ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2009 – 2010 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x x 2 3 2 3 2 lim 2 4 → − + − − b) ( ) x x x x 2 lim 2 1 →+∞ + − − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 1= : x x khi x f x x khi x 2 2 3 1 1 ( ) 2 2 2 1 − + ≠ = − = Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x x 3 ( 2)( 1)= + + b) y x x 2 3sin .sin3= Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh tam giác SBC vuông. b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH). c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: m x m x 5 2 4 (9 5 ) ( 1) 1 0− + − − = Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y f x x x 2 4 ( ) 4= = − có đồ thị (C). a) Giải phương trình: f x( ) 0 ′ = . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức a b c2 3 6 0 + + = . Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1): ax bx c 2 0+ + = Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y f x x x 2 4 ( ) 4= = − có đồ thị (C). a) Giải bất phương trình: f x( ) 0 ′ < . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN LỚP 11 Câ u Ý Nội dung Điểm 1 a) x x x x x x x x x x x 2 3 2 2 2 3 2 ( 1)( 2) lim lim 2 4 ( 2)( 2 2) → → − + − − = − − − + + 0,50 = x x x x 2 2 1 1 lim 10 2 2 → − = + + 0,50 b) ( ) x x x x x x x x x 2 2 2 1 lim 2 1 lim 2 1 →+∞ →+∞ − + − − = + − + 0,50 = 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x − = + − + 0,50 2 f(1) = 2 0,25 x x x x f x x 2 1 1 2 3 1 lim ( ) lim 2( 1) → → − + = − = x x x x x x 1 1 ( 1)(2 1) 2 1 lim lim 2( 1) 2 → → − − − = − = 1 2 0,50 Kết luận hàm số liên tục tại x = 1 0,25 3 a) 3 4 3 ( 2)( 1) 2 2y x x y x x x= + + ⇒ = + + + 0,50 3 2 ' 4 3 2y x x⇒ = + + 0,50 b) y x x y x x x x x 2 2 3sin .sin3 ' 6sin cos .sin3 6sin .cos3= ⇒ = + 0,50 x x x x x x x6sin (cos sin3 sin cos3 ) 5sin sin 4= + = 0,50 4 0,25 a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 0,50 Vậy tam giác SBC vuông tại B 0,25 b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC) 0,50 BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC) 0,50 c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d B SAC BH( ,( )) = BH AB BC 2 2 2 1 1 1 = + 0,50 2 2 2 2 2 2 10 5 5 AB BC BH BH AB BC = = ⇒ = + 0,50 5a Gọi f x m x m x 5 2 4 ( ) (9 5 ) ( 1) 1= − + − − ⇒ f x( ) liên tục trên R. 0,25 f f m 2 5 3 (0) 1, (1) 2 4 = − = − + ÷ f f(0). (1) 0⇒ < 0,50 2 ⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m 0,25 6a a) y f x x x 2 4 ( ) 4= = − , f x x x f x x x 3 2 ( ) 4 8 ( ) 4 ( 2) ′ ′ = − + ⇒ = − − 0,50 Phương trình x f x x x x 2 2 ( ) 0 4 ( 2) 0 0 = ± ′ = ⇔ − − = ⇔ = 0,50 b) x y k f 0 0 1 3, (1) 4 ′ = ⇒ = = = 0,50 Phương trình tiếp tuyến là y x y x3 4( 1) 4 1− = − ⇔ = − 0,50 5b Đặt f(x)=ax bx c 2 + + ⇒ f x( ) liên tục trên R. • f c(0) = , c c f a b c a b c 2 4 2 1 (4 6 12 ) 3 9 3 9 3 3 = + + = + + − = − ÷ 0,25 • Nếu c 0= thì f 2 0 3 = ÷ ⇒ PT đã cho có nghiệm 2 (0;1) 3 ∈ 0,25 • Nếu c 0≠ thì c f f 2 2 (0). 0 3 3 = − < ÷ ⇒ PT đã cho có nghiệm 2 0; (0;1) 3 α ∈ ⊂ ÷ 0,25 Kết luận PT đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) 0,25 6b a) y f x x x f x x x f x x x 2 4 3 2 ( ) 4 ( ) 4 8 ( ) 4 ( 2) ′ ′ = = − ⇒ = − + ⇔ = − − 0,25 Lập bảng xét dấu : 0,50 Kết luận: ( ) ( ) f x x( ) 0 2;0 2; ′ < ⇔ ∈ − ∪ +∞ 0,25 b) Giao của đồ thị với Oy là O(0; 0) 0,25 Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại O là k = 0 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 0 0,50 3 . x 2 2 1 1 lim 10 2 2 → − = + + 0,50 b) ( ) x x x x x x x x x 2 2 2 1 lim 2 1 lim 2 1 →+∞ →+∞ − + − − = + − + 0,50 = 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x − = + − + 0,50 2 f(1) = 2 0 ,25 x x x x f x x 2 1 1 2. . . . . 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KI M TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 20 09 – 20 10 MÔN TOÁN LỚP 11 Câ u Ý Nội dung Điểm 1 a) x x x x x x x x x x x 2 3 2 2 2 3 2 ( 1)( 2) lim lim 2 4 ( 2) ( 2 2) → → − + − − = − −. 2 – Năm học 20 09 – 20 10 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2, 0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) x x x x x 2 3 2 3 2 lim 2 4 → − + − − b) ( ) x x x x 2 lim