LUYỆN THI ĐẠI HỌC-PP HÌNH KG

1 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị , , i j k r ur ur ( ) 1 i j k = = = r r ur . B. ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k = ⇔ + + uur uur ur ur uur ; M(x;y;z)⇔ OM xi y j zk = + + uur uuuuur ur uur C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ') u x y z v x y z r r 1. '; '; ' u v x x y y z z = ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; ' u v x x y y z z ± = ± ± ± r r 3. ( ; ; ) ku kx ky kz = r 4. . ' ' ' u v xx yy zz = + + ur r 5. ' ' ' 0 u v xx yy zz ⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z = + + r 7. ( ) ' ' ; ' ' ; ' ' ; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y   = − − −       ∧ = r r 8. , u v ur r cùng ph ươ ng⇔ [ , ] 0 = r r r u v 9. ( ) cos , . . u v u v u v = ur r r r r r . D. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. ( ; ; ) = − − − uuur B A B A B A AB x x y y z z 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = − + − + − B A B A B A AB x x y y z z 3. G là tr ọ ng tâm tam giác ABC ta có: x G = 3 A B C x x x + + ; y G = 3 A B C y y y + + ; z G = 3 A B C z z z + + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 − − − = = = − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x z y + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ AB AC ∧ uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 2 AB AC ∧ uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ AB AC ∧ uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = ( ) 1 , 6 AB AC AD ∧ uuur uuur uuur , V ABCD = 1 . 3 BCD S h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT I. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), ( ; ; ) n A B C = r }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng α : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.    một số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có ( ) [ , ] ABC n AB AC = r uuur uuur c/ α // β ⇒ n n α β = uur uur d / α ⊥ β ⇒ n u α β = uur uur và ng ượ c l ạ i e / α //d ⇒ d u u α = uur uur f / α ⊥d ⇒ d n u α = uur uur . ( ) 1;0;0 i r ( ) 0;1;0 j r ( ) 0;0;1 k r O z x y 2 II. Đường thẳng Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ uur =(a;b;c)} i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  trong đ ó 1 1 1 1 ( ; ; ) n A B C = uur , 2 2 2 2 ( ; ; ) n A B C = uur là hai VTPT và VTCP 1 2 [ ] u n n ∆ = uur uuruur . †Chú ý: a / Đườ ng th ẳ ng Ox: 0 0 y z =   =  ; Oy: 0 0 x z = =    ; Oz: 0 0 x y =   =  b/ (AB): AB u AB = r uuur ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ 1 2 u u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ 1 2 u n ∆ ∆ = uur uur . III. Góc- Kh/C Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = . ' . ' u u u u ur uur r uur ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= . ' . ' n n n n ur uur r uur ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆, α )=sinψ= . . n u n u ur r r r . KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), α :Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ r }, ∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), ' u ∆ uur } * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M, α )= 2 2 2 M M M Ax By CZ D A B C + + + + + * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= 1 [ , ] MM u u uuuuur r r * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= 0 0 [ , ']. ' [ , '] u u M M u u r uur uuuuuuuur uur uur III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= 2 2 2 a b c d + + − 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n α uur = IM uuur ) 3. Nếu d(I, α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = 2 2 - ( , ) R d I α b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α +H= ∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) 3 B. BÀI TẬP Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 y x z −+ ∆ = = − vặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. ĐS: Chuẩn 5 1 ; ; 1 2 2 D   −     , Nâng cao 3 1 2 1 x t d y t z t = − +   = −   = −  Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho b ố n đ i ể m A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u đ i qua b ố n đ i ể m A, B, C, D. b. Tìm t ọ a độ tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC. 4 ĐS: a. x 2 +y 2 +z 2 −3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng 21 : 1 1 2 y x z +− ∆ = = − . a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 +MB 2 nhỏ nhất. 5 ĐS: a. 2 2 : 2 1 1 yx z d − − = = − , b. M(−1;0;4). 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 2 2 3 : 2 1 1 yx z d + − − = = − , 1 1 1 1 : 1 2 1 yx z d − − + = = − . a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d 1 . b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . ĐS: a. A’(−1;−4;1), b. 2 1 3 : 1 3 5 yx z− − − ∆ = = − − . 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 1 1 : 3 1 2 yx z d + − + = = − và 2 12 3 : 10 2 x t d y t z t = −   =   = −  . a. Ch ứ ng minh d 1 và d 2 song song v ớ i nhau. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a c ả hai đườ ng th ẳ ng d 1 và d 2 . b. M ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxz c ắ t hai đườ ng th ẳ ng d 1 , d 2 l ầ n l ượ t t ạ i các đ i ể m A, B. Tính di ệ n tích tam giác OAB (O là g ố c t ọ a độ ). 6 ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b. 5 OAB S ∆ = . 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). ĐS: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 x y z − + + − = . 4.Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz gian cho đườ ng th ẳ ng d k là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ( α ): x+3ky−z+2=0, ( β ): kx−y+z+1=0. Tìm k để đườ ng th ẳ ng d k Vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P):x−y−2z+5=0. ĐS: k=1. 7 5.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x−y+2=0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, ( β ): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P). ĐS: 1 2 m = − . 8 1. Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao 3 1 : 26 11 2 yx z + − ∆ = = − . 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC. 9 ĐS: a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 −2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất. ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3). 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 10 1 1 1 : 2 1 1 y x z d − + = = − , 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t = +   = − −   = +  . a. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( P ) qua A , đồ ng th ờ i song song v ớ i d 1 , d 2 . b. Tìm t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c d 1 , N thu ộ c d 2 sao cho A , M , N th ẳ ng hàng. ĐS: a. ( P ): x +3 y +5 z− 13=0, b. M (0;1; − 1), N (0;1;1). 4.Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz cho hình l ă ng tr ụ đứ ng ABC . A 1 B 1 C 1 v ớ i A (0; − 3;0), B (4;0;0), C (0;3;0), B (4;0;4). a. Tìm t ọ a độ các đỉ nh A 1 , C 1 . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u tâm A và ti ế p xúc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( BCB 1 C 1 ). b. G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a A 1 B 1 . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( P ) đ i qua hai đ i ể m A , M và song song v ớ i BC 1 . M ặ t ph ẳ ng ( P ) c ắ t đườ ng th ẳ ng A 1 C 1 t ạ i đ i ể m N . Tính độ dài đ o ạ n MN . ĐS: 17 2 MN = 5.Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz cho đ i ể m A(−4;−2;4) và đườ ng th ẳ ng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t = − +   = −   = − +  . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua đ i ể m A, c ắ t và vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d. [...]... phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d ĐS: a I1(−3;5;7), I2(3;−7;1) 14 12.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa ( ) độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S 0; 0; 2 2 Gọi M là trung điểm của cạnh SC a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng... rằng d1 và d2 chéo nhau b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d 2 12 x − 2 y z +1 = = 7 1 −4 10.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD a Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN 1 b Viết phương trình mặt phẳng chứa... nhau  18 53 3  ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4 Nâng cao M1(0;1;−3), M 2  ; ;   35 35 35  11 8.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : x −1 y z − 2 = = 2 1 2 a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (α) lớn nhất ĐS: a H(3;1;4), (α): x−4y+z−3=0  x = −1 + 2t x y −1 z + 2  9.Trong . I 1 ( − 3;5;7), I 2 (3; − 7;1) 15 12.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), ( ) 0;0;2 2 S. x +3 y +5 z− 13=0, b. M (0;1; − 1), N (0;1;1). 4.Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz cho hình l ă ng tr ụ đứ ng ABC . A 1 B 1 C 1 v ớ i A (0; − 3;0), B (4;0;0), C (0;3;0), B (4;0;4) hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d − − = = . a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. b. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d