LUYỆN THI ĐẠI HỌC-PP KS HÀM SỐ

Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 1 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x y C ∈ . − Tính đạ o hàm và giá tr ị ( ) 0 ' f x . − Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n có d ạ ng: ( ) ( ) 0 0 0 ' y f x x x y = − + . Chú ý: Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m ( ) ( ) 0 0 ; M x y C ∈ có h ệ s ố góc ( ) 0 ' k f x = . Loại 2 : Bi ế t h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n là k . − Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) ' f x k = , tìm nghi ệ m 0 0 x y ⇒ . − Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n d ạ ng: ( ) 0 0 y k x x y = − + . Chú ý: Cho đườ ng th ẳ ng : 0 Ax By C ∆ + + = , khi đ ó: − N ế u ( ) // : d d y ax b ∆ ⇒ = + ⇒ h ệ s ố góc k = a . − N ế u ( ) : d d y ax b ⊥ ∆ ⇒ = + ⇒ h ệ s ố góc 1 k a = − . Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ( ) ( ) ; A A A x y C ∉ . − Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( ) ( ) : A A d y k x x y = − + − Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ' A A f x k x x y f x k  = − +   =   Tổng quát: Cho hai đường cong ( ) ( ) : C y f x = và ( ) ( ) ' : C y g x = . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x  =   =   . 1. Cho hàm số 4 2 2 y x x = − a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): i. Tại điểm có hoành độ 2 x = . ii. Tại điểm có tung độ y = 3. iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 :24 2009 0 d x y − + = . iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 : 24 2009 0 d x y + + = . 2. Cho hàm số 2 3 1 x x y x − − + = + có đồ th ị là (C). a. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố trên. b. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C): i. T ạ i giao đ i ể m c ủ a (C) v ớ i tr ụ c tung. ii. T ạ i giao đ i ể m c ủ a (C) v ớ i tr ụ ng hoành. iii. Bi ế t ti ế p tuy ế n đ i qua đ i ể m A(1; − 1). iv. Bi ế t h ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n k = − 13. 3. Cho hàm s ố 2 1 1 x x y x − − = + có đồ th ị (C). Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 2 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0. c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0. d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). 4. Cho hàm số 2 3 3 1 x x y x + + = + có đồ th ị (C). a. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố (C). b. Ch ứ ng minh r ằ ng qua đ i ể m M( − 3;1) k ẻ đượ c hai ti ế p tuy ế n t ớ i đồ th ị (C) sao cho hai ti ế p tuy ế n đ ó vuông góc v ớ i nhau. 5. Cho hàm số: 2 1 x y x = − có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm M ∈ (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M và tâm đối xứng của (C). 6. Cho hàm s ố y = x 3 + mx 2 + 1 có đồ th ị (C m ). Tìm m để (C m ) c ắ t d: y = – x + 1 t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A(0;1), B, C sao cho các ti ế p tuy ế n c ủ a (C m ) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau. Lời giải: Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a d và (C m ) là: x 3 + mx 2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x 2 + mx + 1) = 0 (*) Đặ t g(x) = x 2 + mx + 1 . d c ắ t (C m ) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t ⇔ g(x) = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t khác 0. ( ) 2 4 0 2 2 0 1 0 g m m m g  ∆ = − > >   ⇔ ⇔   < − = ≠    . Vì x B , x C là nghi ệ m c ủ a g(x) = 0 1 B C B C S x x m P x x = + = −  ⇒  = =  . Ti ế p tuy ế n c ủ a (C m ) t ạ i B và C vuông góc v ớ i nhau nên ta có: ( ) ( ) 1 C B f x f x ′ ′ = − ( ) ( ) 3 2 3 2 1 B C B C x x x m x m ⇔ + + = − ( ) 2 9 6 4 1 B C B C B C x x x x m x x m   ⇔ + + + = −   ( ) 2 1 9 6 4 1 m m m   ⇔ + − + = −   2 2 10 m ⇔ = 5 m ⇔ = ± (nh ậ n so v ớ i đ i ề u ki ệ n) 7. Cho hàm s ố 2 1 x y x + = . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m trên m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ để t ừ đ ó có th ể k ẻ đế n (C) hai ti ế p tuy ế n vuông góc. Lời giải: G ọ i M(x 0 ;y 0 ). Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d qua M có h ệ s ố góc k là y = k(x – x 0 ) + y 0 . Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a (C) và d: ( ) ( ) 2 0 0 1 , 0 x k x x y kx x + = − + ≠ ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 1 0 * k x y kx x⇔ − − − + = d ti ế p xúc v ớ i (C): ( ) ( ) 2 0 0 1 4 1 0 k y kx k ≠   ⇔  ∆ = − − − =   ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 0 I k x k x y k y y kx ≠   ⇔ + − + − =   ≠  T ừ M v ẽ hai ti ế p tuy ế n đế n (C) vuông góc v ớ i nhau khi (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t th ỏ a mãn: 1 2 1 2 , 1 1 k k k k ≠   = −  ( ) 0 2 0 2 0 2 0 0 0 4 1 0 x y x y x  ≠   −  ⇔ = −    − ≠   0 2 2 0 0 0 0 0 4 x x y y x ≠   ⇔ + =   ≠  . Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 3 Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: 2 2 4 x y + = lo ạ i b ỏ b ố n giao đ i ể m c ủ a đườ ng tròn v ớ i hai đườ ng ti ệ m c ậ n. 8. Cho hàm s ố 2 1 x y x = + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 1 4 ĐS: 1 ; 2 2 M   − −     và ( ) 1;1 M . 9. Cho hàm số 2 1 2 x x y x + − = + . a Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố đ ã cho. b. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị (C) bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó vuông góc v ớ i ti ệ m c ậ n xiên. Đ S: b. 2 2 5 y x = − ± − . 10. G ọ i (C m ) là đồ th ị c ủ a hàm s ố : 3 2 1 1 3 2 3 m y x x = − + (*) (m là tham s ố ). a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (*) khi m=2. b. G ọ i M là đ i ể m thu ộ c (C m ) có hoành độ b ằ ng − 1. Tìm m để ti ế p tuy ế n c ủ a (C m ) t ạ i M song song v ớ i đườ ng th ẳ ng 5 0 x y − = Đ S: m=4. 11. Cho hàm s ố ( ) 3 2 3 3 m y x mx x m C = − − + . Đị nh m để ( ) m C ti ế p xúc v ớ i tr ụ c hoành. 12. Cho hàm s ố ( ) ( ) 4 3 2 1 m y x x m x x m C = + + − − − . Đị nh m để ( ) m C ti ế p xúc v ớ i tr ụ c hoành. 13. Cho đồ th ị hàm s ố ( ) 2 4 : 1 x C y x − = + . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m trên tr ụ c hoành sao cho t ừ đ ó k ẻ đượ c m ộ t ti ế p tuy ế n đế n (C). 14. Cho đồ th ị hàm s ố ( ) 3 2 : 3 4 C y x x = − + . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m trên tr ụ c hoành sao cho t ừ đ ó có th ể k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n v ớ i (C). 15. Cho đồ th ị hàm s ố ( ) 4 2 : 2 1 C y x x = − + . Tìm các đ i ể m M n ằ m trên Oy sao cho t ừ M k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n đế n (C). 16. Cho đồ th ị hàm s ố ( ) 3 : 3 2 C y x x = − + . Tìm các đ i ể m trên đườ ng th ẳ ng y = 4 sao cho t ừ đ ó có th ể k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n v ớ i (C). 17. Cho hàm s ố y = 4x 3 – 6x 2 + 1 (1) a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (1). b. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị hàm s ố (1), bi ế t r ằ ng ti ế p tuy ế n đ ó đ i qua đ i ể m M(–1;–9). Lời giải: a. D=R, y’ = 12x 2 – 12x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = 1. BBT : b. Ti ế p tuy ế n qua M( − 1; − 9) có d ạ ng y = k(x + 1) – 9. Ph ươ ng trình hoành độ ti ế p đ i ể m qua M có d ạ ng : 4x 3 – 6x 2 + 1 = (12x 2 – 12x)(x + 1) – 9. ⇔ 4x 3 – 6x 2 + 10 = (12x 2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x 3 – 3x 2 + 5 = 6(x 2 – x)(x + 1). ⇔ x = –1 hay 2x 2 – 5x + 5 = 6x 2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x 2 – x – 5 = 0. x − ∞ 0 1 + ∞ y' + 0 − 0 + y 1 + ∞ −∞ − 1 C Đ CT -1 1 -2 2 x y 3 2 4 6 1 y x x = − + Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 4 ⇔ x = –1 hay x = 5 4 ; y’(−1) = 24; 5 15 ' 4 4 y   =     . Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 4 x 21 4 − . Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô ( ) xfy = ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình ( ) ' 0 f x = là hoành độ c ủ a đ i ể m c ự c tr ị . − N ế u ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x  =   <   thì hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i 0 x x = . − N ế u ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x  =   >   thì hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i 0 x x = . Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp − Để hàm s ố ( ) y f x = có 2 c ự c tr ị ' 0 0 y a ≠   ⇔  ∆ >   . − Để hàm s ố ( ) y f x = có hai c ự c tr ị n ằ m v ề 2 phía đố i v ớ i tr ụ c hoành . 0 CĐ CT y y ⇔ < . − Để hàm s ố ( ) y f x = có hai c ự c tr ị n ằ m v ề 2 phía đố i v ớ i tr ụ c tung . 0 CĐ CT x x ⇔ < . − Để hàm s ố ( ) y f x = có hai c ự c tr ị n ằ m phía trên tr ụ c hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y + >  ⇔  >  . − Để hàm s ố ( ) y f x = có hai c ự c tr ị n ằ m phía d ướ i tr ụ c hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y + <  ⇔  >  . − Để hàm s ố ( ) y f x = có c ự c tr ị ti ế p xúc v ớ i tr ụ c hoành . 0 CĐ CT y y ⇔ = . Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: hàm s ố 3 2 y ax bx cx d = + + + L ấ y y chia cho y’, đượ c th ươ ng là q(x) và d ư là r(x). Khi đ ó y = r(x) là đườ ng th ẳ ng đ i qua 2 đ i ể m c ự c tr ị . Dạng 2: Hàm s ố 2 ax bx c y dx e + + = + Đườ ng th ẳ ng qua hai đ i ể m c ự c tr ị có d ạ ng ( ) ( ) 2 ' 2 ' ax bx c a b y x dx e d d + + = = + + 1. Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố y = ( ) 2 2 4 1 1 x m m x m x m + − − + − luôn có có c ự c tr ị v ớ i m ọ i m. Tìm m sao cho hai c ự c tr ị n ằ m trên đườ ng th ẳ ng y=2x. 2. Cho hàm s ố ( ) 3 2 1 2 1 3 y x mx m x = − + + − . Đị nh m để : a. Hàm s ố luôn có c ự c tr ị . b. Có c ự c tr ị trong kho ả ng ( ) 0; +∞ . c. Có hai c ự c tr ị trong kho ả ng ( ) 0; +∞ . 3. Đị nh m để hàm s ố ( ) 3 2 2 2 3 1 2 4 y x mx m x b ac = − + − + − đạ t c ự c đạ i t ạ i x = 2. 4. Cho hàm s ố y = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4. Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 5 a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu. 5. Cho hàm số 3 2 3 9 3 5 y x mx x m = − + + − . Đị nh m để đồ th ị hàm s ố có c ự c đạ i c ự c ti ể u, vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m c ự c tr ị ấ y. 6. Cho hàm s ố ( ) 2 1 1 x m x m y x m + + − + = − . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 7. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 y x m x m x m = + − + − + + . Đị nh m để đồ th ị hàm s ố có hai c ự c tr ị đồ ng th ờ i hoành độ c ủ a đ i ể m c ự c ti ể u nh ỏ h ơ n 1. 8. Cho hàm s ố 2 2 2 1 3 x mx m y x m + + − = − . Đị nh m để đồ th ị hàm s ố có hai c ự c tr ị n ằ m v ề hai phía đố i v ớ i tr ụ c tung. 9. Cho hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2 3 m y x mx m x m C= − + − − + . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. 10. Cho hàm số ( ) 2 2 2 1 4 2 x m x m m y x + + + + = + (1). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m= − 1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ĐS: 4 2 6 m = − ± . 11. Cho hàm s ố ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m = − − + − − − (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. ĐS : b 1 2 m = ± . 12. Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = + − + (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. a. -5 5 -5 5 10 x y b. ĐS : 3 0 3 m m < −   < <  13. Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + (*) (m là tham số) a. Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 6 b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C m ) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . a. -4 -2 2 -2 2 4 x y b. C Đ ( − 2; m − 3), CT(0; m +1) ⇒ 20 MN = =L Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − −− − NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô ( ) xfy = có t ậ p xác đị nh là mi ề n D. − f(x) đồ ng bi ế n trên D ( ) Dxxf ∈∀≥⇔ ,0' . − f(x) ngh ị ch bi ế n trên D ( ) Dxxf ∈∀≤⇔ ,0' . (ch ỉ xét tr ườ ng h ợ p f(x) = 0 t ạ i m ộ t s ố h ữ u h ạ n đ i ể m trên mi ề n D) Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: ( (( ( ) )) ) 2 f x ax bx c = + + = + += + + = + + . 1. N ế u 0 ∆ < thì f(x) luôn cùng d ấ u v ớ i a. 2. N ế u 0 ∆ = thì f(x) có nghi ệ m 2 b x a = − và f(x) luôn cùng dấu với a khi 2 b x a ≠ − . 3. Nếu 0 ∆ > thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a. So sánh nghiệm của tam thức với số 0 * 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ >   < < ⇔ >   <  * 1 2 0 0 0 0 x x P S ∆ >   < < ⇔ >   >  * 1 2 0 0 x x P < < ⇔ < 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 1 y x m x m x = − + + + + . Đị nh m để : a. Hàm s ố luôn đồ ng bi ế n trên R. b. Hàm s ố luôn đồ ng bi ế n trên kho ả ng ( ) 2; +∞ . 2. Xác đị nh m để hàm s ố 3 2 2 1 3 2 x mx y x = − − + . a. Đồ ng bi ế n trên R. b. Đồ ng bi ế n trên ( ) 1; +∞ . 3. Cho hàm s ố ( ) ( ) 3 2 3 2 1 12 5 2 y x m x m x = − + + + + . a. Đị nh m để hàm s ố đồ ng bi ế n trên kho ả ng ( ) 2; +∞ . b. Đị nh m để hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng ( ) ; 1 −∞ − . 4. Cho hàm s ố 2 6 2 2 mx x y x + − = + . Đị nh m để hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên [ ) +∞;1 . Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 7 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C 1 ) và y=g(x) có đồ thị (C 2 ). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). (1) vô nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. (1) có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung. (1) có nghiệm đơn x 1 ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại N(x 1 ;y 1 ). (1) có nghiệm kép x 0 ⇔ (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ) tại M(x 0 ;y 0 ). 1. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y x − = + có đồ thị là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 0 x m x m − + − + = . 2. Cho hàm s ố ( ) ( ) 2 2 1 1 y x x= + − có đồ th ị là (C). a. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố trên. b. Dùng đồ th ị (C) bi ệ n lu ậ n theo m s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) 2 2 1 2 1 0 x m − − + = . 3. Cho hàm s ố 3 2 4 y x kx = + − . a. Kh ả o sát hàm s ố trên khi k = 3. b. Tìm các giá tr ị c ủ a k để ph ươ ng trình 3 2 4 0 x kx + − = có nghiệm duy nhất. 4. Cho hàm số 3 3 2 y x x = − + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. ĐS: b. 15 , 24 4 m m > ≠ . 5. Cho hàm số ( ) 2 3 3 2 1 x x y x − + − = − (1) a. Kh ả o sát hàm s ố (1). b. Tìm m để đườ ng th ẳ ng y=m c ắ t đồ th ị hàm s ố (1) t ạ i hai đ i ể m A, B sao cho AB=1. Đ S: b. 1 5 2 m ± = . 6. Cho hàm s ố 2 1 mx x m y x + + = − (*) (m là tham s ố ) a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a đồ th ị hàm s ố khi m= − 1. b. Tìm m để đồ th ị hàm s ố (1) c ắ t tr ụ c hoành t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t và hai đ i ể m đ ó có hoành độ d ươ ng. Đ S: b. 1 0 2 m − < < . 7. a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố 2 2 4 2 x x y x − + = − (1). b. Tìm m để đườ ng th ẳ ng : 2 2 m d y mx m = + − c ắ t đồ th ị hàm s ố (1) t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t. Đ S: m>1. 8. Cho hàm s ố y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 )x + m 3 − m 2 (1) (m là tham s ố ) Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 8 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình − x 3 + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ĐS: b. 1 3 0 2 k k k − < <   ≠ ∧ ≠  , c. 2 2 y x m m = − + . Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công th ứ c v ề kho ả ng cách: Kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m ( độ dài đ o ạ n th ẳ ng): ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − . Kho ả ng cách t ừ m ộ t đ i ể m đế n m ộ t đườ ng th ẳ ng: Cho đườ ng th ẳ ng : 0 Ax By C ∆ + + = và đ i ể m M(x 0 ;y 0 ) khi đ ó ( ) 0 0 2 2 ,. Ax By C d M A B + + ∆ = + . 1. Cho hàm s ố ( ) 3 2 3 3 3 2 m y x mx x m C = − − + + . Đị nh m để ( ) m C có c ự c đạ i c ự c ti ể u đồ ng th ờ i kho ả ng cách gi ữ a chúng là bé nh ấ t. 2. Cho hàm s ố ( ) 2 2 : 1 x C y x + = − . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3. Cho hàm số ( ) 2 1 : 1 x x C y x − + = − . Tìm các đ i ể m M thu ộ c (C) có t ổ ng kho ả ng cách đế n 2 ti ệ m c ậ n là nh ỏ nh ấ t. 4. Cho hàm s ố ( ) 2 2 : 1 x C y x + = − . Tìm hai đ i ể m M, N thu ộ c hai nhánh khác nhau c ủ a (C) sao cho đ o ạ n MN nh ỏ nh ấ t. 5. Cho hàm s ố ( ) 2 1 : 1 x x C y x + + = + . Tìm hai đ i ể m M, N thu ộ c 2 nhánh khác nhau c ủ a (C) sao cho đ o ạ n MN nh ỏ nh ấ t. 6. Cho hàm s ố ( ) 2 2 1 : 1 x x C y x + + = − . a. Tìm các đ i ể m thu ộ c đồ th ị (C) có t ổ ng kho ả ng cách đế n hai tr ụ c t ọ a độ là nh ỏ nh ấ t. b. Tìm hai đ i ể m M, N thu ộ c hai nhánh khác nhau c ủ a (C) sao cho đ o ạ n MN nh ỏ nh ấ t. 7. G ọ i (C m ) là đồ th ị c ủ a hàm s ố : 1 y mx x = + (*) (m là tham s ố ) a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố (*) khi m = 1 4 . b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( C m ) đến tiệm cận xiên bằng 1 2 . ĐS: m =1. Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số ( ) , y f x m = ta đưa về dạng ( ) ( ) , , F x y mG x y = . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) , 0 , 0 F x y G x y  =   =   . 1. Cho hàm s ố ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 m y x m x mx C= − − − + . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) m C luôn đ i qua hai đ i ể m c ố đị nh khi m thay đổ i. Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 9 2. Cho hàm số ( ) ( ) 2 2 6 4 : 2 m x m x C y mx + − + = + . Chứng minh rằng đồ thị ( ) m C luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. 3. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 4 2 : 1 2 3 1 m C y m x mx m = − + − + . Tìm các đ i ể m c ố đị nh c ủ a h ọ đồ th ị trên. 4. Ch ứ ng minh r ằ ng đồ th ị c ủ a hàm s ố ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 6 1 1 m y m x m x m x m C= + − + − + + + luôn đ i qua ba đ i ể m c ố đị nh. Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ th ị (C) ( ) y f x = có đồ th ị (C’) ( ) y f x = có đồ th ị (C “) ( ) 0, y f x x D = ≥ ∀ ∈ . Do đ ó ta ph ả i gi ữ nguyên ph ầ n phía trên tr ụ c Ox và l ấ y đố i x ứ ng ph ầ n phía d ướ i tr ụ c Ox lên trên. ( ) y f x = có ( ) ( ) f x f x − = , x D ∀ ∈ nên đ ây là hàm s ố ch ẵ n do đ ó có đồ th ị đố i x ứ ng qua tr ụ c tung Oy. x y (C) x y (C') x y (C'') Chú ý: Đố i v ớ i hàm h ữ u t ỷ 1. Cho hàm s ố ( ) 2 : 2 2 x x C y x + = − . a. Kh ả o sát hàm s ố . b. Đị nh k để ph ươ ng trình sau có b ố n nghi ệ m phân bi ệ t. 2 2 2 x x k x + = − . -2 2 4 -2 2 4 6 x y 2 2 2 x x y x + = − -2 2 -2 2 4 x y 2 2 2 x x y x + = − 2. Cho hàm s ố ( ) 2 3 3 : 1 x x C y x + + = + . a. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố . b. Bi ệ n lu ậ n theo m s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 2 3 3 1 x x m x + + = + . Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 10 -4 -2 2 -2 2 4 x y 2 3 3 1 x x y x + + = + -4 -2 2 -2 2 4 x y 2 3 3 1 x x y x + + = + 3. Cho hàm số ( ) 2 4 : 1 x x C y x − = − . a. Kh ả o sát hàm s ố . b. Đị nh m để ph ươ ng trình ( ) 2 4 0 x m x m + − − = có b ố n nghi ệ m phân bi ệ t. -2 2 -2 2 4 x y 2 4 1 x x y x − = − -2 2 -2 2 4 x y 2 4 1 x x y x − = − 4. Cho hàm s ố ( ) 2 1 : 2 x x C y x + − = + . 1. Kh ả o sát hàm s ố . 2. Đị nh m để ph ươ ng trình sau có hai nghi ệ m phân bi ệ t: ( ) 2 1 2 1 0 x m x m + − − − = . 5. a. Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị hàm s ố 3 2 2 9 12 4 y x x x = − + − . b. Tìm m để ph ươ ng trình sau có sáu nghi ệ m phân bi ệ t: 3 2 2 9 12 x x x m − + = . -2 2 4 2 4 6 x y 3 2 2 9 1 2 y x x x = − + -2 2 2 4 6 x y 3 2 2 9 1 2 y x x x = − + a. Đ S: b. 4<m<5. Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Đ i ể m ( ) 0 0 ; I x y là tâm đố i x ứ ng c ủ a đồ th ị ( ) ( ) : C y f x = ⇔ T ồ n t ạ i hai đ i ể m M(x;y) và M’(x’;y’) thu ộ c (C) th ỏ a: ( ) ( ) 0 0 ' 2 ' 2 x x x f x f x y + =    + =   ( ) ( ) 0 0 0 ' 2 2 2 x x x f x f x x y = −   ⇔  + − =   V ậ y ( ) 0 0 ; I x y là tâm đố i x ứ ng c ủ a (C) ⇔ ( ) ( ) 0 0 2 2 f x y f x x = − − . [...]... đồ thị hàm số (1) khi m=2 ĐS: a f ( x0 ) = − f ( − x0 ) , ∀x0 ≠ 0 ⇒ … m>0 4 Cho hàm số y = − x3 11 + x 2 + 3x − có đồ thị ( C ) Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục 3 3 tung 5 Cho hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c (1) Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1) 6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1)... [g (x )]2 dx a * 1 Cho hàm số y = ( 2m − 1) x − m * * 2 (1) (m là tham số) x −1 a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x 4 ĐS: b S = −1 + 4 ln , c m ≠ 1 3 x2 − x − 2 2 Cho hàm số y = x−3 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b Tính phần diện... 2 + mx − 2 5 Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo x −1 với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4  x1 − x2 = 5 x +1  6 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn  3 3 x + mx + 1  x1 − x2 = 35  x +1 7 Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số b Tìm những điểm... dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 2x2 + 2 x + 2 + m có đồ thị ( Cm ) 2x + 3 Tìm giá trị của m để ( Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 1 Cho hàm số y = x 2 + 2m 2 x + m 2 x +1 Định m để ( Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 2 Cho hàm số ( Cm ) : y = 3 Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m (1) (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối... [ f (x ) − λx ] x →∞ x →∞ x Các trường hợp đặc biệt: 2 M H x 11 Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số * Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) ax 2 + bx + c A y= = (λx + µ ) + mx + n mx + n  n +TXĐ: D= R\ −   m n +TCĐ: lim y = ∞ ⇒ (d ) : x = − n m x→− *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) ax + b y= mx + n  n +TXĐ: D= R\ −   m n +TCĐ: lim y = ∞ ⇒ (d ) : x = − n m x→− m... -3 -2 -1 1 -1 n m 2 x=− -2 3 4 5 n m mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2 (1) , với m là tham số thực x + 3m a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1 b Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450 Lời giải: x2 + x − 2 4 a Khi m =1: y = =x−2+ x+3 x+3 TXĐ: D = R {−3} 1 Cho hàm số y = y′ = x2 + 6 x + 5 ( x + 3) 2  x = −1 ⇒ y ( −1) = −1 y′ = 0 ⇔   x = −5... biến thi n 2 y Đồ thị: x -10 x − ∞ y' y − ∞ -5 0 -9 CĐ -3 +∞ − ∞ -1 0 CT -1 -8 -6 -4 -2 2 +∞ -2 +∞ -4 -6 mx + ( 3m − 2 ) x − 2 2 b y = -8 2 x + 3m = mx − 2 + 6m − 2 x + 3m -10 -12 12 Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số Gọi (Cm) là đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d1 : x + 3m = 0 và tiệm cận xiên d 2 : mx − y − 2 = 0 1   m ≠ ∧ m ≠ 0 3   Theo giả thuyết ta có: cos 450 = 2 Cho hàm số y... nhỏ nhất 2x + 1 8 Cho hàm số y = có đồ thị (H) 2−x a Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (H) của hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung c Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất HD câu b, c * Gọi M klà giao điểm của (C) với trục tung⇒ M ( 0;1) Phương trình tiếp tuyến là y = 3 x + 1 hay 3 Cho hàm số y = 3x − y + 1 = 0... Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên đi qua gốc tọa độ ax 2 + (2a − 1).x + a + 3 ( a ≠ −1, a ≠ 0 ) có đồ thị (C) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số x−2 này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định 2 x 2 − 3x + 2 4 Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (C) x −1 a Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một số không đổi b Tìm tọa độ... TÍCH−THỂ TÍCH − Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: y f(x) b S= ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a g(x) O a Chú ý: Nếu diện tích thi u các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b . Cho hàm s ố y = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4. Các dạng toán liên quan ñến Khảo sát hàm số 5 a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. c. Định m để hàm só có cực đại. Cho hàm s ố ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m = − − + − − − (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, . đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. ĐS : b 1 2 m = ± . 12. Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = + − + (1) (m là tham số) . a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi