DTHSG 7nam2011

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7 Năm học:2004 -2005 Thời gian làm bài :120 Phút. *** Bài I : ( 1điểm) Tìm x để : a, 2 | x - 1 | = 2 4 . 64 b, A = x 2 - 2x có giá trị âm . Bài II:(5điểm) : Bài1:(1,5điểm) : Cho x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4 , z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 4 1 4 . Xét mối quan hệ x và z? Tìm hệ số tỉ lệ ? Bài2:(2điểm) : Chứng minh rằng nếu : 3 3 2 2 + = + b b a a thì : 32 ba = . Bài 3:(1,5điểm): Cho a; b; c là các số khác 0 . Xác định dấu của c , biết 2a 3 bc trái dấu với - 3a 5 b 3 c 2 ? Bài III :(4điểm): Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ thuận với 1; 2 và 3. Bài IV:(8điểm) Bài1: (3điểm) Cho tam giác ABC có : - = 20 o . Vẽ tia phân giác BD ( D AC) . Tính số đo các góc ADB và góc CDB ? Bài2: (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A ; = 75 o . Từ C vẽ CH AB (H AB). Chứng minh : AB = 2 CH . Bài V: (2điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = | x - 2006 | + | x - 1 | . Hớng dẫn chấm toán 7 (Học sinh giỏi) Năm học :2004 - 2005: Bài I:(1điểm) a, 2 | x - 1 | = 2 4 . 64 | x - 1 | = 10 * x - 1 =10 x = 11 * x - 1 = - 10 x = - 9 . Vậy x - 9; 11 1 b, A = x 2 - 2x có giá trị âm A = x(x-2) < x và x-2 trái dấu nhau. Nhng x > x-2 , nên : x > 0 và x- 2 < 0 hay x > 0 và x < 2 . Vậy 0 < x < 2 Thì A có giá trị âm . Bài II: Bài 1:(1,5 điểm): Vì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 4 x = y 4 y = x 4 (1) Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 4 1 4 z = 4 1 4 y (2) Từ (1) và (2) có :z = 4 1 4 . x 4 = xx 174 . 4 17 = Vậy z tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là : - 17. Bài 2:(2 điểm): Từ : 3 3 2 2 + = + b b a a 3 2 3 2 = + + b a b a . TheoT/c dãy các tỉ số bằng nhau ta có: 3 2 3 2 = + + b a b a = 3 2 6 4 33 22 )3()3( )2()2( == ++ ++ = + + bb aa bb aa . (1) Từ : b a b a b a = + + == + + 33 22 3 2 3 2 (2) Từ (1) và (2) ta có : 323 2 ba b a == (ĐPCM) Bài 3:( 1,5điểm): Vì : 2a 3 bc trái dấu với -3a 5 b 3 c 2 nên ( 2a 3 bc )(-3a 5 b 3 c 2 ) < 0 Tức là : - 6a 8 b 4 c 3 < 0 Mà a 8 b 4 > 0 với mọi a,b khác 0 . Suy ra : - 6c 3 < 0 c 3 > 0 c > 0 Vậy : c > 0 BàiIII: (4điểm): Gọi 3 chữ số của số phải tìm là : a ; b ; c.(a,b,c có vai trò nh nhau). Vì số đó chia hết cho 18 nên số đó phải chia hết cho 2 và cho 9 (do 2 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau) *Do số đó chia hết cho 9 , nên (a+b+c) 9 (1) Mà : 1 ++ cba 27 (2) (do : 1 9 a ; 0 b 9 0 c 9 ; nếu coi a là chữ số hàng trăm , điều này không làm mất tính tổng quát) Từ (1)và (2) ta có: a+b+c {9;18;27} (3) Theo đầu bài lại có 321 cba == = 6321 cbacba ++ = ++ ++ (4) Từ (3)và (4) có : a+b+c =18 321 cba == = 3 6 18 321 == ++ ++ cba a=3; b = 6; c = 9 Nhng vì số đó còn phải chia hết cho 2 nữa nên chữ số tận cùng phải là : 6 Vậy số cần tìm là :396 ; 936 . Bài IV: B Bài1: (3điểm) 1 2 GT ABC; - =20 0 BD là phân giác của B KL ADB =? ; CDB =? 2 1 A D C 2 Chứng minh : Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có : D 1 = + B 1 = D 1 - B 1 D 2 = +B 2 = D 2 - B 2 - = (D 1 - B 1 ) - (D 2 - B 2 ) =D 1 - B 1 - D 2 + B 2 = D 1 - D 2 = 20 0 (1)(vì B 1 =B 2 (gt)) Mà D 1 +D 2 =180 0 (2) Từ (1)và (2) ta tính đợc : D 1 = 100 0 ; D 2 =80 0 A Bài 2:(5điểm) ABCcân tại A GT = 75 o K E CH AB ( H AB ) KL AB =2 CH H 1 1 B Chứng minh : Trên nửa mp có chứa điểm A bờ là BC lấy điểm E sao cho EBC đều . Lấy K là trung điểm của AB . * AEB = AEC (c.c.c) 1 = 15 0 = B 1 EAB cân tại E. EK AB (T/c Tam giác cân) * Xét BCH và EBK có : H = K = 1v BC = EB (cạnh của đều EBC) 1 = B 1 = 15 o ( Do 1 = 90 o - 75 o ; B 1 =75 o - 60 o ) Vậy BCH = EBK (Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông) CH = BK mà BK = 2 1 AB (K là trung điểm của AB) 2 Bi 1: (4 im) Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: A = 4 4 4 5 19 23 8 8 8 5 19 23 + + B = 3 4 7 2 5 7 : : 5 9 11 5 9 11 + + + ữ ữ (Nhng bi toỏn chn lc v nõng cao 7- Nguyn Vn Nho Trang 20) Bi 2:(4 im) a) Tớnh tng i s sau: S = 1 - 2 + 2 2 2 3 + 2 4 2 5 + 2 1000 . (Toỏn nõng cao BDHSG 6 - PGS.TT u Th Cp Trang 80) b) Tỡm x, bit: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10 x + + + + + + + + = ữ (Toỏn hc tui tr) Bi 3:(4 im) Cho a thc P(x) = x 4 3x 2 + 1 2 - x 3 Tỡm cỏc a thc Q(x), R(x) sao cho: a) P(x) + Q(x) = x 5 2x -2 +1. b) P(x) R(x) = x 3 . (SGK Toỏn 7 tp 2 Trang 45) Bi 4:(4 im) Cho 2 5 7 x y z = = . Tỡm giỏ tr ca biu thc C = 2 x y z x y z + + (x 0, y 0, z 0) (Nhng bi toỏn chn lc v nõng cao 7- Nguyn Vn Nho Trang 48) Bi 5:(4 im) Cho A, B l hai im phõn bit v d l ng trung trc ca on thng AB. a) Ta kớ hiu P A l na mt phng b d cú cha im A (khụng k ng thng d).Gi N l im ca P A v M l giao im ca ng thng NB v d . Hóy so sỏnh NB vi NM + MA; t ú so sỏnh NA vi NB. b)Ta kớ hiu P B l na mt phng b d cú cha im B (khụng k d). Gi N l im ca P B . Chng minh rng NB < NA. c) Gi L l mt im sao cho LA< LB. Hi im L nm õu, trong P A , P B hay trờn d? -Ht- Đề 3 Bài 1(3 điểm): a) Tính : 1 1 1 1 0,2 0,125 2 3 5 7 3 3 3 3 0,5 0,375 4 10 5 7 + + + + + b) Cho f(x) = 6 5 4 3 2 2010 2010 2010 2010 2010 2009x x x x x x + + + Tính f(2009) = ? c) Cho a + d = b + c và a 2 + d 2 = b 2 + c 2 (b, d 0) Chứng minh rằng : 4 số a, b, c, d lập đợc thành một tỉ lệ thức. Bài 2 (1,5 điểm): Cho biểu thức : 2 3 4 x A x + = a) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị bằng 0 4 b) Tìm các giá trị nguyên của x để A Z Bài 3(1,5 điểm): Cho 3 phân số tối giản biết tổng của chúng là 5 9 9 . tử của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 còn mẫu tỉ lệ với 5; 6; 4. Tìm 3 phân số tối giản đó. Bài 4(3 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của góc B và góc C cắt AC, AB lần lợt tại E và D. a) Chứng minh rằng BE = CD và AD = AE b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các tam giác MAB và MAC là các tam giác vuông cân. c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần lợt ở K và H. Chứng minh : KH = KC. Bài 5(5 đểm): Tính : 2010 2010 2010 2010 1 a b c S ab a bc b ac c = + + + + + + + + , biết : 1 2010 bc a = De 4 Bi 1: (1,5 im): So sỏnh hp lý: a) 200 16 1 v 1000 2 1 b) (-32) 27 v (-18) 39 Bi 2: (1,5 im): Tỡm x bit: a) (2x-1) 4 = 16 b) (2x+1) 4 = (2x+1) 6 c) 2083x =+ Bi 3: (1,5 im): Tỡm cỏc s x, y, z bit : a) (3x - 5) 2006 +(y 2 - 1) 2008 + (x - z) 2100 = 0 b) 4 z 3 y 2 x == v x 2 + y 2 + z 2 = 116 Bi 4: (1,5 im): Cho a thc A = 11x 4 y 3 z 2 + 20x 2 yz - (4xy 2 z - 10x 2 yz + 3x 4 y 3 z 2 ) - (2008xyz 2 + 8x 4 y 3 z 2 ) a/ Xỏc nh bc ca A. b/ Tớnh giỏ tr ca A nu 15x - 2y = 1004z. Bi 5: (1 im): Cho x, y, z, t * N . Chng minh rng: tzx t tzy z tyx y zyx x M ++ + ++ + ++ + ++ = cú giỏ tr khụng phi l s t nhiờn. 5 Bi 6: (3 im): Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, M l trung im BC. Ly im D bt kỡ thuc cnh BC. H v I th t l hỡnh chiu ca B v C xung ng thng AD. ng thng AM ct CI ti N. Chng minh rng: a) BH = AI. b) BH 2 + CI 2 cú giỏ tr khụng i. c) ng thng DN vuụng gúc vi AC. d) IM l phõn giỏc ca gúc HIC. đề 5 Bài 1: Tính a, ( ) 4 8 0 15 12 6 . 3 1 .9. 3 1 15 4 . 7 3 + b, 675.4 15.1681.10 4 24 Bài 2: Cho d c b a = Chứng minh rằng bdd bdb acc aca + = + 2 2 2 2 Bài 3: Tìm x biết 6527 =++ xx Bài 4: Một cửa hàng có 3 cuộn vải, tổng chiều dài 3 cuộn là 186 mét. Giá tiền mỗi mét vải của 3 cuộn là nh nhau. Sau khi bán đợc một ngày, cửa hàng còn lại 3 2 cuộn vải thứ nhất; 3 1 cuộn vải thứ hai; 5 3 cuộn vải thứ ba. Số tiền bán đợc của 3 cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán đợc bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn ? Bài 5: Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A 6 Chứng minh a, DC = BE; DC BE b, BD 2 + CE 2 = BC 2 + DE 2 c, Đờng thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC 6 Câu 1:( 4 điểm) 1. Chứng minh rằng 36 36 - 9 10 chia hết cho 45 2. Tìm x, y ,z biết rằng: a) ( ) 1 4 2 3, 2 3 5 5 x + = + b) 2x = 3y = 5z và x y + z = -33 c) ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Câu 2 ( 1.5 điểm) Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi đ- ợc 5 4 quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ tra. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ? . Câu 3:( 4 điểm) : Cho tam giác ABC có 120A < .Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE a) Gọi M là giao điểm của BE và CD. Tính BMC. b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD. c) Chứng minh: AMC = BMC. d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120) sao cho: NIP = PIQ = QIN. Bài 4: :( 0.5 điểm) 7 TÝnh tæng S = 2 2 + 4 2 + 6 2 + … + 20 2 , biÕt 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + … + 10 2 = 385. Đáp án de 2 Bà i Nội dung Điểm 1. a A = 4 4 4 5 19 23 8 8 8 5 19 23 − + − − + = 1 1 1 4 5 19 23 1 1 1 8 5 19 23 4 1 8 2   − − +  ÷   =   − +  ÷   − − = = 1 1. b B = 3 4 7 2 5 7 : : 5 9 11 5 9 11 −     − + + +  ÷  ÷     = 3 4 2 5 7 : 5 9 5 9 11   − + − +  ÷   = 5 9 7 : 5 9 11 −   +  ÷   = 0 1 2. a Ta có S = 1 - 2 + 2 2 – 2 3 + 2 4 – 2 5 + … + 2 1000 (1) 2S = 2 – 2 2 + 2 3 – 2 4 + 2 5 – 2 6 +…- 2 1000 + 2 1001 (2) Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 3S = 1 + 2 1001 Vậy: S = 1001 1 2 3 + 0,5 1 0,5 2. b Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 10 1 9 1 10 10 10                   − + − + − + − + − + − + − + − + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                   − = − = = Suy ra: 9 10 x = 9 10 hay x = 1 1 1 3. a P(x) + Q(x) = x 5 – 2x -2 + 1 Q(x) = x 5 – 2x -2 + 1 – P(x) = x 5 – 2x -2 + 1 – (x 4 – 3x 2 + 1 2 - x) = x 5 – x 4 + x 2 + x + 1 2 . Vậy: Q(x) = x 5 – x 4 + x 2 + x + 1 2 . 1 1 8 3. b P(x) – R(x) = x 3 R(x) = P(x) – x 3 = (x 4 – 3x 2 + 1 2 - x) – x 3 = x 4 – x 3 – 3x 2 – x + 1 2 Vậy : R(x) = x 4 – x 3 – 3x 2 – x + 1 2 1 1 4 Đặt 2 5 7 x y z = = = k (k ≠ 0) suy ra x = 2k , y = 5k , z = 7k C = 2 x y z x y z − + + − = 2 5 7 4 4 2 10 7 5 5 k k k k k k k k − + = = + − . Vậy C = 4 5 1 1 1 1 5 a) * So sánh NB với NM + MA. Ta có: MA = MB ( do d là đường trung trực của AB) nên: NM + MA = NM + MB = NB. * So sánh NA với NB. Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có: NA< NM + MA = NM + MB = NB Vậy NA< NB. b) Chứng minh: N’B < N’A. (Với K là giao điểm của đường thẳng AN’ và d) Ta có: N’B < N’K + KB = N’K + K A = N’A. Vậy N’B < N’A. c)Theo câu a) và b) khi LA< LB. Điểm L nằm trong P A . 1 1 1 1 §¸p ¸n de 3 Bµi 1(3 ®iÓm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 6 10 2 3 5 8 5 7 8 5 7 ) 1 3 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 4 2 10 8 5 7 8 6 10 8 5 7 a   + − + − − + − +  ÷   = + = + = + =     + − − + + − − +  ÷  ÷     1 ®iÓm 9 b) 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 ( ) 2010 2010 2010 2010 2010 2009 x = 2009 => x + 1 = 2010 f(x)= ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2009 ( ) 2009 2009 2009 0 f x x x x x x x Thay x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x = + + + + + + + + + + + = + + + + + = + = Vậy: f(2009) = 0 1 điểm c) Có a + d = b + c => (a + d) (a + d) = (b + c)( b + c) a(a + d) + d(a + d) = b(b + c) + c (b + c) a 2 + 2ad + d 2 = b 2 + 2bc + c 2 mà a 2 + d 2 = b 2 + c 2 => 2ad = 2bc => ad = bc . Vì (b, d 0) a c b d => = Vậy 4 số a, b, c, d lập đợc thành một tỉ lệ thức. 1 điểm Bài 2 (1,5 điểm) 2 3 4 x A x + = Để A nhận giá trị bằng 0 => 2 3 0 2 3 0 đ / : 4 0 4 4 x A x k x x x + = = + = => => 2x = -3 => x = -1,5 thoả mãn điều kiện => Vậy x = - 1,5 thì biểu thức A nhận giá trị bằng 0 0,75 điểm b) 2 3 11 2 4 (11) 4 4 x A Z x U x x + = = + x - 4 -1 1 - 11 11 x 3 5 -7 15 Các giá trị nguyên của x = 3, 5, -7, 15 để A Z 0,75 điểm Bài 3 (1,5 điểm) Gọi 3 phân số tối giản cần tìm là a, b, c Vì các tử số của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 còn mẫu tỉ lệ với 5; 6; 4 2 3 5 : : 8 :10 : 25 5 6 4 5 86 à a+ b +c =9 8 10 25 9 9 áp dụng tinh chất dãy tỉ số bằng nhau: 86 2 9 8 10 25 8 10 25 43 9 7 2 5 1 ; 2 ; 5 9 9 9 a b c a b c v a b c a b c a b c = = = = => = = = + + = = = = = + + => = = = 0,75 điểm 0,75 điểm Bài 4(3 điểm) Vẽ hình ghi gt, kl 0,25 điểm 10