CƠ HỌC VẬT RẮN HAY

Nguyn Anh Vn - 1 - CHUYÊN : NH LÝ BIN THIÊN MOMEN NG LNG 1. MOMEN NG LNG: a). Momen lng ng i vi tâm O ca mt cht m có khi lng m chuyn ng vi vn tc v  c xác nh bng biu thc: vmrL     Trong ó r  là bán kính vect ca cht m i vi tâm O. b). Momen ng lng ca mt vt rn i vi mt trc quay cnh c xác nh ng biu thc:    IL  2. NH LÝ BIN THIÊN MOMEN NG LNG: o hàm theo thi gian momen ng lng ca hi vi mt trc cnh bng tng các momen ngoi lc tác dng lên c hi vi trc ó. M dt Ld    Phng trình vi phân chuyn ng ca vt rn quanh mt trc cnh: MJ     3. BÀI TP: Câu 1: Hai vt nng P 1 và P 2 c buc vào hai dây qun vào hai tang ca mt ti bán kính là r và R.  nâng vt nng P 1 lên ngi ta tác dng vào ti mt momen quay M. Tìm gia tc gc ca ti quay, gia tc ca hai vt. Bit trng lng ca ti là Q và bán kính quán tính i vi trc quay là  . Gii: Áp dng nh lý bin thiên momen ng lng i i trc quay i qua tâm O ca ti ta có: MRPrP dt dL  21 Momen ng lng ca c h bng:   22 2 2 1 21 g Q R g P r g P Jv g P Rv g P rLLLL BACBA   Thay vào biu thc  trên ta c: MRPrP dt d g QRPrP   21 22 2 2 1      Rara QRPrP grPRPM     21 222 2 22 1 12 ;; )( Câu 2: Mt a tròn ng cht, trng lng là Q, bán kính là R quay c quanh mt trc thng ng AB i qua tâm a và vuông góc vi a. Trên vành a có mt cht m M có trng lng P. a quay quanh trc vi vn tc góc 0  . Ti mt thi m nào ó cht m M chuyn ng theo vành a vi vn tc tng i so vi a là u. Tìm vn tc góc ca a lúc ó. P 2 M P 1 R r Nguyn Anh Vn - 2 - Gii: Vì ngoi lc gm các lc song song hoc ct trc quay nên tng momen các ngoi lc i vi trc quay bng không. Do vy momen ng lng ca hc bo toàn, ta có: 0 LL  Trong ó:   g PQR L 2 2 2 0 0    Gi s thi m ban u cht m nm yên trên a và cùng vi a quay quanh trc vi vn tc góc 0  theo chiu dng và khi cht m chuyn ng i vi a i vn tc tng i u cng theo chiu dng thì a quay quanh trc vi vn tc góc  . Momen ng lng ca c h là:     RRu g P R g Q RRu g P JL   2 2 y cui cùng ta c:   RPQ Pu 2 2 0    a quay quanh trc theo chiu dng hoc âm tùy thuc   RPQ Pu 2 2 0    . Câu 3:a tròn A ng cht có trng lng P và bán kính R có th quay quanh trc thng ng vuông góc và i qua tâm ca a. Ti thi m ban u tâm ca a có viên bi M trng lng Q và a có vn tc góc 0  . Sau ó viên bi M bt u chuyn ng dc theo ng bán kính ca a vi vn tc tng i v r = u không i. Tìm vn c góc ca a ti thi m bt kì, sau khi viên bi ri khi tâm ca nó, và ti thi m khi viên bi chy n mép a. b qua ma sát ti  quay. Gii: Rõ ràng, momen ca các ngoi lc i vi trc quay luôn bng không trong sut quá trình chuyn ng ca h, do ó momen ng lng ca hi vi trc quay c bo toàn. Ti thi m u: 0 2 0 2  g PR JL  i thi m bt k, a A có vn tc góc  , còn viên bi có vn tc tng i v r = u và vn tc theo  rv e  i r là khong cách t viên bi ti tâm a. Momen ng lng a h khi ó bng:                   er v g Q rv g Q rJL     Nhng vn tc tng i nm trên ng thng ct trc quay do ó: 0          r v g Q r  . n tc theo  utrv e  cui cùng ta c:   2 22 22 ut g Q g PR v g Q r g PR L e  Cho L = L 0 ta c phng trình xác nh vn tc góc ca a: 222 0 2 2 tQuPR PR     Nguyn Anh Vn - 3 - i thi m u R t  1 thì viên bi chy n mép a, do ó vn tc góc ca a lúc ó ng: QP P 2 0     . Câu 4: Mt si dây vt qua ròng rc A có th quay quanh trc nm ngang O cnh. i mt u dây có buc vt nng B, còn u kia có ngi C bám vào. Ngi và vt ng có cùng khi lng. Ròng rc có bán kính r khi lng bng 1/4 khi lng ca ngi và c coi nh phân bu trên chu vi ca nó. Ban u hng yên, sau ó ngi C bt u leo dây vi vn tc tng i so vi dây là u. B qua khi lng ca dây và ma sát  ròng rc. Tìm vn tc ca vt B. Gii: Ta nhn thy rng tng momen ca các ngoi lc i vi trc quay bng không do ó momen ng lng ca hc bo toàn. Ban u hng yên nên L 0 = 0. Momen ng lng ca hi vi trc quay ca ròng rc ti thi m bt k bng: rmurmv r v r m rmvrmvrmvJL B B reB             2 4 2  Cho L = L 0 = 0. gii ra ta c: uv B 9 4  Câu 5 : Rôto quay quanh trc thng ng di tác dng ca momen quay M = const và momen cn ti các  quay t l vi vn tc góc ca rô to  aM c  , bit momen quán tính ca rô to i vi trc quay là J và ban u vt ng yên. Tìm vn tc góc a vt ph thuc vào thi gian và giá tr gii hn ca vn tc góc. áp s : a M e a M gh t J a             ,1 Câu 6 : Tang quay B có hai vành bán kính R,r và trng lng P 1 . Vành trong ca tang có qun dây, treo vt nng D trng lng P 2 , khi tang B ang chuyn ng vi vn tc góc 0  thì ngi ta tác dng lc G  vuông góc vi cn hãm O 1 A  cho má hãm E xit vào vành ngoài ca tang B. Cho bit h s ma sát gia má hãm E và vành ca tang B là f, bán kính quán tính ca tang i vi trc quay là  , các kích thc ca cn hãm O 1 A = a, O 1 E = b. B qua kích thc ca má hãm, ma sát ti các  quay, trng lng a dây và ca cn hãm. a. Tìm quy lut chuyn ng ca tang B. b. Tìm thi gian t lúc bt u hãm cho ti khi tang dng li. c. Tìm s vòng quay mà tang quay c trong thi gian hãm ó. Gii : Áp dng nh lý bin thiên ng lng ca hi vi trc quay O ca tang, ta có : . 22 fNRrPRFrP dt dL ms  Momen ng lng ca hi vi trc quay O ti thi m bt kì :   rr g P g P rv g P JL BBDB  2 2 12 0           Xét cân bng ca cn hãm O 1 A  tìm áp lc N, ly phng trình mô men i vi O 1 : Nguyn Anh Vn - 4 - b Ga NGaNb  0 y cui cùng ta c : GR b fa rP g rPP dt d B                   2 2 2 2 1   c khác : dtd BB   y :     . 2 2 2 1 2 const rPPb rbPfaGRg B       Tang chuyn ng chm dn u 0 ,0,0   BB t  : 2 0 0 2 1 tt t BB BB     Thi gian hãm : B BB tt    0 0 0  Góc quay c ca tang trong thi gian hãm : B    2 2 0   vòng quay c ca tang trong thi gian hãm:   2 n Câu 7: Qu cu có khi lng m c gn u A ca thanh AB dài l có th quay quanh trc thng ng vuông góc i AB trong bình cha cht lng vi vn tc góc ban u 0  . Lc cn ca cht lng tác dng lên qu cu t l vi  và có biu thc  amR  trong ó a= const,  là vn tc góc ca thanh AB. B qua khi lng ca thanh AB. a. Tính thi gian  vn tc góc ca thanh AB gim i mt na. b. Tính s vòng quay c ca thanh AB trong thi gian trên. Gii : Ta có phng trình chuyn ng ca vt quanh trc thng ng :   aml dt d ml M dt Ld   2   Thc hin tích phân, s dng u kin u ta c : t l a e   0  Thay 2 0    ta tính c : 2ln a l t  Phng trình trên có thc vit li di dng :               2 2 0 0 2 0 0     n a l d l a d d l ad dt l ad A G B P 2 F ms N E O O 1 R B A Nguyn Anh Vn - 5 - Câu 8 : Hai tr tròn xoay ng cht A và B có trng lng ln lt là P 1 và P 2 và bán kính ln lt là R 1 và R 2 . Qun hai si dây mm vào hai u ca hai khi tr mt cách i xng i vi mt phng trung bình song song vi áy ca hai khi tr. Khi tr A quay quanh mt trc cnh trùng vi ng trc tâm ca các khi tr. Khi tr B ri  do không vn tc u, làm dây qun nh ra và quay khi tr A. B qua ma sát và các lc cn. Xác nh sc cng ca mi dây qun, vn tc góc ca hai khi tr, phng trình chuyn ng ca khi tr B. Gii : Ta có phng trình chuyn ng ca khi tr B : dt dv g P TP c2 2 2  i v c là vn tc khi tâm ca khi tr B: 2211 RRv c   Áp dng nh lý bin thiên momen ng lng i vi các khi tr :          2 2 2 1 1 1 2 2 TR dt d J TR dt d J   Gii các phng trình ã thành lp ta c :   21 21 232 PP PP T   ;   t PPR gP 211 2 1 23 2    ;   t PPR gP 212 1 2 23 2    ;   2 21 21 23 t PP PPg s    Câu 9 : Mt cái a ng cht có bán kính R ang quay quanh tâm O ca nó vi vn c gc  thì c t mt cách thn trng trên mt mt nm ngang. a s quay trên t này trong bao lâu nu h s ma sát bng  . Áp sut ca a trên mt c coi là u. Gii : Xét phn t gii hn bi hai ng tròn bán kính r và r + dr có khi lng : rdr R m m i   2 2  c ma sát tác dng lên phn t này là : rdr R mg gmF ii 2 2    Momen lc ma sát cn tr chuyn ng quay ca phn a này là : drr R mg rFM ii 2 2 2   Momen lc ma sát tác dng lên a : mgRdrr R mg M R   3 22 2 0 2   Phng trình quay ca a : 2 2 1 ; mRJMJ   y : R g 3 4    Thi gian a quay cho n khi dng li : g R t     4 3  B A Nguyn Anh Vn - 6 - Câu 10 : Mt ngi có khi lng m ng  mép mt a tròn ng cht nm ngang có khi lng M, bán kính R. a có th quay t do quanh mt trc thng ng c nh i qua tâm a. Ti thi m nào ó ngi bt u chuyn ng theo mép a, ch chuyn mt góc 1  ri dng li. Trong quá trình chuyn ng vn tc ca ngi i vi a ph thuc thi gian theo quy lut   tv 1 . B qua kích thc ca ngi tìm. a. Góc mà a quay c cho ti khi ngi dng li. b. Momen ca lc i vi trc quay mà ngi ã tác dng lên a trong quá trình chuyn ng. Gii : Lúc u momen ng lng ca h bng không. H bo toàn momen ng lng nên : L = L 1 + L 2 = 0 i a : dt d MR dt d JL   2 1 2 1  i ngi :                dt d dt d mRR dt d RtvmL    1 2 12   dt d m dt d mM dt d mR dt d mR dt d MRL 1 1 222 22 2 1       Tích phân hai v ta c: 1 2 2  m M m   u âm chng ta quay ngc chiu vi chiu i ca ngi. Momen lc ca ngi tác dng lên a bng  bin thiên momen ng lng ca a :  dt d MRM F  2 2 1  c khác ta có : R dt dv m M m dt d m M m dt d 1 2 2 2 2 11       y :  dt dv m M mMR M F 1 2   Câu 11 : Mt thanh ng cht có khi lng 2m, dài l nm trên sàn ngang nhn. Mt viên bi nh khi lng m chuyn ng vi vn tc v  n va chm vuông góc vi thanh ti m A cách khi tâm ca thanh mt n là d. Va chm tuyt i àn hi. a. Xác nh vn tc ln nht và nh nht có th ca khi tâm ca thanh. b. Xác nh d  sau va chm hòn bi ng yên. Gii : Áp dng nh lut bo toàn ng lng và bo toàn c nng cho h ta có :              22 2 222222 12 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 v l vvvmJmvmv vvvvmmvmv GG GG  Bin thiên momen ng lng ca thanh bng momen xung lng mà thanh nhn c : GG v l d dmvJ 2 12 2   Gii các phng trình trên ta c : Nguyn Anh Vn - 7 -               G G G vvv v l n n v v 2 12 123 2 2  vi l d n  Khi tâm có vn tc cc i khi : n = 0 => d = 0 3 ;0; 3 2 max v vvv G     Khi tâm có vn tc cc tiu khi : 2 1  l d n lúc này m A  mép thanh. 3 ; 2 ; 3 min v v l vv v G      sau va chm hòn bi ng yên : 32 12 1 123 2 2 0 2 2 l dn n vv vv G     Khi ó l v 3   . Câu 12 : Ngi ta t lên mt phng nm ngang nhn mt hòn bi nh và mt thanh nh ng cht có  dài và khi lng ln hn khi lng ca hòn bi n ln. Truyn cho hòn bi vn tc v có phng ngang và vuông góc vi thanh, sau ó nó va chm àn i vi mt u thanh. Tìm vn tc ca hòn bi và vn tc góc ca thanh sau va chm. Tính n  sau va chm thì vn tc ca hòn bi s bng không, si chiu ngc li. áp s:     4;0; 4 12 ; 4 2 ; 4 4          nn ln v n v v n vn v G  Câu 13 : t thanh mnh ng cht khi lng M chiu dài L quay t do c quanh trc cnh nm ngang O. Thanh c th nh t v trí nó hp vi phng thng ng góc 0  . Khi quay ti phng thng ng nó va chm àn hi vi qu cu ng cht khi lng m, bán kính R ang nm yên trên mt sàn nm ngang. Hãy xác nh u kin  : a. Ngay sau va chm thanh ng yên, thanh tip tc quay cùng chiu, quay ngc chiu tr li, thanh dao ng u hòa, tính chu k dao ng. b. Qu cu ln không trt ; qu cu ln có trt. Xác nh các chuyn ng này.  s ma sát trt và h s ma sát ln gia qu cu và sàn ln lt là . ,   Gii : Thanh ngay trc va chm :     0 2 2 0 2 cos1 3 3 1 ;cos1 22 1     L g MLJ L MgJ  ngay sau Va chm :            1 0 2 1 2 cos1 2 1 2 1 2 1   JmvL MgLJmv Gii các phng trình ta c : v  G A 0  Nguyn Anh Vn - 8 -     01 0 cos1 3 3 3 3 cos132          L g mM mM mM gLM v a. Chuyn ng ca thanh ngay sau va chm : Thanh ng hn li : mM 30 1   Thanh quay cùng chiu: mM 30 1   Thanh quay ngc chiu: mM 30 1   Thanh dao ng u hòa :   2 1 2 1 cos1 2 1  JMgL    2 0 2 1 cos1 2 1  JMgL      0 2 0 2 2 2 1 0 10cos 3 cos312 cos 3 3 cos1 cos1                 mM mMMm mM mM       Chu k dao ng nh : g L Mgd J T 3 2 22   b. Chuyn ng ca qu cu : * Ln không trt :        mgRFmR Fma ms ms  2 5 2 Vì  Ra  nên ta có : R mgmg R F g R a ms 7 5 7 5 7 5       Thi gian ln cho n lúc dng li và quãng ng i c : a v S a v T 2 ; 2  * Ln có trt :                     R R g R mgmgRmR gamgma      2 5 5 2 2 Sau thi gian t thì qu cu ln không trt : g R v tatvtR            57 2 Câu 14 : a. Mt thanh khi lng M chiu dài l quay c quanh trc O. Thanh c th ra t trng thái nm ngang, khi n v trí thng ng thanh va chm àn hi vào t vt nh khi lng m nm trên mt bàn. Xác nh vn tc ca vt m ngay sau va chm. Nguyn Anh Vn - 9 - b. Xác nh quãng ng S mà vt i c bit h s ma sát gia vt và mt bàn là  . Bit ngay sau va chm thanh ng yên. Gii : a. Vn tc ca vt ngay sau va chm : nh lut bo toàn c nng : l g MlJ l MgJ 3 3 1 22 1 22           c khác :          1 2 1 2 2 1 2 1 2 1   Jmvl MglJmv Gii các phng trình này ta c : m M glM v 3 32   l g mM mM 3 3 3 1     b. Sau va chm thanh dng li nên ta có : 3 2 2 22 3 3 3 1 3 1 m glM v l g MlMlJmvl    nh lý ng nng : 2 2 2 6 2 1 m lM S mvmgSA     Câu 15 : Mt vt có khi lng m 1 c ni vi si dây cun vào trng O, khi lng m 2 , bán kính R. Gn vào O thanh mnh OA, di tác dng ca lc G vuông góc vi thanh ti u A làm cho trng quay và kéo vt M lên. Xác nh chuyn ng ca vt m 1 và sc cng T ca dây treo. Coi trng là khi trng cht. Gii : Áp dng nh lý bin thiên monen ng lng vi trc oz qua O và vuông góc vi mt phng hình v, v là vn tc ca vt m 1 : O O G l s m 1 Nguyn Anh Vn - 10 - M dt Ld    i Rv mm vRmJL 2 2 12 1    gRmGlM 1      12 1 2 2 mmR gRmGl a    Thc hin tích phân hai ln vi u kin u bng không ta c :     2 12 1 2 2 t mmR gRmGl s    Áp dng nh lut II Newton cho chuyn ng ca vt m 1 :     Rmm GlgRmm TamgmT 12 21 11 2 2    Câu 16 : Mt vt rn quay quanh mt trc cnh khi ng t trng thái ng yên, chu tác dng ca momen quay không i M và ca momen cn 2  aM c  , trong ó a là hng s và  là vn tc góc ca vt. Momen quán tính ca vt i vi trc quay là J. Tìm lut bin thiên ca vn tc góc theo thi gian và tìm giá tr gii hn vn tc góc a vt. áp s : a M Ma J e e a M t gh t t          lim ; 2 ; 1 1 ng dn : C xa xa a xa dx       ln 2 1 22 Câu 17 : Mt vt khi lng m trt trên mt phng nghiêng và làm quay mt bánh xe có bán kính R . Momen quán tính ca bánh xe i vi trc quay là J, h s ma sát trt gia vt và mt phng nghiêng là k. Tìm gia tc góc ca bánh xe. áp s :   2 cossin mR J kRmg       Câu 18: Các vt nng A và B c ni vi nhau bng mt si dây không dãn vt qua ròng rc C. Khi vt nng A có trng lng P 1 h xung di, ròng rc C có trng ng P 3 quay xung quanh trc nm ngang cnh ca nó, còn vt nng B có trng ng P 2 c nâng lên theo mt phng nghiêng vi phng ngang mt góc  . Cho bit ròng rc C là a tròn ng cht có bán kính R, có momen cn t lên nó là M C , h  ma sát gia vt B và mt phng nghiêng là f, b qua khi lng ca dây.Xác nh gia tc ca vt A. áp s :               2 1 )cos(sin 3 21 21 P PP R M fPPga C   A B R P [...]... bán kính kh i tr Xác nh t c g c c a kh i tr khi viên bi ã chuy n cm t cao b ng h Gi i : b o toàn momen ng l ng theo ph ng ngang : J m v xy R R Trong ó vxy là v n t c viên bi i v i kh i tr , R 1 tr Thay J MR 2 vào bi u th c trên ta có : v xy 2 M 2m c khác : v z v xy tg R tg 2m b o toàn n ng l 1 J 2 2 1 m v xy 2 1 MR 2 4 2mM cos 2 M 2m M 2m cos R 2 v z2 m trên vành 2m R 2m M R 2m mgh 2 M 2m 2m 2 R2 . lng ca c h bng:   22 2 2 1 21 g Q R g P r g P Jv g P Rv g P rLLLL BACBA   Thay vào biu thc  trên ta c: MRPrP dt d g QRPrP   21 22 2 2 1      Rara QRPrP grPRPM     21 222 2 22 1 12 ;; )( .   aml dt d ml M dt Ld   2   Thc hin tích phân, s dng u kin u ta c : t l a e   0  Thay 2 0    ta tính c : 2ln a l t  Phng trình trên có thc vit li di dng : . Trong ó v xy là vn tc viên bi i vi khi tr,  R là vn tc dài ca m trên vành tr. Thay 2 2 1 MRJ  vào biu thc trên ta có :    R m mM v xy 2 2   c khác :    tgR m mM tgvv xyz 2 2  