ĐỀ+ ĐÁP ÁN HAY HSG TOÁN 7

TRNG THCS DNG QUANG THI XUT D THI HSG CP HUYN Môn: Toỏn 7 NM HC:2010-2011 ( Thi gian lm bi: 120 phỳt ) Câu 1 (3điểm) 1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 15 + ; 53 2) Thực hiện phép tính: A = + + + 9 8 25 1931 . 3862 11 1931 7 : 34 33 17 193 . 386 3 193 2 3) Chứng minh rằng: B = 2 1 99.9898.9797.96 4.33.22.1 1.982.973.96 96.397.298.1 = ++++++ ++++++ Câu 2 ( 1 điểm) . Tìm x, y biết : ( 2x 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 0 Câu 3 ( 2 điểm): a) Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b 2 = ac và c 2 = bd. Chứng minh rằng: d a dcb cba = ++ ++ 333 333 b) Cho S = abc bca cab + + . Chng minh rng S khụng phi l s chớnh phng Câu 4 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 90 0 .trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 90 0 . 1) Chứng minh rằng: a) NC = BM b) NC BM. 2) Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN. đáp án - biểu điểm : môn toán lớp 7 Câu 1 ( 3 điểm) 1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 15 + ; 53 (0,5 điểm) Trong ba số 17 ; 15 + ; 53 thì 53 là số lớn nhất. Vậy nếu 17 + 15 + > 53 thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là 17 ; 15 + ; 53 (0,25 điểm ) Thật vậy : 17 > 416 = (0,25 im ) 15 + > 314 =+ => 17 + 15 + > 7 = 49 > 45 = 53 2) ( 1 điểm) A = + + 2 9 25 1931 . 3862 25 : 34 33 17 193 . 386 1 ( 0,5đ ) A = + + 2 9 2 1 : 34 33 34 1 ( 0,25 đ ) A = 5 1 ( 0,25 đ) 3) ( 1 điểm) Có 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 96.3 + 97.2+ 98.1 = ( 1 + 2 +3 + .+ 96+97+98) + (1+2+3+ + 96+97)+ .+ (1+2)+1 ( 0,5 điểm) = 2 99.98 + 2 98.97 + .+ 2 3.2 + 2 2.1 ( 0,25 điểm) = 2 99.9898.97 3.22.1 ++++ => B = 99.9898.9797.96 4.33.22.1 1.982.973.96 96.397.298.1 ++++++ ++++++ = 2 1 (0,25 im ) Câu 2 ( 1 điểm) * Theo tính chất luỹ thừa bậc 2 ta có: ( 2x 5) 2008 0 ( 0,25 điểm) (3y + 2x ) 2010 0 => ( 2x - 5) 2008 + ( 3y + 4) 2010 0 (1) ( 0,25 điểm) * Mà ta có (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 0 (2) * Từ (1) và (2) ta có : (2x -5) 2008 +(3y+4) 2010 = 0 ( 0,25 điểm)  2x-5 = 0  x = 5/2 3y +4 = 0 y = - 4/3 ( 0,25 ®iÓm) * VËy x= 5/2 vµ y = -4/3 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a, Ta cã b 2 = ac vµ b,c ≠ 0 => b a c b = (1) ( 0,25 ®iÓm) T¬ng tù ta cã : d c c b = (2) * Tõ (1) vµ (2) ta cã : d c c b b a == ( 0,25 ®iÓm) * §Æt d c c b b a == = k ( k≠ 0 do a,b,c ≠ 0) Cã k 3 = d a d c c b b a = (3) ( 0,25 ®iÓm) K 3 = 333 333 3 3 3 3 3 3 dcb cba d c c b b a ++ ++ === (4) * Tõ (3) vµ (4) ta cã d a dcb cba = ++ ++ 333 333 ( 0,25 ®iÓm) b, S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). ( 0,5 ®iÓm) Vì 0 < a+b+c ≤ 27 nên a+b+c M 37. Mặt khác ( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) M 37 => S không thể là số chính phương. (0,5 điểm ) C©u 4 (4 ®iÓm) ( GT-KL ; Vẽ hình ) ( 0,5điểm ) 1a) N M P K H Q I C B A T Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt) NAB và CBA kề nhau. Có NAB = 90 0 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC. CAB < 90 0 (gt) => NAB + CAB < 180 0 => NAB + CAB = 90 0 + CAB = NAC (1) (0,5 điểm) Chứng minh tơng tự có: 90 0 + CAB = NAC (2) (0,25 đ) * Từ (1) và (2) ta có NAC = BAM * Xét NAC và có: + AN = AB (gt) + NAC = BAM (cmt) => C = ( c.g.c) (0,25 đ) + AC = AM (gt) => NC = BM ( đpcm) 1b) * Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T. Ta có NAC = BAM ( cmt) => CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ) Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) => MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 0 ) (0,5 đ) Mà MAT = 90 0 (gt) => CIT = 90 0 hay NC BM ( đpcm) 2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H. kẻ MP vuông góc với AK tại P Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q. Chứng minh đợc NQA = AHB ( cạnh huyền- góc nhọn) => NQ = AH (3) (0,5 đ) * Chứng minh tơng tự có MP = AH (4) (0,25 đ) Từ (3) và (4) ta có NQ = MP. * Chứng minh đợc NQK = MPK (g.c.g) => NK = MK. (0,5 đ) Mà N, M, K thẳng hàng (gt) => K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ) * *Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chơng trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bớc. . đoạn thẳng MN. đáp án - biểu điểm : môn toán lớp 7 Câu 1 ( 3 điểm) 1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 15 + ; 53 (0,5 điểm) Trong ba số 17 ; 15 + ; 53 . + + + 9 8 25 1931 . 3862 11 1931 7 : 34 33 17 193 . 386 3 193 2 3) Chứng minh rằng: B = 2 1 99.9898. 979 7.96 4.33.22.1 1.982. 973 .96 96.3 97. 298.1 = ++++++ ++++++ Câu 2 ( 1 điểm) . Tìm. 1.98 + 2. 97 + 3.96 + + 96.3 + 97. 2+ 98.1 = ( 1 + 2 +3 + .+ 96+ 97+ 98) + (1+2+3+ + 96+ 97) + .+ (1+2)+1 ( 0,5 điểm) = 2 99.98 + 2 98. 97 + .+ 2 3.2 + 2 2.1 ( 0,25 điểm) = 2 99.9898. 97 3.22.1