Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant

Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant: Điều khiển phi tuyến của một máy tính không đồng bộ mà không cần cảm biến cơ khí với Observer RSS Rotoric bởi chế độ trượt

Volume 48, Number 1, 2007 3 Commande Non Linéaire d’une Machine Asynchrone sans Capteur Mécanique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant Abdelrahim BENTAALLAH, Abdelkader MEROUFEL, Ahmed MASSOUM, Abdelber BENDAOUD et Karim MEDLES Résumé — Cet article présente le concept général de la commande non linéaire de la machine asynchrone avec observateur par mode glissant de flux rotorique et estimateur de vitesse. Le découplage entre le flux et la vitesse est réalisé par la technique de linéarisation entrée/sortie. Le flux rotorique est estimé par observateur par mode glissant et mis en contre réaction pour la régulation. Le capteur mécanique est remplacé par un estimateur de vitesse puis introduit dans la boucle de régulation. Plusieurs essais de simulation sous Simulink/Matlab sont effectués en vue de mettre en évidence les performances du système de commande. Mots clés — Commande non linéaire, linéarisation, observateur, mode glissant. 1. Introduction Les observateurs non linéaires ne sont pas très développés devant les observateurs linéaires. Cependant, les chercheurs s’étaient intéressés à développer des observateurs pour les systèmes ayant une non linéarité régulière comme le système des flux rotorique et statorique au sein de la machine asynchrone [1,2,3] Grâce aux propriétés importantes des systèmes à structure variable, les chercheurs ont pensé aux observateurs basés sur l’approche du mode de glissement. Ces observateurs ont la même structure que les observateurs classiques [6,7,8]. La différence réside dans la contre réaction qui dépend d’une fonction ‘sign’. Dans cet article, on a opté pour l’observateur de flux à mode glissant, qui présente une contre réaction robuste. D’autre part, pour une simplicité de commande non linéaire avec observateur du flux à mode glissant, on a préféré l’utilisation d’un estimateur de vitesse en vue d’éliminer le capteur mécanique et de réduire l’encombrement de la machine. Cette structure de commande non linéaire simplifiée, présente de bonnes performances avec les régulateurs classiques. 2. Modèle non linéaire de la MAS alimentée en tension Le modèle de la machine dans le référentiel d-q choisi de telle manière que le flux rotorique possède une composante nulle selon l’axe q est donné par les équations d’états suivantes : U.G)X(FX +=  (1) Avec : )xxxx()ii(X 4321 T qsdsqsds == ΦΦ (2) t 4321 )),x(f),x(f),x(f),x(f()x(F = (3) ACTA ELECTROTEHNICA 4 J C xx. L M J 1 )x(f x. L R x.M L R )x(f u. L. 1 xx x xx R L M x.x LL. M x). L. R L M L. R ()x(f u. L. 1 xx x x R L M x.R L M L. 1 x). L. R L M L. R ()x(f r 32 r 4 3 r r 1 r r 3 qs s 41 3 21 r r 43 rS 2 s r 2 r 2 s s 2 ds s 42 3 2 2 r r 3r 2 r S 1 s r 2 r 2 s s 1 −= −= ++−−+−= +++++−= σσσσ σσσσ (4) Où : rs 2 L.L M 1−= σ ; 2 rs 2 r s s L.L. MR L. R σσ λ = ; [] t s1 000L.1)x(g σ = [ t s2 00L.10)x(g σ = ] (5) t sqsd )UU(U = (6) 2.1.Choix des sorties Le choix des sorties est lié aux objectifs de commande, on choisit comme sortie x 3 (composante du flux rotorique selon l’axe d) et x 4 (la vitesse) [4,5] ; on pose : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 1 x x )x(h )x(h )x(Y (7) 2.2.Linéarisation entrée/sortie La condition permettant de vérifier si le système non linéaire admet une linéarisation E/S est la détermination du degré relatif. a) Degré relatif à la sortie )x(Y 1 u).x(hLL)x(hL)x(h)x(Y )x(h.L)x(h)x(Y 1fg1 2 f11 1f11 +== ==     (8) Le degré relatif associé à est r 1 =2 )x(Y 1 b) Degré relatif à la sortie )x(Y 2 u).x(hL.L)x(h.L)x(h)x(Y )x(h.L)x(h)x(Y 2fg2 2 f22 2f22 +== ==     (9) Le degré relatif associé à est r 2 =2 )x(Y 2 Avec : () () )x(fx)x(fx JL M )x(hL )x(f)x(Mf L R )x(hL 3223 r 2 2 f 21 r r 1 2 f += −= (10) Le choix de ces sorties aboutit à une linéarisation complète d’ordre 4 (r 1 +r 2 =n= 4) avec n : ordre du système. 2.3. Transformation difféomorphisme Le changement de coordonnées non linéaire nécessaire est donné par le système d’équations suivant [3,4,5]. )x(f)x(hLz x)x(hz )x(f)x(hLz x)x(hz 42f4 423 31f2 311 == == == == (11) L’application du changement de variables (11) au système d’équations (4) aboutit à l’écriture suivante : 222fg2 2 f4 43 111fg1 2 f2 21 vu)x(hLL)x(hLz zz vu)x(hLL)x(hLz zz =+= = =+= =     (12) 2.4. Loi de commande non linéaire Pour avoir une linéarisation E/S complète d’ordre 4 en boucle fermée, il faut appliquer le retour d’état non linéaire, à condition que 0)0( r ≠ Φ : ( ) [ ] )x(Avv)x(DU t 21 1 −= − (13) Où ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = rs 3 rs r LLJ Mx 0 0 LL MR )x(D σ σ (14) est la matrice de découplage, avec : ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = )x(hL )x(hL )x(A 2 2 f 1 2 f (15) Volume 48, Number 1, 2007 5 L’application de la loi (13) au système d’équation (12) aboutit au modèle linéaire (16) schématisé par la figure 1. 21 zz =  12 vz =  (16) 43 zz =  24 vz =  3. Commande par imposition de trajectoire Pour poursuivre des trajectoires de référence du flux ( Z 1ref ) et de vitesse ( Z 3ref ) avec une certaine dynamique, on impose au système linéarisé des pôles stables répondant aux performances désirées (polynôme d’Hurwitz). Les entrées v 1 , v 2 peuvent être calculées de la façon suivante : ( ) ( ) ()() ref33ref3222ref3212 ref1ref1121ref1111 zzzkzzkv zzzkzzkv   +−+−= +−+−= (17) Les équations d’erreur de poursuite deviennent : 0ekeke 0ekeke 2212222 1111121 =++ =++   (18) Avec : 1ref11 zze −= 3ref32 zze −= Les coefficients K ij (i = 1,2 ; j = 1,2) sont choisis de manière à satisfaire le polynôme d’Hurwitz. 0sskk 2 1211 =++ (19) 0ss.kk 2 2221 =++ Comme le flux est difficilement accessible, il est préférable de l’estimer par un observateur en vue de le contrôler par un régulateur classique. 4. Structure générale d’un observateur par mode glissant Considérons le système non linéaire suivant : ),,( tuxfx =  (20) 2 z = Considérons aussi le vecteur y des variables mesurables qui sont reliées linéairement avec les variables d’état ; [6,7,8] Cxy = (21) Si le système est observable, l’objectif de l’observateur est de donner la meilleure estimation des variables d’état à partir des mesures sur la sortie y et sur l’entrée u . Nous définissons l’observateur par la structure suivante [8,9] : s utuyxfx Λ+= ),,, ˆ ( ˆ  (22) Avec : est de même dimension que x ˆ )(nx f ˆ est le modèle d’estimation Λ est la matrice des gains de dimension n×r (r est la dimension de u) est un vecteur définit par : s u [ ] t r21s )s(sign)s(sign)s(signu … = (23) [ ][ x ˆ CySsss t r2 −== Γ … ] (24) Γ est une matrice carrée (r x r) à déterminer. d’erreur Nous définissons aussi le vecteur ˆ exx = − en soustrayant les équations (21) et (19), ensuite nous obtenons : s ufe ΛΔ −=  (25) Avec )t,u,y,x ˆ (f)t,u,x(ff −= Δ Le vecteur surface S=0 est attractif, si : ii SS  < 0 pour i= 1, r (26) Durant le mode de glissement, le terme de commutation (22) est nul. Car le vecteur surface et sa dérivée sont nuls ( ). 0SS ≡≡  1 zv = 2 zv = 4 z = 1 1 1 z = x 3 z = x 1 1 Fig. 1. Système découplé et linéaire. ACTA ELECTROTEHNICA 6 La grandeur équivalente du terme de commutation est donnée comme suit : 0) ~ ( =Λ−ΔΓ s ufC (27) Donc, on peut écrire : fCCu s ΔΓΛΓ= −1 )( ~ (28) La matrice doit être inversible. Cela constitue la première exigence sur le choix de et Γ . La dynamique de l’erreur est gouvernée par l’équation (29). ΛΓC Λ fCCIe ΔΓΛΓΛ−= − ))(( 1  (29) Le choix des matrices et et le modèle est donc décisif pour assurer la convergence de l’erreur vers zéro. Γ Λ f ˆ 5. Observateur par mode de glissement (MG) du flux rotorique L’objectif est d’estimer les composantes du flux rotorique ),( qrdr ΦΦ à base des courants et des tensions statoriques qui sont facilement mesurables. Le vecteur sortie utilisé pour l’estimation est donné par : x 00010 00001 xCy ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == (30) Considérons maintenant le système du moteur asynchrone en tenant compte des variables i ds , i qs , Ф dr , Фqr. ; les variables à observer sont donc : qrdrqsds ˆ , ˆ ,i ˆ ,i ˆ ΦΦ Le système à observer est : 11 11 1 1 ds ds s qs dr r qr ds rs qs s ds qs r dr qr qs rs dr ds dr sl qr rr qr qs sl dr qr rr iiik k TL iii kk TL M i TT M i TT λω ω σ ωλω σ ω ω ⎧ =− + + Φ+ Φ+ ⎪ ⎪ ⎪ =− − − Φ + Φ + ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Φ= − Φ+ Φ ⎪ ⎪ ⎪ Φ= − Φ− Φ ⎪ ⎩     v v (31) Le modèle de l’observateur est : 1 1 2 1 1 2 2 2 11 ˆˆ ˆ 11 ˆˆ ˆ 1 ˆˆˆ 1 ˆˆˆ ds ds s qs dr r qr ds s rs qs s ds qs r dr qr qs s rs dr ds dr sl qr s rr qr qs sl dr qr s rr iiik k v TL iii kk v TL M iu TT M iu TT λω ω σ ωλω σ ω ω ⎧ =− + + Φ+ Φ+ +Λ ⎪ ⎪ ⎪ =− − − Φ + Φ + +Λ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Φ= − Φ+ Φ+Λ ⎪ ⎪ ⎪ Φ= − Φ− Φ+Λ ⎪ ⎩     u u (32) Fig. 2. Schéma de principe d’un observateur par mode glissant. Mode de glissant. Nous définissons la matrice des gains comme suit : [ ] 21 j i ΛΛΛ = pour i = 1,2 et j = 1,2 Avec : , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 1 1 Λ Λ Λ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 1 2 2 Λ Λ Λ Pour avoir l’erreur d’observation, nous soustrayons (31) de (32), ce qui donne : 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 qs r dr qr s r ds dr r qr s r dr dr sl qr s r qr sl dr qr s r ikk T ik k u T u T u T ω ω ω ω ⎧ =− Φ + Φ −Λ ⎪ ⎪ ⎪ =Φ+Φ−Λ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ Φ=− Φ+ Φ−Λ ⎪ ⎪ ⎪ Φ=− Φ− Φ−Λ ⎪ ⎩     u (33) Avec [ ] t 21s )s(sign)s(signu = et . () y ˆ y s s S 2 1 −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = Γ Le vecteur d’erreur est : [] rS Ie Φ = Posons les représentations matricielles suivantes : [ ] 10C = , Volume 48, Number 1, 2007 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = r r r r 1 T 1 kk k T 1 k A ω ω , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = r sl sl r 2 T 1 T 1 A ω ω Le système (31) devient : 1 11 1 22 s r rs s I Au A u ⎧ =Φ−Λ ⎪ ⎨ Φ= Φ −Λ ⎪ ⎩   (34) La surface y)y ˆ y(S ΓΓ =−= , d’où s IS Γ = (35) La fonction de Lyapunov est : [9,10,11] SS 2 1 V t = > 0 (36) d’où la dérivée ,V  s t ISV   Γ = (37) Notons que dtd Γ doit être nulle. Après un calcul intermédiaire, nous obtenons : s 1 1 t r1 t uSASV ΛΓΦΓ −=  (38) En posant , il suffit de vérifier la condition (37) pour satisfaire la condition d’attractivité des surfaces. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 0 0 δ δ ΛΓ r1 t 2211 ASSS ΦΓδδ >+ (39) La détermination des gains se fait selon deux étapes : - La première consiste à satisfaire la condition d’attractivité : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − 2 1 1 1 0 0 δ δ ΓΛ (40) - La deuxième consiste à imposer pour l’erreur une dynamique de convergence exponentielle. Lorsque le régime de glissement est établit ( 0I s =  et 0I s = ), nous avons alors : r1 1 1s u ~ ΦΛΛ − = (41) Par substitution, l’erreur sur r Φ devient : ( ) r1 1 122r AA ΦΛΛΦ − +−−=  (42) Pour que l’erreur converge exponentiellement, nous devons poser : rr Q ΦΦ −=  (43) Avec , , sont des constantes positives ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 q0 0q Q 1 q 2 q D’où : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += −− 2 1 11 122 0 0 )AQ( δ δ ΓΛΛ (44) Pour une raison de simplification, nous posons : 1 1 − = ΛΓ (45) La condition 0dtd =Γ est vérifiée en considérant que la vitesse est suffisamment lente devant la dynamique de l’observateur. Ce qui en résulte : ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 11 0 0 A δ δ Λ (46) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= 2 1 22 0 0 )AQ( δ δ Λ (47) Par développement, nous obtenons : () ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r r r r 2 r 2 r T 1 kk k T 1 k k T 1 k 1 ω ω ω Γ (48) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = r 2r2 r1 r 1 1 T 1 kk k T 1 k δωδ ωδδ Λ (49) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = r 22sl2 sl1 r 1 2 T 1 q T 1 q δωδ ωδδ Λ (50) Ainsi, la condition d’attractivité devient comme suit : rSSS t 2211 Φδδ >+ (51) ACTA ELECTROTEHNICA 8 La dynamique de l’observateur doit être plus rapide que celle du système à observer ; cela exige un choix convenable des constantes : .q,q,, 2121 δδ 6. Estimateur de la vitesse rotorique Les équations d’état de la machine asynchrone exprimée dans un espace vectoriel sont [12]: r22s21 r s1r12s11 s .ai.a dt d v.B.ai.a dt id Φ Φ Φ        += ++= (52) Où : 11 12 21 22 2 1 2 ; . 1 (.); 1 ;.; . 1 ;; . S r Srr r r rr rr sr s rr D a L MM aj LLT L M aaj TT RM L BDR T L LR σ ω σ ω σ =− =− ==− ==+ Fig. 3 . Schéma de simulation de la commande non linéaire MAS avec observateur MG de flux et estimateur de vitesse rotorique. = Ce système d’équation peut être réarrangé comme suit : rr r r rr s ss 2 r 2 rss .j. L M T.L M dt id Li). L M RR(v ΦωΦσ     +−++= (53) Considérant que les vecteurs tension, courant et flux rotorique peuvent êtres exprimés sous forme complexe, à partir de l’équation (VI.1), on déduit la vitesse rotorique estimée : r 2 s sssr s sssr r L M ˆ dt di .Li.Dv( ˆ ) dt di .Li.Dv( ˆ ˆ Φ σΦσΦ ω α ααβ β ββα  −−−−− = (54) 7. Simulation Nous simulons le comportement de l’observateur du flux rotorique et de la vitesse en utilisant le schéma de la figure 3. Fig 4 .Réglage de la MAS sans capteur mécanique. Les figures 4, 5 et 6 montrent que le système est découplé et que les réponses sont sans erreurs statique et sans dépassement. Nous remarquons aussi que l’intégration de l’observateur n’a pas d’influence sur les performances du réglage. D’autre part, le flux r Φ est orienté dans la direction ‘d’ ( 0; qrrdr =ΦΦ=Φ ). Nous remarquons aussi que les flux observés convergent rapidement Volume 48, Number 1, 2007 9 vers les flux réels et ne les quittent pas ultérieurement. 8. Conclusion Dans cet article, nous avons présenté la commande non linéaire d’une machine asynchrone sans capteur mécanique avec observateur du flux rotorique à mode glissant. Le découplage est obtenu par la technique de linéarisation E/S du modèle de la machine asynchrone dans le repère dq. Le contrôle du flux rotorique est réalisé par un correcteur classique. Le flux est estimé par un observateur MG, la vitesse est déterminée par un estimateur et contrôlée par un régulateur classique. Le flux observé et la vitesse estimée convergent rapidement vers les variables réelles correspondantes. Les performances de ce système de contrôle sont satisfaisantes et prometteuses. Fig. 5. Réglage de la MAS sans capteur mécanique : réponse de la vitesse. Fig . 6 .Réglage de la MAS sans capteur mécanique : réponse du flux. éférences oufle, G. Georgiou, I.P. Louis, f speed non linear R 1. B. Le Pi “ Application des commandes NL pour la régulation en vitesse ou en position de la machine synchrone autopilotée “, Revue physique appliquée 1990, PP. 517-527. 2. B. Le Pioufle, “ Comparison o Control strategies for the servomotor”, electric Machines and power systems, 1993, PP. 151-169. ACTA ELECTROTEHNICA 10 3. B. Belabbes, “ Commande linéarisante d’une machine synchrone à aimants permanents“, Thèse de magister U. Sidi bel abbes 2001. 4. Hyungbo Shim and Jin Heon Seo, “ Non-Linear Output feedback stabilization on a bounded region of attraction“, INT.J. Control, 2000. 5. A. Bentaallah, A. Meroufel, A. Massoum, M.K. 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Paramètres de la MAS P = 1.5 kW p = 2 U = 380/220 -50 Hz N = 1450 tr/mn I = 3/6 A, M = 0.258 H R s = 4.85 Ω, R r = 3.81 Ω L s = 0.274 H, L r = 0.274 H J = 0.031 Kgm 2 , f = 0.0114 Nm/rd/s Notations utilisées sd v : Tension statorique instantanée dans l’axe d sq v : Tension statorique instantanée dans l’axe q sd i : Courant statorique instantané dans l’axe d sq i : Courant statorique instantané dans l’axe d s ω : Pulsation statorique sl ω : Vitesse de glissement r Ω : Vitesse mécanique de rotation e C : Couple électromagnétique r C : Couple résistant Φ : Flux Φ ˆ : Flux estimé )x(hL f : Dérivée de Lie de h(x) le long de f(x) D(x) : Matrice de découplage z i (1,2,…) :Changement de variable v 1, v 2 : Commande linéaire e : Erreur d’estimation K : Gain d’observation s V ˆ : Représente le vecteur des tensions observées Λ : Matrice des gains de dimension (n x r) Γ : Matrice carrée (r x r) S : Vecteur surface f ˆ : Modèle d’estimation Q : Matrice carrée 1 δ , 2 δ , , Constantes 1 q 2 q Abdelrahim BENTAALLAH e.mail: ba_asmo@yahoo fr Abdelkader MEROUFEL e-mail : ameroufel@yahoo.fr Ahmed MASSOUM e-mail : ahmassoum@yahoo.fr Abdelber BENDAOUD e-mail : babdelber@univ-sba.dz Karim MEDLES e-mail : kmeldes1972@yahoo.fr Laboratoire I.C.E.P.S Département Electrotechnique Faculté des Sciences de l’Ingénieur Université Djillali Liabes BP 89 Sidi Bel Abbes 22000, Algérie . Volume 48, Number 1, 2007 3 Commande Non Lin aire d une Machine Asynchrone sans Capteur M canique avec Observateur du Flux Rotorique par Mode Glissant. Simulink/Matlab sont effectués en vue de mettre en évidence les performances du système de commande. Mots clés — Commande non lin aire, lin arisation, observateur,