Số phức (Chuyên đề luyện thi đại học)

April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 1 CHUYÊN ĐỀ 9: SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 1: SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức a) Tập số phức  b) Số phức (dạng đại số) : z a bi   . a là phần thực, b là phần ảo, 2 1 i   là đơn vị ảo. c) z là số thực 0 b   . z là số thuần ảo 0 a   . Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo. d) Hai số phức bằng nhau ' ' ' ' a a a bi a b i b b          2. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z a bi   được biểu diễn bởi điểm ( ; ) M a b hay bởi ( ; ) u a b  trong mặt phẳng Oxy. 3. Cộng, trừ số phức         ' ' ' ' a bi a b i a a b b i                ' ' ' ' a bi a b i a a b b i        Số đối của z a bi   là z a bi     . u  biểu diễn z a bi   , ' u  biểu diễn ' ' ' z a b i   thì ' u u    biểu diễn ' z z  và ' u u    biểu diễn ' z z  . April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 2 4. Phép nhân hai s ố ph ứ c         ' ' ' ' ' ' a bi a b i aa bb ab a b i           k a bi ka kbi    5. Số phức liên hợp của z a bi   là z a bi   Số phức liên hợp ta có một số tính chất sau a) z z  ; b) ' ' z z z z    ; c) ' ' zz zz  ; d) ' ' z z z z  ; e) 2 2 zz a b   f) z là số thực z z   , z là số ảo z z    6. Môđun của số phức z a bi   a) 2 2 . z a bi a b z z OM        (M là điểm biểu diễn số phức z a bi   ; b) 0,z z     , 0 0 z z    ; c) . ' ' z z z z  ; d) ' ' z z z z  ; e) ' ' ' z z z z z z      . April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 3 7. Chia hai s ố ph ứ c a)          2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ' ' ) ' ' a bi a b i z a bi z a b i a b i a b i aa bb ab a b i a b              b) 1 2 1 z z z   ; c) 1 2 ' '. '. ' . z z z z z z z z z z z     ; d) ' ' z z z z      . 8. Căn bậc hai của số phức a) z x yi   là một căn bậc của số phức a bi    2 2 2 2 x y a z xy b           ; b) 0   có đúng một căn bậc hai là 0 z  ; c) 0   có hai căn bậ hai đối nhau; d) Hai căn bậc hai của 0 a  là a  ; e) Hai căn bậc hai của 0 a  là a i  ; 9. Phương trình bậc hai Xét phương trình 2 0 Az Bz C    trong đó A, B, C là các số phức cho trước, 0 A  . April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 4 2 4 B AC    a) 0   phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 1 2 2 B z A B z A               trong đó  là một căn bậc hai của  b) 0   phương trình có nghiệm kép. 10. Dạng lượng giác của số phức a)     cos sin 0 z r i r      là dạng lượng giác của số phức 2 2 cos sin r a b a z a bi r b r                   ; b)  được gọi là một acgumen của z,   ; Ox OM   ; c) 1 cos sin z z i       . 11. Nhận, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho     cos sin , ' ' cos ' sin ' z r i z r i         : a)       . ' ' cos ' sin ' z z rr i       ; b)       cos ' sin ' ' ' z r i z r       . April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 5 12. Công th ứ c Moa - vro     cos sin cos sin n n r i r n i n           ;   cos sin cos sin n i n i n           . 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức   cos sinz r i     có hai căn bậc hai là cos sin 2 2 r i          và cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i                        Mở rộng:   cos sinz r i     có n căn bậc n khác nhau 2 2 cos sin ; 0,1,2,3 , 1 n k k r i k n n n                Dạng toán 1: Thực hiện cộng trừ, nhân, chia số phức Bài tập cơ bản Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau 1.       4 2 3 5 i i i      2. 1 2 2 3 i i          3.   2 5 2 3 3 4 i i          April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 6 4. 1 3 1 3 2 3 2 2 i i i                  5. 4 1 5 3 3 5 4 5 i i                 6.     2 3 3 i i   7. 3 2 1 i i i i     8. 3 1 2 i  9. 1 1 i i   10. m i m 11. a i a a i a   12.    3 1 2 1 i i i    13. a i b i a  14. 2 3 4 5 i i   Bài 2: Thực hiện các phép tính sau 1.     2 2 1 1 i i    2.     3 3 2 3 i i    3.   3 3 4 i  4. 3 1 3 2 i        5.         2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 i i i i       6.   6 2 i  April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 7 7.     3 3 1 2 i i    8.   100 1 i  9.   5 3 3 i  10. Bài 3: Cho z x yi   . Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau 1. 2 2 4 z z i   2. 1 z i iz   Bài 4: Phân tích thành nhân tử, với , ,a b c   . 1. 2 1 a  2. 2 2 3 a  3. 4 2 4 9 a b  4. 2 2 3 5 a b  5. 4 16 a  6. 3 27 a  7. 3 8 a  8. 4 2 1 a a   Bài 5: Tìm căn bậc hai của số phức sau 1. 1 4 3 i   2. 4 6 5 i  3. 1 2 6 i   4. 5 12 i   5. 4 5 3 2 i   6. 7 24 i  7. 40 42 i   8. 11 4 3 i  9. 1 2 4 2 i  10. 5 12 i   April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 8 11. 8 6 i  12. 33 56 i  Dạng toán 2: Giải phương trình trên tập số phức Bài tập cơ bản Bài 6: Giải các phương trình sau (ẩn z) 1. 2 0 z z   2. 2 2 0 z z   3. 2 2 4 z z i    4. 2 0 z z   5. 2 1 8 z z i     6.   4 5 2 i z i    7. 4 z i z i         8. 2 1 3 1 2 i i z i i       9. 2 3 1 12 z z i    10.     2 3 2 3 i z i i    11.   1 2 3 0 2 i z i iz i                12. 1 1 3 3 2 2 z i i          13. 3 5 2 4 i i z    14.     2 3 2 5 0 z i z z     15.     2 2 9 1 0 z z z     16. 3 2 2 3 5 3 3 0 z z z i      Bài 7: Giải các phương trình sau (ẩn x) April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 9 1. 2 3 1 0 x x    2. 2 3 2 2 3 2 0 x x    3.   2 3 4 3 0 x i x i      4. 2 3 . 2 4 0 i x x i     5. 2 3 4 2 0 x x     6. 2 . 2 . 4 0 i x i x    7. 4 3 24 0 x   8. 4 2 16 0 x   Vấn đề 3: Tập hợp điểm Bài 8: Hãy xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau 1. 3 4 z z    2. 1 2 z z i     3. 2 2 z z i z i     4. 2 1 2 3 iz z    5. 2 2 2 1 i z z    6. 3 1 z   7. 2 3 z i z i     8. 3 1 z i z i    9. 1 2 z i    10. 2 z i z    11. 1 1 z   12. 1 2 z i    Bài 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 1. 2 z i  là một số thực 2. 2 z i   là số thuần ảo 3. . 9 z z   April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 10 Vấn đề 4: Dạng lượng giác của số phức Bài 10: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau 1. 2 cos sin 3 3 i          2. cos sin 4 4 i    3. 1 3 i  4. 4 4 i  5. sin cos 8 8 i     6.     1 3 1 i i   Bài 11: Thực hiện các phép tính sau 1.     0 0 0 0 3 cos20 sin20 cos25 sin 25 i i  2. 5 cos sin .3 cos sin 6 6 4 4 i i                   3.     0 0 0 0 3 cos120 sin120 cos45 sin45 i i  4.     0 0 0 0 2 cos18 sin18 cos72 sin72 i i  5. 0 0 0 0 cos85 sin85 cos40 sin40 i i   6.     0 0 0 0 2 cos45 sin45 3 cos15 sin15 i i   [...]... Tìm tất cả các số phức z, biết z 2  z  z   Bài 53: Tính mô đun của số phức z biết  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i Bài 54: Tìm số phức z biết: z  5i 3 1  0 z  1 i 3  Bài 55: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z    1 i     3 Bài 56: Tìm số phức z, biết z   2  3i  z  1  9i Nguyễn Ngọc Quang Page 23 April 23, 2014 [SỐ PHỨC]  5 z i Bài 57: Cho số phức z thỏa mãn... và phần ảo của số phức z biết z  Bài 48: Cho số phức z thỏa mãn z    2 2 i  1  2i  2 2 i  1  2i  Bài 49: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  1  i  z Bài 50: Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z2 là số thuần ảo 2 Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn  2  3i  z   4  i  z   1  3i  Xác định phần thực và phần ảo của số phức z 2 Bài 52:... 1 i 3     2   2         n n 6 6 5 5 6 6 Bài 36: Trong các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau, tìm số phức z có modun nhỏ nhất Nguyễn Ngọc Quang Page 21 April 23, 2014 [SỐ PHỨC] 1  z  1  z  2i  2 z  i  z  2  3i 3 iz  3  z  2  i là số thực Bài 37: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số phức z có modun nhỏ nhất, lớn nhất 3 2 1 z  2  3i  3 z  2  2i  2 2...  i  z 2  5  6i  0 Bài 29: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau: 1 z 3 z i Nguyễn Ngọc Quang 2 2 z2  z  1 Page 18 April 23, 2014 [SỐ PHỨC] 3  z  2   z  i  là số thực 5 zi zi z  z  3  4i 4 là số thực Bài 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau:   biết z thỏa mãn z  1 i 3 z  2  ... 22 April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Bài 42: Tìm số phức z thỏa mãn z   2  i   10 và z.z  25 Bài 43: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z   3  4i   2 2 Bài 44: Cho số phức z thỏa mãn 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z Xác định phần thực và phần ảo của z Bài 46: Giải phương trình 4 z  3  7i  z  2i trên tập số phức z i Bài 47: Tìm... thỏa mãn z 1   2  i Tính modun của số phức 2  1 z  z Bài 58: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  2 3iz  4  0 Viết dạng lượng giác của z1 , z2 Bài 59: Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  2 1  2i  1 i  7  8i Tìm mô đun của số phức   z  1  i Bài 60: Giải phương trình z 2  3 1  i  z  5i  0 trên tập số phức Bài 61: Cho số phức z  1  3i Viết dưới dạng lượng giác... Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4i 2  6i ; 1  i 1  2i  ; i 1 3i 1 Chứng minh rằng ABC là ta, giác vuông cân 2 Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông   Bài 39: Giải phương trình z   2  z 1   z 7 Bài 40: Chứng minh rằng nếu z  1 thì 2 2z  i 1 2  iz BÀI 3: TUYỂN TẬP SỐ PHỨC THI ĐẠI HỌC Bài 41: Gọi z1 , z2 là hai... z z  2  Nguyễn Ngọc Quang 2 1 Page 17 April 23, 2014 [SỐ PHỨC] 8 z  2  i  2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị 9 z  1 và z z  1 z z Bài 27: Tìm số phức z thoản mãn điều kiện sau z2 1 z  2 2 z  z  2  2i 3 z  1  2i  z  3  4i 4 z 5 và và là số thuần ảo z  7i z 1 và z  2i z2 và là số thuần ảo z  2i z i là số ảo là số thực Bài 28: Giải các phương trình trùng phương 1 z 4 ...April 23, 2014 [SỐ PHỨC] 2 2   2  cos  i sin  3 3      2  cos  i sin  2 2  7    2  cos  i sin  3 3     7  cos  i sin  2 2  8 Bài 12: Viết dạng lượng giác của các số phức sau 1 1  3i 2 1 i 3 1  3i  1  i  4 2i 5 1  3i 1 i 6 1 2  2i 7 sin   i cos  8 2 i 2 9 1 i 3 10 3 i 11 3  0i 12  tan 3 i  5 i 8 Bài 13: Viết dạng đại số của các số phức sau 1 cos... tập số phức 1 x 2   3  4i  x  5i  1  0 Nguyễn Ngọc Quang Page 16 April 23, 2014 [SỐ PHỨC] 2 x 2  1  i  x  2  i  0 3 3x2  x  2  0 4 x2  x  1  0 5 x3  1  0 Bài 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1 z 3  iz 2  2iz  2  0 2 z 3  (i  3) z 2  (4  4i ) z  4  4i  0 Bài 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện 1  z  2   z  i  là số thực . April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn Ngọc Quang Page 1 CHUYÊN ĐỀ 9: SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 1: SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức a) Tập số phức  b) Số phức (dạng đại số) : z a bi   . a là. là phần ảo, 2 1 i   là đơn vị ảo. c) z là số thực 0 b   . z là số thuần ảo 0 a   . Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo. d) Hai số phức bằng nhau ' ' ' ' a a a. trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 1. 2 z i  là một số thực 2. 2 z i   là số thuần ảo 3. . 9 z z   April 23, 2014 [SỐ PHỨC] Nguyễn