10 de on vao 10+DA

ĐỀ SỐ 1. Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − . a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A. Bài 2 ( 1,5 điểm) Giả sử x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình : x 2 + 2kx + 4 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 2 2 1 2 2 1 3 x x x x     + ≥  ÷  ÷     . Bài 3 ( 1 điểm) Cho x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 M x y = + . Bài 4 ( 2 điểm) Cho phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 x x x x + − + = + + − − . a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . Bài 5 ( 3 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB BD⊥ . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB a) Chứng minh FDG∆ đồng dạng với ECG∆ . b) Chứng minh EGF F⊥ . HẾT ĐÁP ÁN Bài 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x A x x x x − + + = − − − + − − . a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . b) Rút gọn biểu thức A . Điều kiện : 0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠ - 1 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 3 2 1 5 6 2 3 2 9 3 2 1 = 2 3 3 2 2 9 3 3 2 1 2 = 3 2 2 9 9 2 4 2 = 3 2 1 2 2 1 = 3 3 2 3 2 x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + = − − − + − − − + + − + − − − − − − + − + + − − − − − + + + − − − − + − − − + = = − − − − − Bài 2 ( 1,5 điểm) Giả sử x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình : x 2 + 2kx + 4 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : 2 2 1 2 2 1 3 x x x x     + ≥  ÷  ÷     . Phương trình : x 2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 , 2 2 4 0 4(*)k k⇔ ∆ = − > ⇔ > . Khi đó ta có : 1 2 1 2 2 4 x x k x x + = −   =  Vậy : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 4 8 3 2 3 4 2 3 2 3 (**) 2 3 x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k   + −       + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥    ÷  ÷  ÷            − ≤ −   − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔   ÷ − ≥      ≤ − ⇔  ≥ +   Kết hợp (*) và (**) ta có : 2 2 4 2 k k k ≤ −  ≥ ⇔  ≥  Vậy để phương trình : x 2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa : 2 2 1 2 2 1 3 x x x x     + ≥  ÷  ÷     thì : 2x < − hoặc 2x > . Bài 3 ( 1,5 điểm) Cho x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 1 1 M x y = + . Ta có : x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) +4(x + y) + 4 = 0 - 2 - ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x +1 + y 3 + 3y 2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 ⇔ (x + 1) 3 + (y + 1) 3 + (x + y + 2) = 0 ⇔ (x + y + 2)[(x + 1) 2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1) 2 + 1] = 0 (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 V x 1 – x 1 y 1 y 1 1 1 3 = 1 1 1 1 0 2 4 ì x y y + + + + + +   + − + + + + >     Nên (*) ⇔ x + y + 2 = 0 ⇔ x + y = - 2 1 1 2 Ta c : x y ó M x y xy xy + − = + = = vì ( ) 2 1 2 4 4 4 1 2x y xy xy xy xy − + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ − . Vậy MaxM = -2 ⇔ x = y = -1 . Bài 4 ( 2 điểm) Cho phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 x x x x + − + = + + − − . a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa . b) Giải phương trình . a) điều kiện : 0 4x< ≤ 2 2 b) 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 4 2 2 4 2 x x x x x x x x + − + = + + − − + − ⇔ + = + + − − Đặt 4 2 x+ = a ; 4 2 x− = b ( a ; b ≥ 0) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 Ta c : 2 2 2 8 2 8 4 2 8 4 2 4 0 8 (I) 2 4 0 a b ó a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab ab a b a b ab  + =   + =  + −   + =   + − − = + − −    + =  ⇔  − + − + =    + =  ⇔  − − + =   Vì ab + 4 > 0 nên : - 3 - ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 0 1 3 (loai v a 0) 3 1 4 2 3 1 3 3 1 4 2 3 1 ab a b ab I a b a b b b a b a a a a a a a a ì a x x b x  =  − + =  ⇔ ⇔   − = − =      =   =  =    ⇔ ⇔ ⇔     = +    − = − − =      = − <      = + + = +   ⇔ ⇔ ⇔ =   = −   − = −   Bài 5 ( 3 điểm) Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và AB BD⊥ . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB c) Chứng minh FDG∆ đồng dạng với ECG∆ . d) Chứng minh EGF F⊥ . ABCD : AB // CD ; CD > AB ; AB BD⊥ . AB BD⊥ ; AG = CE ; BG = DF . Chứng minh : a) FDG ∆ ~ ECG ∆ . b) EGF F ⊥ Chứng minh : a) Ta có AB // CD BG GD AG GC ⇒ = , mà AG = CE ; BG = DF DF GD CE GC ⇒ = Xét FDG∆ và ECG∆ có : · · 0 ; 90 DF GD GDF GCE CE GC = = = FDG⇒ ∆ ~ ECG∆ ( c- g-c) b) Ta có FDG∆ ~ ECG∆ · · GFD GEC⇒ = ⇒ GFCE nội tiếp ⇒ · · GCE GFE= cùng chắn » GE mà · · 0 0 90 90GCE GFE GF FE= ⇒ = ⇒ ⊥ - 4 - \\ // X X F E D C G B A S 2. Bài 1: ( 1 điểm ) Chứng minh đẳng thức: 3 2 6 150 1 4 3 3 27 3 6 ì = ữ ữ Bài 2: ( 2 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) ( ) 2 2 3 4 9 6 1 3 1 A x x x x = + với 1 0 3 x< < . b) 4 7 4 7 4 7 4 7 B + = + + Bài 3: ( 2 điểm) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đờng sắt Huế - Hà Nội dài 645 km. Bài 4: ( 3,5 điểm ) Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn. Bài 5: ( 1,5 điểm ) Để làm một cái phểu hình nón không nắp bằng bìa cứng bán kính đáy 12r cm= , chiều cao 16h cm= , ngời ta cắt từ một tấm bìa ra hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón, sau đó cuộn lại. Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm; tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, có thể sử dụng tấm bìa nào để làm ra cái phểu hình nón nói trên mà không phải chắp nối ? Giải thích. P N Bi 1. - 5 - ( ) ( ) ( ) 2 3 3 6 3 1 3 2 6 6 3 27 3 3 3 3 3 3 1 = = = ( 1 ) 150 5 6 3 3 = ( 2 ) T ( 1 ) v ( 2 ) ta cú: 3 2 6 150 1 6 5 6 1 4 6 1 4 3 3 3 3 3 27 3 6 6 6 ì = ì = ì = ữ ữ ữ ữ Bi 2. a) A = ( ) ( ) 2 2 2 6 3 1 3 4 9 6 1 3 1 3 1 x x x x x x x + = ( ) 6 3 16 3 1 6 3 1 3 1 x xx x x x x = = = (vì 1 0 3 x< < nên 0x > và 3 1 0x < ) b) ( ) ( ) 2 2 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 9 9 3 4 7 4 7 B + + + + = + = + = + 4 7 4 7 8 3 3 3 B + = + = (vì 16 7 4 7> > ). B i 3. Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. k: x > 0. Vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h). Theo giả thiết, ta có phơng trình: 300 5 345 5 3x x + = + ( ) ( ) 2 900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x + + = + = Giải phơng trình ta đợc: 1 23x = (loại vì x > 0) và 2 45 0x = > . Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h S: v 1 = 45 km/h v 2 = 50 km/h B i 4. a) Tứ giác ABEH có: à 0 90B = (góc nội tiếp trong nửa đờng tròn); à 0 90H = (giả thiết) Nên: ABEH nội tiếp đợc. Tơng tự, tứ giác DCEH có à à 0 90C H= = , nên nội tiếp đợc. b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: ã ã EBH EAH= (cùng chắn cung ẳ EH ) - 6 - Trong (O) ta có: ã ã ã EAH CAD CBD= = (cùng chắn cung ằ CD ). Suy ra: ã ã EBH EBC= , nên BE là tia phân giác của góc ã HBC . + Tơng tự, ta có: ã ã ã ECH BDA BCE= = , nên CE là tia phân giác của góc ã BCH . + Vậy: E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH. Suy ra EH là tia phân giác của góc ã BHC c) Ta có I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD, nên ã ã 2BIC EDC= (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ằ EC ). Mà ã ã EDC EHC= , suy ra ã ã BIC BHC= . + Trong (O), ã ã ã 2BOC BDC BHC= = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ằ BC ). + Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc ã BHC dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B, C, H, O, I cùng nằm trên một đờng tròn. B i 5. + Đờng sinh của hình nón có chiều dài: 2 2 20( )l r h cm= + = . + Hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón là hình quạt của hình tròn bán kính l , số đo của cung của hình quạt là: 0 0 360 360 12 216 20 r n l ì = = = ã ã 0 72 cos OI AOI AOI OA = = 0 20cos72 6,2( )OI cm = . + Do đó, để cắt đợc hình quạt nói trên thì phải cần tấm bìa hình chữ nhật có kích th- ớc tối thiểu: dài 40cm, rộng (20 + 6,2) = 26,2cm. Vậy phải dùng tấm bìa B mới cắt đợc hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón mà không bị chắp vá. S 3. Bi 1: ( 2 im ) Cho biu thc P= a) Rỳt gn biu thc P b) Tỡm x P < Bi 2: ( 2 im ) Mt ngi i xe p t A n B cỏch nhau 24km. Khi t B tr v A ngi ú tng vn tc thờm 4km/h so vi lỳc i, vỡ vy thi gian v ớt hn thi gian i 30 phỳt. Tớnh vn tc ca xe p khi i t A n B. Bi 3: ( 2 im ) Cho phng trỡnh ( * ) - 7 - a) Giải phương trình khi b= -3 và c=2 b) Tìm b,c để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1. Bài 4: ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H) a) Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. c) Xác định vị trí điểm H để AB= R . Bài 5: ( 1 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất. ĐÁP ÁN Bài 1: P= a) Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là b) Yêu cầu . Đối chiếu với điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là Bài 2: Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x >0) Vận tốc khi về là x + 4 ( km/h ) Thời gian khi đi là 24/x Thời gian khi về là: 24/x+4 Theo bài ra ta có phương trình . Giải ra ta có nghiệm x = 12 ( km/h ) Vận tốc khi đi từ A đến B là 12 km/h Bài 3: - 8 - 1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x 2 -3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2 2. Điều kiện cần tìm là Bài 4: 1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng. 2. nên hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE. 3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có đều cạnh R. Vậy AH= OM= Bài 5: Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1. ĐỀ SỐ 4. Câu 1: ( 1, 5 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: - 9 - a) x 2 – 2 x + 4 = 0 b) x 4 – 29x 2 + 100 = 0 c) Câu 2: ( 1, 5 điểm ) Thu gọn các biểu thức sau: a) b) Câu 3: ( 1 điểm ) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m 2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Câu 4: ( 2 điểm ) Cho phương trình x 2 – 2mx + m 2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số. a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 . c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x 1 x 2 - x 1 - x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số khi tứ giác BHOC nội tiếp. d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC. ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x 1 = 5 – 1 và x 2 = 5 + 1. b) Đặt t = x 2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t 2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2. * t = 25 x 2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x 2 = 4 x = ± 2. - 10 - [...]... là: x+2 (giờ) 1 (bể) x 1 Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc : (bể) x+2 1 1 Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc : + (bể) x x+2 1 1 1 Theo bài ra ta có phơng trình: + = 12 x x+2 5 6 Giaỉ phơng trình ta đợc x1=4; x2=- (loại) 5 0.5 Vậy: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là:4 giờ Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 4+2 =6(giờ) Vẽ hình và ghi gt, kl đúng 0.25 Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy... 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 Xét 2m -10= > m 1/2 khi đó ta có , = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m m +1 1 = 2m 1 2m 1 1 pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1< 0 >0 => 2m 1 =>m . vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ) Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc : 1 x (bể) 0.5 Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc : 1 2x + (bể) Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc : 1 x + 1 2x + (bể) Theo. à 0 90B = (góc nội tiếp trong nửa đờng tròn); à 0 90H = (giả thiết) Nên: ABEH nội tiếp đợc. Tơng tự, tứ giác DCEH có à à 0 90C H= = , nên nội tiếp đợc. b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta. x 2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t 2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2. * t = 25 x 2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x 2 = 4 x = ± 2. - 10 - Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5. c) Câu