Bài tập luyện thi đại học chuyên đề phương trình mũ,logarit

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α αα α Cơ số a Luỹ thừa a α * n N α = ∈ a ∈ R . n a a a a a α = = (n thừa số a) 0 α = 0 a ≠ 0 1 a a α = = * ( ) n n N α = − ∈ 0 a ≠ 1 n n a a a α − = = * ( , ) m m Z n N n α = ∈ ∈ 0 a > ( ) m n n m n n a a a a b b a α = = = ⇔ = * lim ( , ) n n r r Q n N α = ∈ ∈ 0 a > lim n r a a α = 2. Tính chất của luỹ thừa • Với mọi a > 0, b > 0 ta có: . . ; ; ( ) ; ( ) . ; a a a a a a a a a ab a b b a b α α α α β α β α β α β α β α α α β α + −      = = = = =        • a > 1 : a a α β α β > ⇔ > ; 0 < a < 1 : a a α β α β > ⇔ < • Với 0 < a < b ta có: 0 m m a b m < ⇔ > ; 0 m m a b m > ⇔ < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức • Căn bậc n của a là số b sao cho n b a = . • Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: . n n n ab a b = ; ( 0) n n n a a b b b = > ; ( ) ( 0) p n n p a a a = > ; m n mn a a = ( 0) n m p q p q Neáu thì a a a n m = = > ; Đặc biệt mn n m a a = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2 • Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a b < . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a b < . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: (1 ) N C A r = + VẤN ĐỀ II: LOGARIT 1. Định nghĩa • Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log a b a b α α = ⇔ = Chú ý: log a b có nghĩa khi 0, 1 0 a a b   > ≠    >   • Logarit thập phân: 10 lg log log b b b = = • Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln log e b b = (với 1 lim 1 2,718281 n e n      = + ≈      ) 2. Tính chất • log 1 0 a = ; log 1 a a = ; log b a a b = ; log ( 0) a b a b b = > • Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì log log a a b c b c > ⇔ > + Nếu 0 < a < 1 thì log log a a b c b c > ⇔ < 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: • log ( ) log log a a a bc b c = + • log log log a a a b b c c      = −      • log log a a b b α α= 4. Đổi cơ số GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3 Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: • log log log a b a c c b = hay log .log log a b a b c c = • 1 log log a b b a = • 1 log log ( 0) a a c c α α α = ≠ Bài tập cơ bản HT 1: Thực hiện các phép tính sau: 1) 2 1 4 log 4.log 2 2) 5 27 1 log .log 9 25 3) 3 log a a 4) 3 2 log 2 log 3 4 9 + 5) 2 2 log 8 6) 9 8 log 2 log 27 27 4+ 7) 3 4 1/3 7 1 log .log log a a a a a a 8) 3 8 6 log 6.log 9.log 2 9) 3 81 2 log 2 4 log 5 9 + 10) 3 9 9 log 5 log 36 4 log 7 81 27 3 + + 11) 7 5 log 8 log 6 25 49 + 12) 2 5 3 log 4 5 − 13) 6 8 1 1 log 3 log 2 9 4 + 14) 9 2 125 1 log 4 2 log 3 log 27 3 4 5 + − + + 15) 3 6 log 3.log 36 HT 2: So sánh các cặp số sau: 1) 4 vaø log 3 1 log 4 3 2) 0,2 vaø log 3 0,1 log 2 0, 34 3) 5 2 vaø log 3 4 2 3 log 5 4 4) 1 1 3 2 1 1 log log 80 15 2 vaø + 5) 13 17 log 150 log 290 vaø 6) vaø 6 6 1 log log 3 2 2 3 HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 1)Cho 2 log 14 a = . Tính 49 log 32 theo a. 2)Cho 15 log 3 a = . Tính 25 log 15 theo a. 3)Cho lg 3 0,477 = . Tính lg9000 ; lg0,000027 ; 81 1 log 100 . 4)Cho 7 log 2 a = . Tính 1 2 log 28 theo a. HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 1)Cho 25 log 7 a = ; 2 log 5 b = . Tính 3 5 49 log 8 theo a, b. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4 2)Cho 30 log 3 a = ; 30 log 5 b = . Tính 30 log 1350 theo a, b. 3)Cho 14 log 7 a = ; 14 log 5 b = . Tính 35 log 28 theo a, b. 4)Cho 2 log 3 a = ; 3 log 5 b = ; 7 log 2 c = . Tính 140 log 63 theo a, b, c. VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Khái niệm 1)Hàm số luỹ thừa y x α = (α là hằng số) Số mũ α αα α Hàm số y x α = Tập xác định D α = n (n nguyên dương) n y x = D = R α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n y x = D = R \ {0} α là số thực không nguyên y x α = D = (0; +∞) Chú ý: Hàm số 1 n y x = không đồng nhất với hàm số ( *) n y x n N = ∈ . 2)Hàm số mũ x y a = (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. • Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: 0<a<1 y=a x y x 1 a>1 y=a x y x 1 GV.Lu Huy Thng 0968.393.899 B HC Vễ B - CHUYấN CN S TI BN Page 5 3)Hm s logarit log a y x = (a > 0, a 1) Tp xỏc nh: D = (0; +). Tp giỏ tr: T = R. Khi a > 1 hm s ng bin, khi 0 < a < 1 hm s nghch bin. Nhn trc tung lm tim cn ng. th: 2. Gii hn c bit 1 0 1 lim(1 ) lim 1 x x x x x e x + = + = 0 ln(1 ) lim 1 x x x + = 0 1 lim 1 x x e x = 3. o hm ( ) 1 ( 0) x x x = > ; ( ) 1 . u u u = Chỳ ý: ( ) 1 0 1 0 > = n n n vụựi x neỏu n chaỹn x vụựi x neỏu n leỷ n x . ( ) 1 n n n u u n u = ( ) ln x x a a a = ; ( ) ln . u u a a a u = ( ) x x e e = ; ( ) . u u e e u = ( ) 1 log ln a x x a = ; ( ) log ln a u u u a = ( ) 1 ln x x = (x > 0); ( ) ln u u u = 0<a<1 y=log a x 1 x y O a>1 y=log a x 1 y x O GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7 Bài tập cơ bản HT 5: Tính các gi ớ i h ạ n sau: 1) lim 1 x x x x →+∞            + 2) 1 1 lim 1 x x x x + →+∞      +      3) 2 1 1 lim 2 x x x x − →+∞   +         − 4) 1 3 3 4 lim 3 2 x x x x + →+∞   −          + 5) 1 lim 2 1 x x x x →+∞   +         − 6) 2 1 lim 1 x x x x →+∞   +         − 7) ln 1 lim x e x x e → − − 8) 2 0 1 lim 3 x x e x → − i) 1 lim 1 x x e e x → − − k) 0 lim sin x x x e e x − → − l) sin 2 sin 0 lim x x x e e x → − m) ( ) 1 lim 1 x x x e →+∞ − HT 6: Tính đạ o hàm c ủ a các hàm s ố sau: 1) 3 2 1 y x x = + + 2) 4 1 1 x y x + = − 3) 2 5 2 2 1 x x y x + − = + 4) 3 sin(2 1) y x = + 5) 3 2 cot 1 y x = + 6) 3 3 1 2 1 2 x y x − = + 7) 3 3 sin 4 x y + = 8) 11 5 9 9 6 y x = + 9) 2 4 2 1 1 x x y x x + + = − + HT 7: Tính đạ o hàm c ủ a các hàm s ố sau: 1) 2 ( 2 2) x y x x e = − + 2) 2 ( 2 ) x y x x e − = + 3) 2 .sin x y e x − = 4) 2 2 x x y e + = 5) 1 3 . x x y x e − = 6) 2 2 x x x x e e y e e + = − 7) cos 2 . x x y e = 8) 2 3 1 x y x x = − + i) cot cos . x y x e = HT 8: Tính đạ o hàm c ủ a các hàm s ố sau: 1) 2 ln(2 3) y x x = + + 2) 2 log (cos ) y x = 3) .ln(cos ) x y e x = 4) 2 (2 1)ln(3 ) y x x x = − + 5) 3 1 2 log ( cos ) y x x = − 6) 3 log (cos ) y x = 7) ln(2 1) 2 1 x y x + = + 8) ln(2 1) 1 x y x + = + 9) ( ) 2 ln 1 y x x = + + HT 9: Ch ứ ng minh hàm s ố đ ã cho tho ả mãn h ệ th ứ c đượ c ch ỉ ra: 1) 2 2 2 . ; (1 ) x y x e xy x y − = ′ = − 2) ( 1) ; x x y x e y y e = + ′ − = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8 3) 4 2 ; 13 12 0 x x y e e y y y − ′′′ = + − − = ′ 4) 2 . . ; 3 2 0 x x y a e b e y y y − − ′′ = + + + = ′ 5) .sin ; 2 2 0 x y e x y y y − ′′ ′ = + + = 6) ( ) 4 .cos ; 4 0 x y e x y y − = + = HT 10: Ch ứ ng minh hàm s ố đ ã cho tho ả mãn h ệ th ứ c đượ c ch ỉ ra: 1) 1 ln ; 1 1 y y xy e x      = + =      +   ′ 2) 1 ; ln 1 1 ln y xy y y x x x   = ′ = −   + + 3) 2 sin(ln ) cos(ln ); 0 y x x y xy x y = + + ′ + ′′ = 4) 2 2 2 1 ln ; 2 ( 1) (1 ln ) x y x y x y x x + = ′ = + − HT 11: Gi ả i ph ươ ng trình, b ấ t ph ươ ng trình sau v ớ i hàm s ố đượ c ch ỉ ra: 1) 2 '( ) 2 ( ); ( ) ( 3 1) x f x f x f x e x x = = + + 2) 3 1 '( ) ( ) 0; ( ) ln f x f x f x x x x + = = 3) 2 1 1 2 '( ) 0; ( ) 2. 7 5 x x f x f x e e x − − = = + + − VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản: V ớ i 0, 1 > ≠ a a : 0 log x a b a b x b   >  = ⇔   =   2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 1) Đưa về cùng cơ số: V ớ i 0, 1 > ≠ a a : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x = ⇔ = Chú ý: Trong tr ườ ng h ợ p c ơ s ố có ch ứ a ẩ n s ố thì: ( 1)( ) 0 M N a a a M N = ⇔ − − = 2) Logarit hoá: ( ) ( ) ( ) ( ) log . ( ) f x g x a a b f x b g x = ⇔ = 3) Đặt ẩn phụ: • Dạng 1 : ( ) ( ) 0 f x P a = ⇔ ( ) , 0 ( ) 0 f x t a t P t   = >     =    , trong đ ó P(t) là đ a th ứ c theo t . • Dạng 2 : 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 f x f x f x a ab b α β γ + + = Chia 2 v ế cho 2 ( ) f x b , r ồ i đặ t ẩ n ph ụ ( ) f x a t b      =      • Dạng 3 : ( ) ( )f x f x a b m + = , v ớ i 1 ab = . Đặ t ( ) ( ) 1 f x f x t a b t = ⇒ = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9 4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét ph ươ ng trình: f(x) = g(x) (1) • Đ ốn nh ậ n x 0 là m ộ t nghi ệ m c ủ a (1). • D ự a vào tính đồ ng bi ế n, ngh ị ch bi ế n c ủ a f(x) và g(x) để k ế t lu ậ n x 0 là nghi ệ m duy nh ấ t: đồng biến và nghòch biến (hoặc đo àng biến nhưng nghiêm ngặt). đơn điệu và hằng số ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x c    =   • N ế u f(x) đồ ng bi ế n (ho ặ c ngh ị ch bi ế n) thì ( ) ( ) f u f v u v = ⇔ = 5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt • Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 0 0 A B  =   =   • Phương trình 2 2 0 0 0 A A B B   =  + = ⇔   =   6) Phương pháp đối lập Xét ph ươ ng trình: f(x) = g(x) (1) N ế u ta ch ứ ng minh đượ c: ( ) ( ) f x M g x M   ≥    ≤   thì (1) ( ) ( ) f x M g x M   =  ⇔   =   Bài tập cơ bản HT 12: Gi ả i các ph ươ ng trình sau ( đư a v ề cùng c ơ s ố ho ặ c logarit hố ): 1) 3 1 8 2 9 3 x x − − = 2) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 x − = + 3) 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x− + + + + + + = + 4) 2 2 5 7 5 .35 7 .35 0 x x x x − − + = 5) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 x x x x − + − + = + 6) 2 4 5 25 x x− + = 7) 2 2 4 3 1 2 2 x x − −      =        8) 7 1 2 1 1 . 2 2 2 x x+ −           =               9) 1 3 .2 72 x x + = 10) 1 1 5 6. 5 – 3. 5 52 x x x+ − + = 11) 10 5 10 15 16 0,125.8 x x x x + + − − = 12) ( ) ( ) 1 1 1 5 2 5 2 x x x − − + + = − HT 13: Gi ả i các ph ươ ng trình sau ( đư a v ề cùng c ơ s ố ho ặ c logarit hố ): 1) 4 1 3 2 2 1 5 7 x x + +           =               2) 2 1 1 5 .2 50 x x x − + = 3) 3 2 3 .2 6 x x x + = 4) 2 3 .8 6 x x x + = 5) 1 2 1 4.9 3 2 x x − + = 6) 2 2 2 .3 1,5 x x x− = [...]... x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế • Phương pháp cộng đại số • Phương pháp đặt ẩn phụ • …… HT 36: Giải các hệ phương trình sau: x + 2y = 5   1)   x − 2y =... 2 2 3) 4x − 2x +2 + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt 2 2 4) 9x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: loga x = b ⇔ x = a b 2 Một số phương pháp giải phương trình logarit 1) Đưa về cùng cơ số  f (x ) = g(x )  loga f (x ) = loga g (x ) ⇔    f (x ) > 0... 4y + 3    ( ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ • Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ a f (x ) > a g (x )   a > 1  f (x ) > g (x )   ⇔   0 < a < 1    f (x ) < g (x )   • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: – Đưa về cùng... (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2): BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1  2   1 x  1 x + 1       > 12     1)  3  + 3  3       (m − 2)2 x 2 − 3 (m − 6) x − m − 1 < 0    (1) (2) 1  2  +1  x 2 − 2 x > 8 2)   2 4x − 2mx − (m − 1)2 < 0    (1) (2) VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT • Khi giải các bất phương trình. .. HT 82: (A – 2002) Cho phương trình log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 (Với m là tham số) 3 3 a Giải phương trình với m = 2 Đ/s: x = 3± 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3  Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2   ( ) HT 83: (B – 2002) logx log3 (9x − 72) ≤ 1 Đ/s: log9 73 < x ≤ 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN... f (x ) = b ⇔ a loga f (x ) = ab 3) Đặt ẩn phụ 4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 5) Đưa về phương trình đặc biệt 6) Phương pháp đối lập Chú ý: • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: a logb c =c logb a Bài tập cơ bản HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log2 x (x − 1) = 1 2) log2 x + log2 (x − 1)... x )(xy + 2)   10)  2  x + y 2 = 2    HT 38: Giải các hệ phương trình sau: 3x = 2y + 1   1)  y  3 = 2x + 1    2x − 2y = y − x   3)  2  2  x + xy + y = 3   3x + 2x = y + 11   2)  y  3 + 2y = x + 11    7 x −1 = 6y − 5   4)  y −1  7 = 6x − 5    HT 39: Giải các hệ phương trình sau: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x... 16 1 log2 x − 6 HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 1) (x + 1)log2 x + (2x + 5)log 0,5 x + 6 ≥ 0 2) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2 0,5 3) 3 ( ) log2 x + 1 > ( 5+x 4) x 5 − x < 0 2 − 3x + 1 lg 2 ) log 3 x + 1 HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) log1/2 (x 2 − 2x + m ) > −3 1 2) logx 100 − logm 100 > 0 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23 GV.Lưu... Giải các bất phương trình sau: 1) 4x − 2.52x − 10x > 0 3) 9.4 x −3 lg x +1  1 x + 2 −x  1   > 10)     3 27  1  1−x  −3   1 11)   >  5 5     1 x 9     3 − 2x +1 + 1 > 52 9x − 3x +2 > 3x − 9 HT 59: Giải các phương trình sau: 1) log3 (3x − 8) = 2 − x 8) 3 10) 9x + 3x − 2 ≥ 9 − 3x 2) log5−x (x 2 − 2x + 65) = 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ... 1) = log6 (x − x 2 − 1) HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 1) x + x log2 3 =x log2 5 (x > 0) 2) x 2 + 3 log2 x =5 log2 x 3) log5 (x + 3) = 3 − x 4) log2 (3 − x ) = x 5) log2 (x 2 − x − 6) + x = log2 (x + 2) + 4 6) x + 2.3 log2 x =3 7) 4(x − 2)  log2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15(x + 1) HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) log2 x + 2.log7 x = 2 + . 5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt • Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 0 0 A B  =   =   • Phương trình 2 2 0 0 0 A A B B   =  + = ⇔   =   6) Phương pháp. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13 VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản V ớ i a > 0, a ≠ 1: log b a x b x a = ⇔ = 2. Một số phương pháp giải phương. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG