HSG Toán 7 + Đ/a

Phòng Giáo dục Huyện Vũ th Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 2008 Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1: 5điểm 1.Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể) 9 5 10 9 12 9 1 2009 1 a)2008. 2009. 2 2007 1004 2007 2 9 3 .10 : 5 4 16 b) 4 16 ữ ữ ữ ữ ữ + 2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 chia hết cho 31 Bài 2 (4điểm) 1)Tìm x biết 1 5 : x 1 0,25 3 12 = 2)Tìm ba số x,y,z biết rằng y z 2x 3 5 = = và z x y 20 2 + = Bài 3 (4điểm) Cho hai đa thức : P(x) = x 5 2x 3 + 3x 4 9x 2 + 11x 6 Q(x) = 3x 4 + x 5 2(x 3 + 4) 10x 2 + 9x Đặt H(x) = P(x) - Q(x) 1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm 2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z Bài 4(5điểm) Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho AM = AN ( M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C) 1.Chứng minh rằng : Nếu AB = AC thì BN = CM 2) Cho biết AB > AC: a) chứng minh rằng : BN > CM b) Gọi giao điểm của BN và CM là K, so sánh BK và CK Bài 5 (2điểm) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 4 n 3 + + + + < với n N, n 4 1 Hớng dẫn giải Bài 1: câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ 1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể) 1 2009 1 2008 2008.2009 2009 a)2008. 2009. 2 2.2009 2007 1004 2007 2007 1004 2007 = + ữ ữ (0,5đ) 2008 2009 2.2009 2.2009 2007 2007 = + (0,5đ) 2008 2009 1 2007 2007 2007 = = (0,5đ) ( ) ( ) 10 10 9 5 10 9 9 9 9 10 40 12 9 24 36 3 3 2 9 3 2 .10 : .2 .5 : 5 4 16 5 2 2 b) 4 16 2 2 + ữ ữ ữ ữ = + + (0,5đ) 18 30 24 36 2 2 2 2 + = + (0,5đ) 18 12 24 12 6 2 (1 2 ) 1 1 2 (1 2 ) 2 64 + = = = + (0,5đ) 2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 chia hết cho 31 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 =(1 + 5 + 5 2 ) + (5 3 + 5 4 + 5 5 ) + +( 5 27 + 5 28 + 5 29 ) (0,25đ) = (1 + 5 + 5 2 ) + 5 3 . (1 + 5 + 5 2 ) + + 5 27 . (1 + 5 + 5 2 ) (0,5đ) = 31 + 5 3 .31 + + 5 27 . 31 (0,25đ) = 31.(1 + 5 3 + + 5 27 ) chia hết cho 31 (0,25đ) Vậy 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 chia hết cho 31 (0,25đ) Bài 2 Mỗi câu đúng cho 2 đ Bài 3 Làm đúng mỗi câu cho 2điểm 1.Chứng minh đa thức H(x) không có nghiệm +.Tính đúng H(x) = x 2 + 2x + 2 (1đ) = ( x + 1) 2 + 1 (0,25đ) Do ( ) 2 x 1 0 x+ (0,25đ) ( ) 2 x 1 1 1 0 x+ + > (0,25đ) => H(x) không có nghiệm 2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z H(x) = x 2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2 Giả sử tồn tại x Z để H(x)= 2008 (0,25đ) => x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006 (0,25đ) => x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2 (0,25đ) => x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 không chia hết cho 4 (0,25đ) Mâu thuẫn , vì 2006 không chia hết cho 4 , điều giả sử là sai (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x Z Bài 4 Câu 1 : 1đ: Câu 2 4đ 2 1) ABN ACM(cgc) BN CM = => = V V 2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC Khi đó D nằm giữa B và M. Nối D với N +.c/m: ADN ACM(c.g.c) DN CM= => =V V +.Trong ADCV có ã ã 0 ADN ACM 180+ < => ã 0 ADN 90< Mà ã ã ã 0 BDN NDA 180 BDN 90+ = => > => Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM => BN > CM b) Gọi giao điểm của DN và CM là I. Ta c/m : DNM CMN=V V ã ã INM IMN = Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM => ã ã ã ã ã ã BNM DNM KNM INM KNM KMN KM KN > => > > => > Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK Bài 5 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 4 n 3 + + + + < với n N, n 4 +.Với n = 5 dễ dành tính đợc giá trị biểu thức là 1669 1 2 3600 2 3 < < và BĐT luôn đúng +.Với n > 5 Đặt 2 2 2 2 1 1 1 1 A 2 3 4 n = + + + + và có 2 1 1 k N;k 2 k k(k 1) < 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1669 1 1 1 A ( ) 2 3 4 5 6 n 3600 5.6 6.7 n(n 1) = + + + + + < + + + + 1669 1 1 1 1 A 3600 5 6 n 1 n 1669 1 1 1669 1 2389 2 A ( ) ( ) 3600 5 n 3600 5 3600 3 < + + + < + < + = < 3 A B C M N K I A B C M N D . 31 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 =(1 + 5 + 5 2 ) + (5 3 + 5 4 + 5 5 ) + +( 5 27 + 5 28 + 5 29 ) (0,25đ) = (1 + 5 + 5 2 ) + 5 3 . (1 + 5 + 5 2 ) + + 5 27 . (1 + 5 + 5 2 ) (0,5đ) = 31 + 5 3 .31. 3 4 5 6 n 3600 5.6 6 .7 n(n 1) = + + + + + < + + + + 1669 1 1 1 1 A 3600 5 6 n 1 n 1669 1 1 1669 1 2389 2 A ( ) ( ) 3600 5 n 3600 5 3600 3 < + + + < + < + = < 3 A B C M N K I A B C M N D . + 5 27 . (1 + 5 + 5 2 ) (0,5đ) = 31 + 5 3 .31 + + 5 27 . 31 (0,25đ) = 31.(1 + 5 3 + + 5 27 ) chia hết cho 31 (0,25đ) Vậy 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 29 chia hết cho 31 (0,25đ) Bài 2 Mỗi câu