de va da hsg thanh hoa

Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa S GD & T K THI CHN HC SINH GII LP 9 CP TNH Thanh hoá Ngy thi: 24/3/2011 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt. Câu I.(5,0 điểm). 1) Cho phơng trình: x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm 1 2 ,x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2(1 ) x x P x x x x + = + + + khi m thay đổi. 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1 a b c + = . Chứng minh rằng 2 2 2 A a b c= + + là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + là số hữu tỉ. Câu II. (5,0 điểm). 1) Giải phơng trình : 2 2 10 . 1 1 9 x x x x + = + 2) Giải hệ phơng trình: 2 2 3 2 3 1 1 1 4 1 4 x x y y x x x y y y + + + = + + + = Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính .BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P A,B và P khác trung điểm AB). Đờng tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A.Đờng tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B. Hai đờng tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P). 1) Chứng minh rằng ANP BNP = và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đờng tròn. 2) Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động Câu V ( 4,0 điểm) 1) Cho a 1 ,a 2 , ,a 45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a 1 < a2 < < a 45 130. Đặt 1 ( 1,2, ,44) j j j d a a j + = = . Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần 2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = 2 2 2 1 2011 2 2 a b c cmr b c c a a b + + + + + Hết ẩ CHNH THC Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa II 1) Giải phơng trình : 2 2 10 . 1 1 9 x x x x + = + Ta sử dụng a 2 + b 2 = (a+b) 2 -2ab Vậy + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x Lời bình: Lấy đề dự bị HSG năm ngoái Câu V 1) ) Cho a 1 ,a 2 , ,a 45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a 1 < a2 < < a 45 130. Đặt 1 ( 1,2, ,44) j j j d a a j + = = . Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần Ta có 1 ( 1,2, ,44) j j j d a a j + = = => a 2 = a 1 + d 1 a 3 = a 2 + d 2 = a 2 = a 1 + d 1 + d 2 a 45 = a 44 + d 44 = a 1 + d 1 +.+ d 44 do 45 1 1 2 44 1 2 44 130 130 130(*) a a d d d d d d => + + + + => + + + Nếu j d xuất hiện ít nhất 10 lần ( thỏa mãn) Nếu j d xuất hiện ít hơn 10 lần ta có d 1 +.+ d 44 9.1+9.2+9.3+9.4+8.5=130 Dấu bằng xẩy ra khi ta có dãy số 0 1 8 10 26 29 53 57 89 94 129 Dãy trên có 44 số hạng nên d 1 +.+ d 44 >130 vô lý với (*) Vậy j d xuất hiện ít nhất 10 lần 2)cho ba số dơng a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = 2 2 2 1 2011 2 2 a b c cmr b c c a a b + + + + + Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 x a b x a b y b c y b c z c a z b c = + + = = + => = + = + = + x+y+z= 2011 ; x 2 + y 2 + z 2 = 2(a 2 +b 2 +c 2 ) từ đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 2 2 x y z x y z x y z a b c + + + + = = = Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxky Su tÇm: Ph¹m V¨n Vîng – NBS- Ho»ng Hãa – Thanh Hãa 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 2( ) 2 2( ) 2 b c b c y c a c a z a b a b x + ≤ + = + ≤ + = + ≤ + = Do ®ã   + − + − + − = + + ≥ + +   + + +     = + + + + + − + +     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 2 a b c z x y y x z z y x P b c c a a b y z x x y z x y z x y z y z x y z x Theo bÊt ®¼ng thøc c« - si ta cã 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 (4) 2 (5) 2 (2) 2 (6) 2 (3) x x y x z x y z y y x y z y x z z z y z x z y x   + ≥ + ≥       + ≥   + ≥     + ≥   + ≥       Céng tõng vÕ ta cã + + + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2( )(8) x y z x y z x y z y z x y z x => 1 2011 ( ) 2 2 2 2 P a b c≥ + + = DÊu b»ng xÈy ra khi x= y = x khi a = b = c = 2011 3 2 Ghi chó: Ta cã thÓ chøng minh 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b b c c a a b c+ + ≥ + + + + + ≥ + + Nªn ta kÑp bÊt ®¼ng thøc: + + + + ≥ ≥ + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a b c c a a b lµ ®iÒu kh«ng thÓ Míi nh×n B§T trªn ta thÊy BDDT dÓ nhng chøng minh còng … ®Êy . Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa S GD & T K THI CHN HC SINH GII LP 9 CP TNH Thanh hoá Ngy thi: 24/3/2011 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt. Câu. 2011 2 2 a b c cmr b c c a a b + + + + + Hết ẩ CHNH THC Su tầm: Phạm Văn Vợng NBS- Hoằng Hóa Thanh Hóa II 1) Giải phơng trình : 2 2 10 . 1 1 9 x x x x + = + Ta sử dụng a 2 + b 2 . (a+b) 2 -2ab Vậy + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x Lời bình: Lấy đề dự bị HSG năm ngoái Câu V 1) ) Cho a 1 ,a 2 , ,a 45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a 1 < a2 < <