De thi HSG K12 Nam Dinh 2011

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 3 5 4 x y f x C x + = = − 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ( ) ( ) ( ) lng x f x= 2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm M, sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A; B và đoạn AB ngắn nhất. Câu 2. (5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 2sin 1 1 cos tan 1 cos cos x x x x x − + = + + 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 7 21 log 1 .log 1 log 1 0x x x x x x− − + − + − − ≥ Câu 3. (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2); B(3; 0). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; -3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(1; -1; 2); B(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 5 = 0. Tìm toạ độ điểm ( ) C P∈ sao cho ( ) ABC vuông góc với (P) và tam giác ABC cân tại C. Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a; chiều cao SH = h. 1. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB); (ABCD) theo a và h. 2. Khi a, h thay đổi và hình chóp đều S.ABCD luôn ngoại tiếp mặt cầu cố định có bán kính bằng 1. Tìm a và h để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất. Câu 5. (3 điểm) 1. Tính tích phân 2 1 6 9 4 x x x dx I = − ∫ 2. Chứng minh rằng: 10 11 12 20 21 0 1 2 10 11 11 11 11 11 11 1 1 1 1 1 11 12 13 21 22 0 2 2 2 2 2 C C C C C           − + −×××+ − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           . Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực a; b; c thoả mãn đồng thời các điều kiện: 6 9 a b c a b c ab bc ca ≤ ≤   + + =   + + =  Chứng minh rằng: 0 1 3 4a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Hết . SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 -2011 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1.