn 1 2 n x x x ≥ 1. Chøng minh r»ng: 2 1 1 1 2 1 1 2 3 n n n n n n n x x x x x x + + − + + + + + + 2 1 2 2 2 1 2 1 3 n n n n n n n x x x x x x + + − + + + + + … + + 2 1 2 1 2 3 1 n n n n n n n n n n x x x x x x + + − − + + + + ≥ 0 (5) Chøng minh. Theo B§T C«-si vµ gi¶ thiÕt 1 2 n x x x ≥ 1 ta cã: 2 1 1 n x + ≥ 2 1 2 3 n n x x x x ≥ ≥ ( ) 2 1 2 3 1 n n n n n n x x x x − + + + (6) [...]... khi b1 = b2 = = bm = 1 hay a1 = a2 = = am B i to¸n ®−ỵc chøng minh Xt sø B i to¸n n y ®−ỵc ®Ỉt ra khi t¸c gi¶ ®i t×m lêi gi¶i cho mét b i to¸n rÊt thó vÞ nh−ng ho n to n kh¸c trªn mathlink contest (sÏ cã dÞp giíi thi u víi b¹n ®äc trong nh÷ng dÞp kh¸c) Sau ®ã míi nã ®−ỵc chän l m ®Ị thi gi¶i to¸n online th¸ng 10 n¨m 2006 trªn trang web www.diendantoanhoc.net, cã rÊt TẬP SAN TOÁN HỌC - 2007 28 TRƯỜNG... f(y-f(x))=f(x2002-y)-2001.y.f(x), ∀x,y∈R (Chän häc sinh giái qc gia 2001-2002) PhÇn I - S¸ng t¹o to¸n häc LỜI GIẢI CÁC BÀI THI TOÁN QUỐC TẾ 2003 H H÷u Cao Tr×nh Chuyªn to¸n K99 – 02 Líp K6 CNKHTN To¸n, §HKHTN - §HQG H Néi T«i còng xin chia sỴ mét sè kinh nghiƯm trong gi¶i to¸n víi c¸c b¹n qua lêi gi¶i ®Ị thi to¸n qc tÕ 2003 Hi väng r»ng qua ®©y c¸c b¹n sÏ rót ra cho m×nh nhiỊu ®iỊu bỉ Ých B i sè 1 LÊy A l mét tËp... dơng nã th−êng xuyªn §Ĩ kÕt thóc, xin giíi thi u víi c¸c b¹n mét b i thi häc sinh giái Qc gia m tù t«i ® t×m ra lêi gi¶i b»ng sè phøc B i to¸n 3 XÐt c¸c tam gi¸c ABC kh«ng /®Ịu/ cã c¸c ®−êng cao AD, BE, CF LÊy A/, B , C sao/ cho AA/= k AD; BB/= k.BE; CC =k.CF.(k ≠ 0) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa k sao cho víi mäi tam gi¸c ABC kh«ng ®Ịu th× ∆ ABC ~ ∆ A/B/C/ (Thi HSGQG B¶ng A- 1995) Lêi gi¶i Dùng hƯ trơc... vËy, nÕu f(u) < f(v) . Học toán và làm toán là hai vấn đề hoàn toàn khác nhau. Đó là hai mặt không thể tách rời của toán học, trong đó học toán là cơ bản và làm toán là một vấn đề đặc biệt quan trọng. Học toán sẽ. tạo toán học Giới thi u phơng pháp tính một số lớp tích phân dạng hàm lợng giác Cao Trung Chinh 1 Tổng quát hóa bài toán - Đỗ Thị Thu Hà 3 Xung quanh bài toán bất đẳng thức thi. t¹o to¸n häc. TẬP SAN TOÁN HỌC - 2007 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH Giới Thi u Phương Pháp Giới Thi u Phương PhápGiới Thi u Phương Pháp Giới Thi u Phương Pháp Tính
Ngày đăng: 07/06/2015, 13:45
Xem thêm: tài liệu ôn thi toán hay
