ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ I : Bài 1. (4 điểm) 1/ Tính các giới hạn sau: a) 2 2 4 9 20 lim 4 x x x x x →− + + + b) ( ) 2 lim 4 x x x x →+∞ − − 2/ Định a để hàm số − − + < = − + ≥ + 1 1 0 ( ) 4 0 2 x x khi x x f x x a khi x x liên tục tại x 0 = 0. 3/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m 2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (– 1; 2 ). Bài 2. (3 điểm) 1/ Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 1 1 2 − ++ x xx b) 2 1 1 cos 3 y x = + 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 1 2 x y x + = − , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: 3x + y – 4 = 0 3/ Cho hàm số 2 1 ( ) cos 2 x f x x − = . Tính ' ( )f x và giải phương trình ' ( ) ( 1) ( ) 0f x x f x− − = . Bài 3. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh bằng 2 , SA = 2 3 ; SA vuông góc mp(ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. Chứng minh BC ⊥ SB b. Chứng minh SC⊥ (AHK) c. Tính góc giữa SC và (ABCD) …. Hết … ĐÁP ÁN TOÁN 11 NC –Đề I Bài 1 Thành phần Nội dung Điểm 1. (1,5 điểm) a) 2 2 4 9 20 lim 4 x x x x x →− + + + = →− + + + 4 ( 4)( 5) lim ( 4) x x x x x = 1 4 − b) ( ) 2 lim 4 x x x x →+∞ − − = 4 lim 2 4 1 1 x x x x →+∞ − = − − + ÷ 0,75 0,75 2. (1,5 điểm) * 0 0 2 lim ( ) lim 1 ( 1 1 ) x x x f x x x x − − → → − = = − − + + * 0 lim ( ) 2 x f x a + → = + = f(0) * Hàm số liên tục tại x 0 = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) 3 x x f x f x f a − + → → ⇔ = = ⇔ = − 0,5 0,5 0,5 3. (1,0 điểm) *Hàm số liên tục trên [– 1; 0] và có ít nhất một nghiệm trên (– 1; 0) *Hàm số liên tục trên [0; 2 ] và có ít nhất một nghiệm trên (0; 2 ). 0.5 0,5 Bài 2: Thành phần Nội dung Điểm 1. (1,0 điểm) a) 2 ' 2 2 2 ( ) ( 1) x x f x x − − = − b) ' 2 3 3sin 6 2 (1 cos 3 ) x y x = + 0,5 0,5 2. (1,0 điểm) Ta có ' 2 3 ( 2) y x − = − . GT : 0 0 ' 0 0 0 3 4 ( ) 3 1 2 x y f x x y = ⇒ = = − ⇔ = ⇒ = − PTTT: y = - 3x + 13 và y = -3x + 1 0,25 0,5 0,25 3. (1,0 điểm) ' 2 1 1 ( ) cos sin 2 2 2 x f x x x − = − GT 2 1 ( 1) sin 2 0 2 , 2 x x x x k k Z π = − ⇔ = ⇔ = ∈ 0.5 0,5 Bài 3. (Hình vẽ: 0,5 điểm) Thành phần Nội dung Điểm a. (0,5 điểm) Cm BC ⊥ SB 0,5 b. (1,0 điểm) Cm AH ⊥ SC 0,5 Cm AK ⊥ SC. Kết luận 0,5 c. (1,0 điểm) Xác định được góc SCA 0,5 Tính góc bằng 60 o 0,5 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ II : Bài I: ( 4 điểm ) 1. Tìm các giới hạn sau: )]1([lim) xxxa x −+ +∞→ 2 1 34 472 lim) xx xx b x −− −++ → 2. Cho hàm số: 4 2 0 ( ) 4 0 2 x x x f x x a x x − − < = − + ≥ + Tìm a để hàm số liên tục tại x 0 = 0 3. Chứng minh rằng phương trình: 4x 4 + 2x 2 – 3 – x = 0 . có ít nhất 2 nghiệm trong ( - 1; 1) Bài II: ( 3 điểm ) 1. Tính các đạo hàm: 32 21 ) 2 + − = x x ya 23 tan2cos) xxyb += 2. Cho 53 3 )( 2 3 −+−= mxx mx xf Tìm m để f ’(x ) > 0 với mọi x thuộc R 3. Cho hàm số y = f(x) = 2 12 + − x x có đồ thị là (C ). Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d ): 5y + x – 2 = 0 Bài III: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.M là trung điểm AB. N là trung điểm BC. a)Chứng minh (SAD) vuông góc với (SAB) b)Xác định và tính góc giữa SC và (ABCD) c)Chứng minh DN vuông góc (SCM) . …Hết… ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO ĐỀ II Bài I: 1. 2 1 1 1 1 1 lim )1 1 1( lim 1 )1( lim )]1([lim) = ++ = ++ = ++ −+ = −+ +∞→ +∞→ +∞→ +∞→ x x x x xx xxx xxxa x x x x (0,5 đ) 3 2 12 8 )]4(72)[3( 9 lim )]4(72)[3)(1( )9)(1( lim )]4(72)[34( 910 lim )]4(72)[34( )4()72( lim 34 472 lim) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 == −−+− − = −−+−−− −−− = −−+−− −+− = −−+−− −−+ = −− −++ → → → → → xxx x xxxx xx xxxx xx xxxx xx xx xx b x x x x x (1,0đ) 2. f(0) = a + 2 (0,25đ) 0 0 0 4 2 lim ( ) lim 1 1 lim 4 4 2 x x x x f x x x − − − → → → − − = − = = − − + (0,5đ) 2) 2 4 (lim)(lim 00 += + − += ++ →→ a x x axf xx (0,25đ) Hàm số f liên tục tại x 0 = 0 khi và chỉ khi 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) 1 9 2 4 4 x x f x f x f a a − + → → = = − ⇔ + = ⇔ = − (0,5đ) 3.Đặt f(x) = 4x 4 + 2x 2 – 3 – x f(x) liên tục trên các [- 1; 0], [0; 1] (0,25đ) Có f( -1) = 4 ; f(0) = -3 ; f(1) = 2 (0,25đ) <−= <−=− 06)1().0( 012)0().1( ff ff (0,25đ) -f(x) có ít nhất một nghiệm trong các (-1; 0) (0; 1). Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm trong (-1; 1) (0,25đ) 22 2 22 2 2 cos 2 2sin.2cos6 cos )'( )'2.(cos2cos3') x x xx x x xxyb +−= += (0,5đ) 2. 53 3 )( 2 3 −+−= mxx mx xf f’(x) = mx 2 – 6x + m ( 0.25 ) 3 09 0 ,0)(' 2 >⇔ <− > ⇔∈∀> m m m Rxf ( 0,5 đ ) ( 0,25 đ ) 3. 2 )2( 5 ' + = x y (0,25đ) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5 2 5 1 +−= xy nên k = 5 , −= −= ⇒=+⇒ = + ⇒=⇒ 3 1 1)2( 5 )2( 5 5)(' 0 0 2 0 2 0 0 x x x x xy (0,25đ) Với x 0 = -1 suy ra y 0 = - 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 5x + 2 (0,25đ) Với x 0 = -3 suy ra y 0 = 7. Phương trình tiếp tuyến: y = 5x + 22 (0,25đ) Bài III : Hình vẽ: (0, 5 đ) a)Ta có: ⊥ =∩ ⊥ ABADABCDTrong ABABCDSAB ABCDSAB :)( )()( )()( (0,5đ) )()( )( SABSAD SABAD ⊥⇒ ⊥⇒ (0,5đ) Bài II: 32).32( 26 32).32( )21(2)32(2 32 32 )21(2 322 32 )21.( 322 )'32( 322 )32( )21)'.(32(32)'.21( ') 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 ++ −− = ++ −−+− = + + − −+− = + − + + −+− = + −+−+− = xx x xx xxx x x xx x x x x x x x xxxx ya (0,5 đ) b)Phải chứng minh: )(ABCDSM ⊥ (0,25đ) Ta có MC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).Khi đó góc giữa SC và (ABCD) là góc ∧ SCM (0,25đ) Tam giác SMC vuông tại M 5 15 2 5 2 3 tan === ∧ a a CM SM SCM (0,25đ) '4537 0 =⇒ ∧ SCM (0,25đ) c)Ta có: )(SCMDN SMDN MCDN ⊥⇒ ⊥ ⊥ (0,5đ) . ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ I : Bài 1. (4 điểm) 1/ Tính các giới hạn sau: a). điểm) Xác định được góc SCA 0,5 Tính góc bằng 60 o 0,5 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ II : Bài I: ( 4 điểm ) 1. Tìm các giới hạn sau: )]1([lim). ÁN MÔN TOÁN 11 NÂNG CAO ĐỀ II Bài I: 1. 2 1 1 1 1 1 lim )1 1 1( lim 1 )1( lim )]1([lim) = ++ = ++ = ++ −+ = −+ +∞→ +∞→ +∞→ +∞→ x x x x xx xxx xxxa x x x x (0,5 đ) 3 2 12 8 )]4(72)[3( 9 lim )]4(72)[3)(1( )9)(1( lim )]4(72)[34( 910 lim )]4(72)[34( )4()72( lim 34 472 lim) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 == −−+− − = −−+−−− −−− = −−+−− −+− = −−+−− −−+ = −− −++ → → → → → xxx x xxxx xx xxxx xx xxxx xx xx xx b x x x x x (1,0đ) 2.