Bất đẳng thức nesbitt và các ứng dụng

Một số cách chứng minh BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT 1. Bất đẳng thức Nesbitt: Nếu , ,a b c là các số dương thì ta có bất đẳng thức 3 2 a b c P b c c a a b = + + ≥ + + + 2. Một số cách chứng minh. Cách 1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với 9 1 1 1 2 a b c b c c a a b       + + + + + ≥       + + +       1 1 1 [( ) ( ) ( )] 9a b b c c a a b b c c a   ⇔ + + + + + + + ≥   + + +   B ất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM – GM : 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( )( )( )a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + và 3 1 1 1 3 ( )( )( ) a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + + + + + . Nhân theo v ế hai bất đẳng thức này ta có điều phải chứng minh.  Cách 2. Viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng 2 ( )( ) 2 ( )( ) 2 ( )( ) 3( )( )( )a a b c a b b c a b c c a b c a b b c c a + + + + + + + + ≥ + + + 3 3 3 2( ) ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c ca c a⇔ + + ≥ + + + + + 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a b a b b c b c c a c a⇔ + − + + − + + − ≥ Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 3. Đặt , , x b c y c a z a b = + = + = + thì , , 2 2 2 y z x z x y x y z a b c + − + − + − = = = B ất đẳng thức trở thành 3 2 2 2 2 y z x z x y x y z x y z + − + − + − + + ≥ 6 x y y z z x y x z y x z       ⇔ + + + + + ≥             luôn đúng theo bất đẳng thức AM – GM.  Cách 4. Đặt , b c a c a b Q R b c c a a b b c c a a b = + + = + + + + + + + + thì theo AM – GM ta có 3, 3 a b b c c a a c b a c b P Q P R b c c a a b b c c a a b + + + + + + + = + + ≥ + = + + ≥ + + + + + + Suy ra 2 6P Q R+ + ≥ , mà 3Q R+ = , nên 3 2 P ≥ .  Cách 5. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 2 2 2 2 ( ) 3( ) 3 2( ) 2( ) 2 a b c a b c ab bc ca P ab ac bc ba ca cb ab bc ca ab bc ca + + + + = + + ≥ ≥ = + + + + + + + Đó là điều phải chứng minh.  Cách 6. Không mất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ , thế thì 1 1 1 b c c a a b ≥ ≥ + + + . Áp dụng bất đẳng th ức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều ta có 1 1 1 1 ( ) 3 a b c a b c b c c a a b b c c a a b   + + ≥ + + + +   + + + + + +   1 1 1 1 3 a b c a b c b c c a a b b c c a a b   ⇔ + + ≥ + + + + +   + + + + + +   Hay 1 ( 3) 3 P P≥ + , nghĩa là 3 2 P ≥ .  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Cách 7. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 2 2 , , 4 4 4 a b c b c a c a b a b c b c c a a b + + + + ≥ + ≥ + ≥ + + + C ộng theo vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta được 2 2 2 3 ( ) 2 a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 a a b c b a b c c a b c a b c b c c a a b + + + + + + ⇔ + + ≥ + + + + + 3 2 a b c b c c a a b ⇔ + + ≥ + + + .  Cách 8. Không mất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Xét hàm ( ) 3 x f x x = − trên khoảng (0,3). Ta có 3 6 ''( ) 0 (3 ) f x x = > − , suy ra ( )f x là hàm lõm trên (0,3) nên áp d ụng bất đẳng thức Jensen ta được 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 (1) 3 2 a b c P f a f b f c f f + +   = + + ≥ = =     .  Cách 9. Không mất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Ta có 1 3 ( 1) 3 2 2 a a a ≥ + − − (1) Th ật vậy, (1) 2 3( 1) 0a⇔ − ≥ luôn đúng với mọi a dương. Trong (1) thay a lần lượt bởi b và c rồi cộng theo vế ta được 3 3 3 ( 3) 3 3 3 2 2 2 a b c P a b c a b c = + + ≥ + + + − = − − − .  Cách 10. Không mất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có ( ) ( ) ( ) , , 4 4 4 a a b c b b c a c c a b a b c b c c a a b + + + + ≥ + ≥ + ≥ + + + Cộng theo vế ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta được 2 ( ) 3 2 6 2 a b c ab bc ca a b c a b c a b c b c c a a b + + + + + + ≥ + + − ≥ + + − = + + + .  Cách 11. ận xét rằng 1 8 . 4 a a b c b c a b c − − ≥ + + + (2) Thật vậy, (2) 2 (2 ) 0a b c⇔ − − ≥ luôn đúng. Tương tự ta cũng có 1 8 . 4 b b c a c a a b c − − ≥ + + + và 1 8 . 4 c c a b a b a b c − − ≥ + + + Suy ra 1 (8 ) (8 ) (8 ) 3 . 4 2 a b c a b c b c a c a b b c c a a b a b c − − + − − + − − + + ≥ = + + + + + .  Cách 12. Ta có 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 0 2 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) a b b c c a P a c b c b a c a c b a b − − − − = + + ≥ + + + + + + .  Cách 13. Không mất tính tổng quát giả sử min{ , , }c a b c= , ta có 2 3 ( ) 2 ( )( ) 0 2 ( )( ) 2( )( )( ) a b a b c P a c b c a c b c a b b c c a − + − − = + − − ≥ + + + + + .  Ta có nh www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Cách 14. Đặt ( , , ) a b c f a b c b c c a a b = + + + + + và 2 a b t + = ta có ( ) 2 ( ) ( ) ( , , ) , , 0 ( )( )( 2 ) a b a b c f a b c f t t c a c b c a b c − + + − = ≥ + + + + và ( ) 2 3 2 3 ( ) , , 0 2 2 2 2 ( ) t c c t f t t c c t t t c t − − = + − = ≥ + + Suy ra ( ) 3 ( , , ) , , 2 f a b c f t t c≥ ≥ .  Cách 15. Đặt ( , , ) a b c f a b c b c c a a b = + + + + + và t ab= . Không mất tính tổng quát, gi ả sử min{ , , }c a b c= , ta có t c≥ và ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( )( ) ( )( ) a t c b t c c t f a b c f a b t b c b t c a t a a b − − − − = + + + + + + + 2 ( ) 1 . 0 ( )( ) t c a b t c a b a b b t t a a b b t t a − − −   ≥ + − = ≥   + + + + + +   M ặt khác ta lại có 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( , , ) 0 2 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) a b a t t b f a b t b t t a b t a b a b t a − − − − = + + ≥ + + + + + + Suy ra 3 ( , , ) ( , , ) 2 f a b c f a b t≥ ≥ .  a b c b c a a b b c c a b c c a a b b c c a a b b c c a a b − − −   + + − + + = + +   + + + + + + + + +   0 a b b c c a a b b c c a a c c a a c a c − − − − + − + − ≥ + + = = + + + + . Suy ra a b c b c a b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + + + + + Nên 2 2 2 2 a b c a b c b c a P b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + ≥ + + + + + + + + + + + + + + = 3 a b b c c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + (AM – GM) Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 16. ất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ . Ta có Không m Cách 17. ụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có 3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c P b c c a a b b c c a a b     + = + + + + + ≥ + + +     + + + + + +     Ta ch ỉ cần chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2 a b c b c c a a b     + + + ≥     + + +     (2 )(2 )(2 ) 8( )( )( ) a b c b c a c a b a b b c c a⇔ + + + + + + ≥ + + + L ại sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì 2 ( ) ( ) 2 ( )( )a b c a b a c a b a c+ + = + + + ≥ + + T ương tự với hai bất đẳng thức còn lại rồi nhân theo vế ta được điều phải chứng minh.  Áp d www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Cách 18. ương tự cách 17, sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì 3 3 1 1 1 3 1 1 1 a b c a b c P b c c a a b b c c a a b     + = + + + + + ≥ + + +     + + + + + +     Ta ch ỉ cần chứng minh 3 3 3 1 1 1 2 8( ) 27( )( )( ) a b c b c c a a b a b c a b b c c a       + + + ≥       + + +       ⇔ + + ≥ + + + B ất đẳng thức cuối luôn đúng vì theo AM – GM : 3 3 8( ) [(a+b)+(b+c)+(c+a)] 27( )( )( )a b c a b b c c a+ + = ≥ + + + .  Cách 19. ết lại bất đẳng thức dưới dạng tương đương sau 1 1 1 2 2 2 a b c b c c a a b − + − + − ≥ 0 + + + 2 2 2 0 a b c b c a c a b b c c a a b − − − − − − ⇔ + + ≥ + + + Không m ất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ , thế thì 2 2 2 1 1 1 a b c b c a c a b b c c a a b − − ≥ − − ≥ − −    ≥ ≥  + + +  Vi T Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có [ ] 2 2 2 1 1 1 1 (2 ) (2 ) (2 ) 0 3 a b c b c a c a b b c c a a b a b c b c a c a b b c c a a b − − − − − − + + + + +   ≥ − − + − − + − − + + =   + + +   Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 20. ất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Ta có 2 2 3( 1) 0 4 10 3 3 (3 )(3 1)a a a a a a− ≥ ⇔ ≥ − − = − − 3 1 3 4 a a a − ⇔ ≥ − (3) Trong (3) thay a bởi ,b c rồi cộng lại theo vế ta được 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 4 4 4 2 a b c a b c P a b c − − − = + + ≥ + + = − − − .  Không m Cách 21. Đặt , , b c a x y z c a b = = = ta có , , 0x y z > và 1xyz = . Bất đẳng thức trở thành 3 1 1 1 2 x y z zx xy yz + + ≥ + + + 2 x y z x y z xy yz zx z x y   ⇔ + + ≥ + + + + +     S ử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số ta có 2 3 3 x x z x x z z y yz + + ≥ 3 = T ừ đó dễ dàng suy ra x y z x y z z x y + + ≥ + + Ch ứng minh tương tự cho x y z xy yz zx z x y + + ≥ + + Suy ra điều phải chứng minh.  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Cách 23. Đặt , , a b c x y z b c c a a b = = = + + + thì P x y z= + + . Suy ra 1 1 1 2 1 1 1x y z + + = + + + hay 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Áp d ụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 3 1 2 2 3 27 xy yz zx xyz P P+ + + ≤ + Nên 2 3 2 1 2 3 1 (2 3)( 3) 0 3 27 2 P P P P P≤ + ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ .  Cách 24. Đặt , , a b c x y z b c c a a b = = = + + + . Xét hàm ( ) 1 t f t t = + với 0t > ta có 2 1 '( ) 0 ( 1) f t t = > + và 3 2 ''( ) 0 ( 1) f t t = − < + v ới mọi (0; )t ∈ +∞ Suy ra ( )f t là hàm lõm nên theo bất đẳng thức Jensen thì ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 3 2 x y z f x f y f z f f + + + +     ≥ = =         Mà hàm f t ăng ngặt trên (0; )+∞ nên ta có 1 3 3 2 2 x y z P x y z + + ≥ ⇔ = + + ≥ .  Cách 25. Không mất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ . Đặt ( ) a b c f a b c c a a b = + + + + + . Ta có 2 2 2 2 1 1 '( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c f a b c c a a b b c c b c b = − − ≥ − − = + + + + + + Suy ra 2 ( ) ( ) ( ) 2 b c f a f b g b b c b ≥ = + = + L ại có 2 2 2 2 2 2 '( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 c c c c g b b c b b b b = − ≥ − = + + Suy ra 2 3 ( ) ( ) 2 2 c c g b g c c c c ≥ = + = + . V ậy 3 ( ) ( ) ( ) 2 P f a g b g c= ≥ ≥ = .  Cách 26.Đặt , a b x y c c = = . Không mất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ , ta có x y≥ ≥ 1 B ất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 3 1 1 2 x y y x x y + + ≥ + + + Theo b ất đẳng thức AM – GM thì 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x y x y y x y x x y + + + ≥ ⇔ + ≥ − − + + + + + + Ta ch ỉ cần chứng minh Cách 22. Đặt , , a b c x y z b c c a a b = = = + + + thì 1 1 1 2 1 1 1x y z + + = + + + (4) Ta s ẽ chứng minh 3 2 x y z+ + ≥ . Th ật vậy, giả sử 3 2 x y z+ + < , thế thì theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 1 1 9 9 2 3 1 1 1 3 3 2 x y z x y z + + ≥ > = + + + + + + + (mâu thu ẫn với (4)) V ậy 3 2 x y z+ + ≥ , đó là điều phải chứng minh.  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2( 1) ( 1)( ) y y x y x y y x x y y x x y − − − − + ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ + + + + + + + + + B ất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì x y≥ ≥1 nên 1 0y − ≥ và 2( 1) ( 1)( )y x x y+ ≤ + + .  Cách 27. ư cách 24, ta cần chứng minh 1 3 1 1 2 x y y x x y + + ≥ + + + v ới 1x y≥ ≥ . Đặt A x y= + và B xy= , bất đẳng thức tương đương với 2 2 1 3 ( 1)( 1) 2 x y x y x y x y + + + + ≥ + + + Hay 2 3 2 2 1 3 2 2 (7 2) 1 2 A B A A A A B A A B A − + + ≥ ⇔ − − + ≥ − + + Để ý rằng 7 2 0A− > và 2 4A B≥ , suy ra ta chỉ cần chứng minh 3 2 2 2 4(2 2) (7 2) ( 2) ( 2) 0A A A A A A A− − + ≥ − ⇔ − + ≥ B ất đẳng thức cuối luôn đúng và ta có điều phải chứng minh.  Cách 28. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 3 ( ) 3 2 2 4 b c b c b c a a + + + + + ≥ 3 2 3 27 3 3 ( ) ( ) ( ) . 4 2 b c a b c a b c a b c a a a + ⇔ + + ≥ + ⇔ + + ≥ Suy ra 3 3 3 . 2 ( ) a a a b c a b c ≥ + + + . T ừ đó ta chứng minh được 3 3 3 . 2 ( ) a b c a a b b c c b c c a a b a b c + + + + ≥ + + + + + Không m ất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Ta chỉ cần chứng minh 3a a b b c c+ + ≥ . Th ật vậy, theo bất đẳng thức AM – GM thì 1 3 1 3 1 3 a a a a a b b b b b c c c c c  + + ≥   + + ≥   + + ≥   Suy ra 2( ) 3 3( ) 9a a b b c c a b c+ + + ≥ + + = ,hay 3a a b b c c+ + ≥ .  Cách 29. S ử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 ( ) 2 2 ( )a b c a b c+ + ≥ + 2 2 2 2 8 (2 ) 8 . (2 ) b c a a a b c a a b c a b c + ⇔ + + ≥ ⇔ ≥ + + + T ừ đó ta chứng minh được 2 2 2 2 2 2 8 8 8 (2 ) (2 ) (2 ) a b c P a b c b c a c a b ≥ + + + + + + + + Không mất tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = ,ta chỉ cần chứng minh Làm nh S 2 2 2 2 2 2 3 ( 3) ( 3) ( 3) 16 a b c a b c + + ≥ + + + Để ý rằng 2 2 1 3 ( 1) ( 3) 16 32 a a a ≥ + − + (5) Th ật vậy, (5) 2 3 ( 1) ( 3) 0 2 a a⇔ − − ≤ luôn đúng vì 0 3a< < . Trong (5) thay a l ần lượt bởi ,b c rồi cộng theo vế các bất đẳng thức ta được 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 16 32 16 a b c a b c a b c + + ≥ + + + − = + + + .  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Cách 30. Tr ước hết ta sẽ chứng minh rằng 3 3 3 3 3 2 a a b c a b c ≥ + + + (6) Th ật vậy, (6) 3 3 3 2( ) 3 ( )a b c a b c⇔ + + ≥ + (7) S ử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 a b b b a a c c c a  + + ≥    + + ≥  C ộng theo vế hai bất đẳng thức này cho ta (7). Xây d ựng thêm hai bất đẳng thức tương tự dạng (6) rồi cộng chúng theo vế ta được 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 a b c P a b c a b c a b c   ≥ + + =     + + + + + +   .  Cách 31. Ta có 2P 2 2 2a b c b c c a a b = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a b a c b c b a c a c b b c c a a b + + + + + + + + + = + + − + + + 3 a b b c c a b c c a a b b c c a a b a b b c c a + + + + + + = + + + + + − + + + + + + 6 3 3≥ − = ( AM – GM cho 6 số) Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 32. Không mất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ . Thế thì 1 1 1 b c c a a b ≥ ≥ + + + Áp d ụng bất đẳng thức hoán vị ta có a b c b c a b c c a a b b c c a a b a b c c a b b c c a a b b c c a a b  + + ≥ + +   + + + + + +   + + ≥ + +  + + + + + +  Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 3 b c c a a b P b c b c c a c a a b a b ≥ + + + + + = + + + + + + Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 33. Bất đẳng thức đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 3( ) 2 a a b c a a b c a a b c a b c b c b c b c + + + + + + + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + ⇔ + + ≥ + + + Không m ất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ . Suy ra 2 2 2 a b c≥ ≥ và 1 1 1 b c c a a b ≥ ≥ + + + Áp d ụng bất đẳng thức hoán vị ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a b c c a a b b c c a a b a b c c a b b c c a a b b c c a a b  + + ≥ + +   + + + + + +   + + ≥ + +  + + + + + +  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net C ộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c a b b c c a b c c a a b a b b c c a   + + + + + ≥ + +   + + + + + +   2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 4 a b b c c a a b b c c a   + + + ≥ + +   + + +   2 a b c+ + = Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 34. ất tính tổng quát giả sử a b c≥ ≥ và 1a b c+ + = . Khi đó 1 3 a ≥ , 1 3 c ≤ suy ra 2 1 3 a b c+ = − ≥ , nên 1 1 1 ( , , ) , , 3 3 3 a b c       f . Áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm ( ) 1 x y f x x = = − , lồi trên (0,1), đối với bộ trội 1 1 1 ( , , ) , , 3 3 3 a b c       f , ta có 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 P f a f b f c f f f       = + + = + + =             B ất đẳng thức được chứng minh.  Cách 35. t tính tổng quát giả sử 1a b c+ + = . Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 3 (2 2 ) (1 ) (1 ) 64 (2 2 )(1 )(1 ) 3 27 a a a a a a − + + + +   − + + ≤ =     Do đó 2 27 (1 ) 1 32 a a a a ≥ + − . Tương tự 2 2 27 27 (1 ) , (1 ) 1 32 1 32 b c b b c c b c ≥ + ≥ + − − C ộng theo vế ba bất đẳng thức trên và sử dụng kết quả quen biết 3 3 n n n n x y z x y z+ + + +   ≥     v ới mọi , , 0, 1x y z n≥ ≥ ta được Không m ấ Không m 3 3 3 2 2 2 27 ( ) 2( ) ( ) 1 1 1 32 a b c P a b c a b c a b c a b c   = + + ≥ + + + + + + + +   − − − 3 2 27 1 1 3 3 6 1 32 3 3 2       ≥ + + =               .  Cách 36. t tính tổng quát giả sử 3a b c+ + = . Hiển nhiên là 2 ( 1) 0 1 (3 )a a a a− ≥ ⇔ + ≥ − 2 3 1 a a a a ⇔ ≥ − + ( vì , , (0,3)a b c ∈ ) Hoàn toàn t ương tự, ta có 2 3 1 b b b b ≥ − + và 2 3 1 c c c c ≥ − + C ộng theo vế ba bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 3 1 1 1 3 2 a b c a b c a b c P a b c a b c a b c + + = + + ≥ + + ≥ = − − − + + + + + + .  Cách 37. ất tính tổng quát, giả sử 1a b c+ + = . Trước hết ta sẽ chứng minh r ằ ng 2 a bc b ca c ab b c c a a b + + + + + ≥ + + + Không m www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net S ử dụng bất đẳng thức AM – GM với chú ý 1a b c+ + = , ta có ( )( ) ( )( ) ( )( )a bc b ca c ab a b a c b c b a c a c b b c c a a b b c c a a b + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2a b b c c a≥ + + + + + = . Tr ở lại bài toán, sử dụng bất đẳng thức quen biết 4 xy x y x y + ≤ + với mọi , 0x y ≥ , ta có [ ] 1 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 4 2 a b c bc ca ab b c c a a b b c c a a b b c c a a b + + ≥ − − − ≥ − + + + + + = + + + + + + Đó là điều phải chứng minh.  Cách 38. S ử dụng bất đẳng thức quen biết 2 ( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + + ta có 2 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca P b c c a c a a b a b b c   ≥ + +   + + + + + +   Suy ra b ất đẳng thức đã cho là đúng nếu ta chứng minh được bất đẳng thức mạnh hơn là 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ab bc ca b c c a c a a b a b b c + + ≥ + + + + + + 4[ ( ) ( ) ( )] 3( )( )( )ab a b bc b c ca c a a b b c c a⇔ + + + + + ≥ + + + Không m ất tính tổng quát giả sử 1a b c+ + = , bất đẳng thức trở thành 4[ (1 ) (1 ) (1 )] 3(1 )(1 )(1 )ab c bc a ca b a b c− + − + − ≥ − − − 1 1 1 9 9ab bc ca abc a b c a b c ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ + + Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo AM – GM và ta có điều phải chứng minh.  Cách 39. S ử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 3 2 3 1 9 9 3 2 2( ) 2( ) 3 2 ( )( ) a a a a a b c b c b c a b c a b c b c + + ≥ = ≥ + + + + + + + T ương tự ta chứng minh được 1 9 2 2( ) b b b c a c a a b c + + ≥ + + + + và 1 9 2 2( ) c c c a b a b a b c + + ≥ + + + + C ộng theo vế ba bất đẳng thức trên cho ta 3 9 3 2 2 2 2 P P+ ≥ ⇔ ≥ .  Cách 40. ất tính tổng quát, giả sử 3a b c+ + = . Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 3 3 3 3 2 2 2 (3 ) 2 (3 )(3 ) 4 3 2 2 (3 ) (3 ) 3 a a a a a a a a a a a a a a a = ≥ = ⇒ ≥ − − − − + − + −       Chứng minh tương tự 3 2 b b b b ≥ − và 3 2 c c c c ≥ − C ộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 3 3 3 3 2 2 a b c a a b b c c a b c + + + + ≥ ≥ − − − .  Không m Cách 41. [ ] 2 2 2 3 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4( )( )( ) P a a b a c b b a b c c c a c b a b c a b b c c a a b b c c a − =   − − + − − + − − + + + − + − + −   = + + + Ta có www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net Theo bất đẳng thức Schur thì ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a a b a c b b a b c c c a c b− − + − − + − − ≥ và hi ển nhiên 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c a b b c c a   + + − + − + − ≥   suy ra điều phải chứng minh.  Cách 42. Ta có 3 (2 )( )( ) (2 )( )( ) (2 )( )( ) 2 2( )( )( ) a b c a b a c b c a b a b c c a b c a c b P a b b c c a + + − − + + + − − + + + − − − = + + + Không m ất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥ , thế thì 2 2 2 a b c b c a c a b+ + ≥ + + ≥ + + S ử dụng bất đẳng thức Vornicu – Schur (hay bất đẳng thức Schur suy rộng) ta được (2 )( )( ) (2 )( )( ) (2 )( )( ) 0a b c a b a c b c a b a b c c a b c a c b+ + − − + + + − − + + + − − ≥ Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 43. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c P a b a c b c b a c a c b a b b c c a ab bc ca + + = + + ≥ + + + + + + + + Ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2( ) 3( ) 3( )a b c a b b c c a ab bc ca+ + ≥ + + + + + S ử dụng bất đẳng thức Vasile Cirtoaje quen biết sau 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 3( )a b c a b b c c a+ + ≥ + + T ương tự 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + Suy ra điều phải chứng minh.  Cách 44. Nhận xét rằng vế trái của bất đẳng thức là một hàm đối xứng đối với ba biến , ,a b c , nếu vi ết nó dưới dạng đa thức thì được một đa thức có bậc không quá 3. Theo định lí ABC ta chỉ cần xét b ất đẳng thức trong hai trường hợp: •Trường hợp 1: Một trong ba biến , ,a b c bằng 0, giả sử 0c = . Bất đẳng thức trở thành 3 2 a b b a + ≥ luôn đúng theo bất đẳng thức AM – GM. •Trường hợp 2: Hai trong ba biến , ,a b c bằng nhau, giả sử b c= . Bất đẳng thức trở thành 2 2 3 ( ) 0 2 2 2 ( ) a b a b b a b b a b − + ≥ ⇔ ≥ + + B ất đẳng thức được chứng minh.  Cách 45. Tr ước hết ta sẽ phát biểu và chứng minh một bổ đề. Bổ đề. Với mọi , , 0a b c > thì 2 2 2 2( ) 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) a b c ab bc ca b c c a a b a b b c c a   + + + + ≥ + +   + + + + + +   Th ật vậy, bổ đề tương đương với 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c ab c bc a ca b b c c a a b a b a b b c b c c a c a + + ≥ + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c ab bc ca b c c a a b a b b c c a ⇔ + + ≥ + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ab ac bc bc ba ca ca cb ab b c c a a b + − + − + − ⇔ + + ≥ + + + (8) Không m ất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥ , thế thì 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ab ac bc bc ba ca ca cb ab b c c a a b + − ≥ + − ≥ + −    ≥ ≥  + + +  www.hsmath.net www.hsmath.net www.hsmath.net [...]...www.hsmath.net www.hsmath.net Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có w w w h sm at h ne t  1 1 1  + + VT (8) ≥ [ (ab + ac − 2bc) + (bc + ba − 2ca ) + (ca + cb − 2ab) ]  =0 2 2 (c + a ) ( a + b) 2   (b + c) Bổ đề được chứng minh Trở lại bài toán, sử dụng bổ đề và bất đẳng thức Iran TST 1996  1 1 1  9 + + ( xy + yz + zx)  ≥ 2 2 ( y + z) ( z + x)2  4  ( x + y) ta có ngay điều phải chứng minh . số cách chứng minh BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT 1. Bất đẳng thức Nesbitt: Nếu , ,a b c là các số dương thì ta có bất đẳng thức 3 2 a b c P b c c a a b = + + ≥ + + + 2. Một số cách chứng. ∈ ) Hoàn toàn t ương tự, ta có 2 3 1 b b b b ≥ − + và 2 3 1 c c c c ≥ − + C ộng theo vế ba bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 3 1 1. giả sử b c= . Bất đẳng thức trở thành 2 2 3 ( ) 0 2 2 2 ( ) a b a b b a b b a b − + ≥ ⇔ ≥ + + B ất đẳng thức được chứng minh.  Cách 45. Tr ước hết ta sẽ phát biểu và chứng minh một bổ