Đề thi - đáp án kỳ thi hsg trường 2010-2011

TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - MÔN TOÁN Thời gian - 150 phút Câu 1 ( 7,0 điểm) Giải phương trình : a. 2 1 3 4 6x x x x− + − = − + b. 5sinx os2 2cos 0c x x+ + = Câu 2 (4,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1; 3 2 2 1 Khi 1 ( ) 1 a+3 Khi 1 x x x y f x x x  − + − ≠  = =  −  =  Câu 3 (3,0 điểm) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1x y z+ + = Chứng minh rằng 3 1 1 1 4 x y z x y z + + ≤ + + + Câu 4 ( 6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = a. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt tại D, E, F, H. Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích thiết diện đó lớn nhất. HẾT TRƯỜNG THPT YEN THÀNH 2 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm này gồm có trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm 1a 3,5 Ta có ( ) 2 2 1 3 4 6 1 3 ( 2) 2 1x x x x x x x− + − = − + ⇔ − + − = − + Điều kiện: 1 3x ≤ ≤ Nhận xét: với điều kiện trên ta thấy "VT (1) " = 1 3 [( 1) (3 )].2 2x x x x− + − ≤ − + − ≤ , dấu "=" xẩy ra khi x = 2 " VP (1) " = (x - 2) 2 + 2 ≥ 2, dấu " = " xẩy ra khi x = 2 Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2 1 3 2 2 4 6 2 x x x x x  − + − =  ⇔ =  − + =   Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 1,0 1,5 1,0 1b 3,5 Điều kiện 5sinx + cos2x ≥ 0, khi đó 2 5sinx os2 2cos 0 5sinx os2 2cos cos 0 (*) 5sinx os2 4 os (1) c x x c x x x c x c x + + = ⇔ + = − ≤  ⇔  + =  Giải (1) ta được 5sinx + 1 - 2sin 2 x = 4 - 4sin 2 x <=> 2sin 2 x + 5sinx - 3 = 0 <=> sinx = -3 (L) 2 6 1 5 sinx 2 2 6 x k x k π π π π  = +    ⇔   =  = +    Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy 5 2 6 x k π π = + là họ nghiệm của phương trình 1,5 1,5 0,5 2 4,0 Ta có 3 3 1 1 1 2 1 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 lim ( ) lim lim ] 1 1 1 1 2( 1) 4 lim 3 ( 1)( 2 1 1) ( 1)( ( 2) 2 1) x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x → → → →  − + − − + − − = = +  − − −    − − = + = =   − − +   − − − − +   Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1, thì 1 4 5 lim ( ) (1) 3 3 3 x f x f a a − − = ⇔ = + ⇔ = 1,5 1,5 1,0 3 3,0 Ta có 1 1 1 3 ( ) 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z + + = − + + + + + + + + (1) Áp dụng bđt bunhiacopsky cho các số 1 1 1 ( ; ; ) ( 1; 1; 1) 1 1 1 va x y z x y z + + + + + + ta có 0,5 2 1 1 1 1 1 1 9 ( 1 1 1) ( )( 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ).4 1 1 1 1 1 1 9 ( (2) 1 1 1 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z = + + + + + ≤ + + + + + + + + + + + = + + + + + ⇒ + + ≥ + + + Từ (1) và (2) ta thấy 1 1 1 9 3 3 ( ) 3 1 1 1 1 1 1 4 4 x y z x y z x y z + + = − + + ≤ − = + + + + + + 1,5 0,5 0,5 4 6,0 -Chứng minh được thiết diện DEFH là hình chữ nhật Đặt BH = x, 0 < x < a => HA = a - x và HF = x (Do tam giác HBF vuông cân tai H). Khi đó . . DEFH S DH FH DH x ∆ = = Xét 2 tam giác đồng dạng AHD và ABS có AH DH a x DH DH a x AB SB x x − = ⇔ = ⇔ = − => 2 ( ) 4 DEFH a S a x x ∆ = − ≤ . Dấu "=" xẩy ra khi 2 a x = . Vậy diện tích của thiết diện DEFH lớn nhất khi D là trung điểm của SA 1đ 2.0 2.0 1,0 S C B A E F D H . mặt phẳng (P) sao cho diện tích thi t diện đó lớn nhất. HẾT TRƯỜNG THPT YEN THÀNH 2 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 201 0-2 011 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm này gồm có trang) Câu. TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - MÔN TOÁN Thời gian - 150 phút Câu 1 ( 7,0 điểm) Giải phương trình : a. 2 1. x + + = ⇔ + = − ≤  ⇔  + =  Giải (1) ta được 5sinx + 1 - 2sin 2 x = 4 - 4sin 2 x <=> 2sin 2 x + 5sinx - 3 = 0 <=> sinx = -3 (L) 2 6 1 5 sinx 2 2 6 x k x k π π π π  = +    ⇔   =  =