Đề thi HSG lớp9 cấp Huyện có Đ.án

Phòng gd&Đt quan sơn đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian: 150 phút Giáo viên ra đề: Hà Văn Phơng - Trờng THCS Na Mèo Đề bài Bài 1( 4đ). Giải các phơng trình. a) 34 1 2 ++ xx + 5 1 6316 1 3512 1 158 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx b) 12611246 =+++++ xxxx Bài 2:(3 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của n ta luôn có: 1 1 1 ( 1) 1 1n n n n n n = + + + + b) Tính tổng 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + Bài 3 :(5 điểm) a) Cho x, y thỏa mãn: 3 2 2 2 2 2 4 3 0 2 0 x y y x x y y + + = + = Tính 2 2 Q x y= + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A u v u v = + + + ữ ữ với u + v = 1 và u > 0; v > 0 Bài 4: (2 điểm) Cho hai số xy sao cho x > y; xy = 1 Chứng minh rằng: A= 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + Bài 5:(6 điểm) Cho hai nửa đờng tròn ( O ) và ( O ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TTcó tiếp điểm với đờng tròn ( O ) ở T với đờng tròn ( O ) ở T, Cắt đờng tròn nối tâm OO ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đờng tròn cắt TT ở M a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đờng tròn ( O )và ( O ). b) Chứng minh: SO.SO = SM 2 ST.ST = SA 2 c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp TAT tiếp xúc với OO tại A và đ- ờng tròn ngoại tiếp OMOtiếp xúc với SM tại M. h ớng dẫn chấm và đáp án Bài 1: 4 điểm ( mỗi câu 2 điểm). a) x 2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x 2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x 2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x 2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) ĐKXĐ : x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 ( 0,5đ) pt 5 1 )9)(7( 1 )7)(5( 1 )5)(3( 1 )3)(1( 1 = ++ + ++ + ++ + ++ xxxxxxxx 5 1 ) 9 1 7 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 1 ( 2 1 = + + + + + + + + + + + xxxxxxxx 5 1 ) 9 1 1 1 ( 2 1 = + + xx 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x 2 + 20x + 18 - 40 = 0 x 2 + 10x - 11 = 0 Phơng trình có dạng a + b + c = 0 x 1 = 1; x 2 = -11. (1,0đ) x 1 ; x 2 thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { } 1;11 ( 0,5đ) b) ĐKXĐ: x -2. ( 0,5 điểm) Pt 1)32()22( 22 =+++ xx | |22 +x + | 2+x -3| = 1 | |22 +x + | 3 - 2+x | = 1 áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | |22 +x + | 3 - 2+x | 1 ( 0,5đ) Dấu "=" xảy ra khi : ( 22 +x )( 3 - 2+x ) 0 ( 0,5đ) 2 2+x 3 2 x 7 Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { } 72/ xx ( 0,5đ) Bài 2: a) Ta có: ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n + + = + + + + + + + + 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + = = = + + + + (2,0 đ) b) áp dụng đẳng thức ở câu a lần lợt với n = 1, 2, 3, , 99 Ta có: 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 S = + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 99 99 100 + + + 1 9 1 10 100 = = (1,0 đ) Bài 3: a) (2 điểm) Ta có 3 2 3 2 2 4 3 0 1 2( 1) 1x y y x y+ + = = Suy ra 1x (1) ( 0,5đ) Từ 2 2 2 2 0x x y y+ = có 2 2 2 1 1 y x y = + 2 1 1 1x hay x (2) ( 0,5đ) Từ (1) và (2) suy ra x = -1, do đó y = 1 ( 0,5đ) Vậy 2 2 2Q x y= + = ( 0,5đ) b) (3 điểm) Ta có 2 2 1 1 A u v u v = + + + ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 ( ) 1 4u v u v u v u v = + + + + = + + + ữ ( 0,5đ) Theo BĐT Bunhiacovski ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (1 1 )( ) 2( )u v u v u v= + + + = + hay 2 2 1 2 u v+ ( 1,0đ) Mặt khác: 2 ( ) 4u v uv+ nên 2 2 1 1 4 16 uv u v ( 0,5đ) Do vậy 1 25 (1 16) 4 2 2 A + + = Dấu đẳng thức sảy ra khi 1 2 u v= = ( 0,5đ) Vậy min 25 2 A = khi 1 2 u v= = ( 0,5đ) Bài 4: (2 điểm) Đặt x 2 = a ; y 2 = b ; 1;( 0; 0)ab a b = ( 0,5đ) theo bất đẳng thức côsi ta có: a + b 2 2 0ab a b + vì x > y 2 0a b + > ( 0,5đ) Ta có: A 2 2 2 2 ( ) 8 8 16 ( 4) 8 0 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b + + + + = = + + + ( 0,5đ) Vì 2 ( 4) 0; 2 0a b a b+ + > Vậy suy ra điều phải chứng minh (1) 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + (đpcm) ( 0,5đ) Bài 5: (6 điểm ) a) MO, MO lần lợt là tia phân giác của hai góc kề bù: AMT và AMT nên góc OMO=90 o Tam giác OMO vuông ở M có MA OO nên: MA 2 = OA.OA, Suy ra: MA = OA.OA' R.R'= ( 1,0 điểm ) b) Chứng minh: SOM ~ SMO suy ra: 2 SO' SM hay SO.SO '= SM SM SO = ( 1,5 điểm ) SAT~ STA suy ra: 2 ST SA hay ST.ST' = SA SA ST ' = ( 1,5 điểm ) c) MA = MT = MT nên MA là bán kính đờng tròn ngoại tiếp TAT và OO MA tại A. Do đó đờng tròn ngoại tiếp TAT tiếp xúc với OO tại A. ( 1,0 điểm ) Gọi M là trung điểm của OO thì MM // OT SM MM ở M mà MM là bán kính đờng tròn ngoại tiếp OMO. Do đó đờng tròn ngoại tiếp OMO tiếp xúc với SM tại M ( 1,0điểm ) T O A M O S T . Phòng gd&Đt quan sơn đ thi học sinh giỏi cấp huyện Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian: 150 phút Giáo viên ra đ : Hà Văn Phơng - Trờng THCS Na Mèo Đ bài Bài 1( 4đ) . Giải các phơng trình. a). chung ngoài TTcó tiếp điểm với đ ng tròn ( O ) ở T với đ ng tròn ( O ) ở T, Cắt đ ng tròn nối tâm OO ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đ ng tròn cắt TT ở M a) Tính đ dài AM theo các bán kính. = 0 Phơng trình có dạng a + b + c = 0 x 1 = 1; x 2 = -11. (1, 0đ) x 1 ; x 2 thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { } 1;11 ( 0, 5đ) b) ĐKXĐ: x -2. ( 0,5 điểm) Pt 1)32()22( 22 =+++