Đề luyện tập thi OLP Toán SV

Đề luyện tập : Bài 1: Cho dãy . Tìm Bài 2:Cho liên tục, khả vi trên thỏa mãn: . Chứng minh rằng: ( BĐT ngược chiều ) Bài 3: Cho hàm số có: giả sử xác định, liên tục trên R, thỏa mãn: . Chứng minh rằng: sao cho Bài 4: Cho hàm số liên tục trên thỏa: Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng: thì tồn tại đa thức bậc sao cho và tính tổng các hệ số của đa thức này! Bài 6 : Cho F và G là các hàm liên tục, tăng chặt từ R vào sao cho và . Chứng minh rằng Bài 7:cho chuỗi hàm ,giả thiết rằng chuỗi hội tụ. a tìm miền hội tụ của chuỗi hàm. b. xét tính liên tục, tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong miền hội tụ Bài 8 :Cho là dãy hàm xác định trên sao cho : + các chuỗi hội tụ. + là các hàm khả vi liên tục trên đoan và với mọi x thuộc . chứng minh chuỗi hội tụ đều trên Bài 9 : Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 và y tiến tới 0 Bài 10 : ( Đề thi OLP ĐH Mỏ - Địa Chất 2011 ) Tìm tất cả các hàm liên tục trên toàn trục số thỏa mãn: Bài 11 : Cho f, g là các hàm dương, tăng trên , chứng minh rằng Tổng quát : Cho là các hàm liên tục trên và trên đoạn ấy chúng cùng đồng biến hoặc nghịch biến.Chứng minh rằng: Bài 12 : Cho thuộc lớp .Chứng minh rằng với mọi điều sau đây đúng: Bài 13 : Giả sử f là hàm liên tục / [0;1] , a là số dương sao cho: Chứng minh rằng: Bài 14 : ( Đề thi OLP Bách Khoa 2011 ) Cho hàm số với khả vi trên Chứng minh rằng tôn tại sao cho Bài 15 : ( Đề thi OLP Bách Khoa 2011 ) Chứng minh rằng với , phương trình xác định duy nhát 1 hàm số thực z(x). Tính Bài 16 : Đặt Chứng minh Bài 17 : Tính tích phân sau : Bài 18 : Cho , chứng minh rằng : Bài 19 : Tính : I = Bài 20 : Cho là hàm khả vi có đạo hàm liên tục không âm.Chứng minh rằng tồn tại sao cho : Bài 21 : Cho hàm số liên tục trên , khả vi trên . Chứng minh rằng tồn tại các giá trị sao cho: Bài 22 : Với là số tự nhiên,ta đặt sao cho .Chứng minh rằng tồn tại trong thỏa mãn: Bài 23 : Chứng minh rằng: Bài 24: Cho f khả vi liên tục trên R và , (a < b) .Giả sử f(a)=f(b)=0. Chứng minh: với Bài 25 : Cho f(x) liên tục trên [0;1], khả vỉ trên (0,1) và thỏa mãn điều kiện f(0)=f(1)=0. Chứng minh rằng tồn tại sao cho: Bài 26 : Hãy chứng minh nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp hai f"'(x) thì: Bài 27 : Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên và tồn tại giới hạn hữu hạn thì f bị chặn trên Hướng dẫn : Bài 1 : *) *) *) Bài 2 : Từ giả thiết ta có f là hàm không âm, xét hàm ta có , để chứng minh bất đẳng thức, ta chỉ cần chỉ ra . Thật vậy, Ta có , và do đó vậy do đó . Ta chỉ cần chỉ ra . vậy ( BĐT ngược chiều ) Bài 4 : Cách 1 :*) Lần lượt lấy tích phân hai về theo x,y và đặt Ta có: Suy ra: ( Cách giải này ko tạo ra dấu “=” khi ) Cách 2 : Ta lấy Suy ra điều phải chứng minh Cách 3 : *) Cho ta được . *) Cho ta được hay ta được . Đặt thì ta chỉ ra được ( Cách này cũng không chỉ ra được dấu = ) Bài 5 : *) Với : Ta thấy tồn tại đa thức thỏa bài *) Với : Ta thấy tồn tại đa thức thỏa bài . Giả sử khẳng định đúng với mọi . Ta gọi là đa thức thỏa bài với Ta chọn : với là đa thức Khi đó : (Theo giả thiết quy nạp ) Vậy khẳng định đúng với nên theo quy nạp toán học , ta có ĐPCM. Với 1 đa thức bậc thỏa bài ta có : Hê số Bài 6 : *) Áp dụng định lý Fubini đổi thứ tự lấy tích phân Chú ý là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số ; và 2 đường *Đồ thị hàm số là ảnh của đồ thị qua phép đối xứng trục Bài 7 : a, Ta có chuỗi hội tụ. Suy ra Chuỗi hội tụ. Mặt khác ,…. Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối nên chuỗi hội tụ trên \mathbb{R} b, Dễ chứng minh là liên tục và hội tụ Tương tự ta có chuỗi hội tụ và liên tục. Do đó S(x) khả vi. ( Kiểm tra : chuỗi hội tụ => Chuỗi hội tụ ) Cách 2 : ( Với bài toán xét chuỗi có dạng thì nên dùng tiêu chuẩn Abel hoặc Dirichlet ) Đặt thì dãy bị chặn (do chuỗi hội tụ), nên có sao cho với mọi n. Với mọi , với mọi ta có dãy là dãy đơn điệu giảm, hội tụ đều đến 0 trên , do đó với mọi , ta có do đó cái này có thể làm nhỏ tùy ý khi lấy N lớn, do đó chuỗi đã cho hội tụ đều trên , với mọi . Đặc biệt là nó hội tụ với mọi x, do đó miền hội tụ là R. b, Từ trên ta thấy chuỗi hội tụ đều trên với mọi a dương, nên chuỗi tổng liên tục trên R. Xét chuỗi thì ta có, chuỗi đầu tiên trong tổng hội tụ (áp dụng tiêu chuẩn Dirichlet). Chuỗi thứ hai hội tụ đều trên , với mọi a dương (chứng minh như câu a) (ở đây ta sử dụng đơn điệu giảm, hội tụ đều đến 0 trên khi n lớn). Do đó chuỗi tổng trong câu a khả vi trên với mọi a dương. do đó nó khả vi trên R. Bài 8 : do với mọi x, nên hàm là hàm tăng hoặc giảm trên , do đó , do đo với hội tụ. Tồn tại N đủ lớn ( sao cho ), khi đó với , ta có ,với mọi . Do đó với mọi , ta có… do đó vế phải có thể làm nhỏ tùy ý khi chọn M lớn, vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trên . Bài 9 : Cách 1 : Xét trên đường thẳng là hằng số Khi đó do đó hàm số không có giới hạn Chú ý là: hàm số không liên tục nhưng lại tồn tại các đạo hàm riêng. Hàm f xác định như trên không tồn tại giới hạn. Cách 2 : Chọn 2 dãy cùng tiến về (0,0) nhưng giá trị của chúng tiến về 2 giới hạn khác nhau Cụ thể:chọn (s,s)->(0,0) (s,-s)->(0,0) nhưng Vì 2><0 nên giới hạn của f khi (x,y)->(0,0) không tồn tại Bài 10 : Từ giả thiết cùng với tính liên tục của f suy ra f là hàm khả vi. Đạo hàm theo x hai vế của đẳng thức trên, ta được (*) với mọi , đọ hàm theo y hai vế ta được hay với mọi Hơn nữa, do ánh xạ là song ánh từ vào chính nó, do đó là hằng số . Từ (*) chọn ta được do đó Vậy là hàm cần tìm. Bài 11 : Chứng minh với khoảng (0;1): Giả sử h là hàm liên tục, dương, . Đặt thì là hàm tăng chặt, là hàm tăng nên là hàm lồi, do đó , do đó . Đặt , thì , ta có Chứng minh Bài toán Tổng Quát : Giả sử cùng đồng biến. Do tính đồng biến nên => Do tính liên tục thì tồn tại sao cho hay (*) lại có: nên từ (*) thay vào trên ta được: suy ra điều phải chứng minh -Xét hàm và trong trường hợp nghịch biến Bài 12 : Dùng khai triển Taylor ta có với . Do đó Từ đây suy ra dpcm. Bài 13 : Xét 2 T/hợp : *) . *) f(x) = 0 Bài 14 : Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại sao cho , khi đó Chú ý : *)do , do đó *) . ( Sử dụng Langrange ) Bài 15 : Đặt thành thử => tích phân cần tính trở thành (Chú ý rằng ): I= Đ/S : I = 31/2 Bài 16 : Tính ra và Chú ý bổ đề : Đặt . [...]... Suy ra Đặt , suy ra giống hàm Beta hay tích Bài 19 : ta có: *) Tính Đặt *) Tính , ta có Dùng tích phân từng phần : Đặt Bài 20 : Xét hàm +) Nếu tồn tại sao cho , nên ta có đpcm , khi đó g liên tục trên tập xác định hoặc thì theo định lí Fecma suy ra +) Nếu f(x) khác 1, -1 với mọi x thì theo định lý Lagrange, tồn tại cho Do VP dương nên VT cũng dương, mặt khác VT không vượt qua Từ đó suy ra đpcm sao nên... trên miền Thoả mãn luôn có: thì xảy ra Do đó phải , theo định lí giá trị trung bình tồn Hoàn toàn tương tự nếu ĐPCM Bài 23 : Xét hàm Chứng minh Bài 24 : -Đặt -Bằng cách chia đẳng thức: Với mọi Từ giả thi t suy ra: với , do đó thành các đoạn nhỏ ở đó không đổi dấu , c/m được bất (*) chọn và Áp dụng (*) Hay Bài 25 : Xét hàm Khi đó g(x) sẽ thỏa mãn mọi điều kiện của định lí Lagrange và có Do vậy sẽ tồn... lý L'Hospital Thật vậy, thấy rằng L'Hosptal lần thứ nhất, ta được: nên áp dụng (Đạo hàm cả tử và mẫu phân thức theo biến ) Do tồn tại nên theo Lagrange, tồn tại để (đ pcm) Cách 2 : Nên: Bài 27 : + Giả thi t: + Ta có: … + Đặt Mà f(x) liên tục trong khoảng f(x) liên tục trong đoạn [0,N]; Vậy f(x) bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại B>0 sao cho: + Đặt , ta có: : (ĐPCM) ; . dương sao cho: Chứng minh rằng: Bài 14 : ( Đề thi OLP Bách Khoa 2011 ) Cho hàm số với khả vi trên Chứng minh rằng tôn tại sao cho Bài 15 : ( Đề thi OLP Bách Khoa 2011 ) Chứng minh rằng với ,. đoan và với mọi x thuộc . chứng minh chuỗi hội tụ đều trên Bài 9 : Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0 và y tiến tới 0 Bài 10 : ( Đề thi OLP ĐH Mỏ - Địa Chất 2011 ) Tìm tất cả các hàm liên. Đề luyện tập : Bài 1: Cho dãy . Tìm Bài 2:Cho liên tục, khả vi trên thỏa mãn: . Chứng minh rằng: (