Laplace Tranform in Mathematica

Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica 5.1

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 Tác giả: Đào Anh Pha  DẪN NHẬP  PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược ♦ Một số định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace trên hàm bậc thang Heaveside  BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược  ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Giải phương trình vi phân ♦ Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng ♦ Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang  KẾT LUẬN [ 1 ] MỤC LỤC DẪN NHẬP 4 1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 4 1.1.1 Định nghĩa 1 4 1.1.2 Định nghĩa 2 4 1.1.3 Thí dụ 4 1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 5 1.2.1 Định nghĩa 5 1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5 1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính 5 1.3.2 Biến đổi của e -at f(t) 5 1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) 6 1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) 6 1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7 1.3.6 Biến đổi của tích phân 7 1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.1.1Định nghĩa 1 10 1.4.1.2 Định nghĩa 2 10 1.4.1.3 Định nghĩa 3 10 1.4.1.4 Thí dụ 10 1.4.2 Biến đổi Laplace 11 1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside 11 1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside 11 1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside 11 1.4.2.4 Thí dụ 11 1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside 12 2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 13 2.1 MỘT SỐ HÀM CƠN BẢN TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 13 2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 14 2.2.1 Biến đổi Laplace 14 2.2.2 Biến đổi Laplace ngược 14 3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 15 3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 15 [ 2 ] 3.1.1.1 Phương pháp chung 15 3.1.1.2 Module cài đặt 15 3.1.1.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 17 3.1.2 Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 20 3.1.2.1 Phương pháp chung 20 3.1.2.2 Một số thí dụ 21 3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 23 3.2.1 Phương pháp chung 23 3.2.2 Module cài đặt 23 3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 28 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 [ 3 ] D ẪN N HẬP Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình, hệ phương vi phân là một ứng dụng hiệu quả và được rất nhiều người sử dụng. Phương pháp này được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là lĩnh vực vật lý. Bên cạnh việc sử dụng phương pháp này người ta sử dụng thêm các công cụ hỗ trợ cho việc tính toán nhanh chóng và hiệu quả. Ở đây, chúng ta s ử dụng ngôn ngữ lập trình hình thức Mathematica 5.1 để cài đặt các phương pháp nhằm mô tả việc giải phương trình và hệ phương trình vi phân. Đây là một công cụ khá mạnh giúp chúng ta thực hiện nhanh chóng và nhẹ nhàn. Tuy nhiên, việc cài đặt các Module cũng khá phức tạp. Sau đây, chúng ta nghiên cứu cơ sở lý thuyết và cài đặt cho phương pháp này. 1 . PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 1.1.1 Định nghĩa 1 Ta gọi hàm phức tùy ý của biến thực t là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau: )(tf 1) f(t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục trên toàn trục t trừ những điểm gián đoạn loại một mà số điểm hữu hạn trong mỗi khoảng hữu hạn. 2) Tăng không quá nhanh 0 S 0 0, 0, , ( ) . t M StftMe∃> ≥∀ ≤ , S 0 được gọi là mũ tăng của hàm . )(tf 3) =0 khi t<0. )(tf 1.1.2 Định nghĩa 2 Hàm F(p) của biến phức p uiv= + xác định bởi: (1) 0 () () pt Fp e ftdt ∞ − = ∫ được gọi là hàm ảnh của . )(tf Ký hiệu: [ ] () ( )Lft Fp= hoặc )(tf F(p) hay F(p) )(tf 1.1.3 Thí dụ a) Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị [] 0 0 1,0 () 0,0 11 () pt pt t t t Lt edt e pp η η ∞ ∞ −− ≥ ⎧ = ⎨ < ⎩ ==− ∫ = b) Tìm biến đổi Laplace của () at f te= () () 00 0 11 at at pt p a t p a t Le e e dt e dt e pa pa ∞ ∞∞ −−− −− ⎡⎤ == =− = ⎣⎦ − − ∫∫ [ 4 ] 1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.2.1 Định nghĩa Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa [] 1 1 () ( ) ( ) 2 ai pt ai f tLFp eFpd i π +∞ − −∞ == ∫ p (2) Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng p=a, từ đến i i−∞ ∞ Do tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (2) để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t) khi đã có F(p). 1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính Cho hai hàm và g(t) với các hằng số k. F(s) và G(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f(t) và g(t). Ta có: )( tf 1) L[ +g(t)] = F(p) + G(p) )( tf 2) L[k ]= kF(p) )( tf Hai tính chất trên tương đương với: L[af(t)+bg(t)] = aF(p) + bG(p). (3) Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của cosat và sinat. Từ công thức Euler ee cos = , sin 22 iat iat iat iat ee at at i −− +− = Ta có: [] 22 e111 cos 22 iat iat ep LatL pia pia pa − ⎡⎤ ⎡⎤ + ==+= ⎢⎥ ⎢⎥ −+ + ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ [] 22 e111 cos 22 iat iat ea LatL iipiapia pa − ⎡⎤ ⎡⎤ − ==−= ⎢⎥ ⎢⎥ −+ + ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 1.3.2 Biến đổi của e -at f(t) () 00 [ ()] () () ( ) at at pt a p t L eft eftedt fte dtFpa ∞∞ −−− −+ === ∫∫ + (4) Khi hàm f(t) nhân với e -at , biến đổi Laplace tương ứng e -at f(t) có được bằng cách thay F(p) bởi F(a+p). [ 5 ] Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của và cos mt ea − t tsin mt ea − () 2 2 cos ( ) mt pm Le at Fp m p ma − + ⎡⎤ =+= ⎣⎦ ++ () 2 2 sin ( ) mt a Le at Fp m p ma − ⎡⎤ =+= ⎣⎦ ++ 1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) Nếu [() ()] ( ) L ut f t F p = với u(t) là bước nhảy đơn vị thì với mọi T>0 ta có: 0 [()()] ()() pt L ut f t ut f t e dt ττ ττ ∞ − −−= −− ∫ Đổi biến số: x t τ =− () 00 [( ) ( )] () () px p px L ut f t f xe dx e f xe dx ττ ττ ∞∞ −+ − − −−= = ∫∫ (5) [( ) ( )] ( ) p Lut f t e F p τ ττ − −−= Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của 3 () ( 2) t ft e ut − = − 3( 2) 6 6 3( 2) () ( 2) ( 2) tt ft e ut e e ut −−− −−− =−= − Vì 3 1 () 3 t Le ut p − ⎡⎤ = ⎣⎦ + Nên () 2 32 2 36 (2) 3 (2) 3 p t p t e Le ut p e Le ut e p − −− − −− ⎡⎤ −= ⎢⎥ ⎣⎦ + ⎡⎤ −= ⎣⎦ + 1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(p)và G(p) 1 0 () [ ( ) ( )] ( ) ( ) t yt L G pF p g f t d τ ττ − =− ∫ (6) Tích phân trong biểu thức được goik là kết hợp hai hàm f(t) và g(t). Ký hiệu: 0 ()* () ( ) ( ) t gt f t g f t d τ ττ =− ∫ (7) Thí dụ: Tìm kết hợp 2 hàm e -t và e -2t . Sử dụng (7) ta có () 2 2 0 2 0 22 0 * t t tt t t t tt ee ee d eed ee e e τ τ τ τ τ τ −− −− − − t − −− = = ==− ∫ ∫ [ 6 ] 1.3.5 Biến đổi của đạo hàm ♦ Đạo hàm cấp 1 0 () () pt df t d L fte dt dt dt ∞ − = ∫ Lấy tích phân từng phần Đặt: () () pt pt u e du pe dt dv df t v f t −− =⇒=− =⇒= 0 0 () () () ptp df t t L eft pfted dt ∞ ∞ −− =+ ∫ t Vì li nên m ( ) 0 pt t eft − →∞ = () () (0) df t LpFpf dt = −+ (8) ♦ Đạo hàm cấp 2 2 2' 2 () () (0) (0) df t LpFppff dt = −+−+ (9) ♦ Đạo hàm cấp n 1 () ( ) ( 0) . ( 0) n nn n n df t LpFppf f dt − 1− = −+−−+ (10) 1.3.6 Biến đổi của tích phân 000 () [ () ] t pt Lftdt ftdte ∞∞ − ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫ dt Đặt: 0 () () 1 t pt pt uftdtduft dv e dt v e p −− =⇒= =⇒=− ∫ 000 0 1 () () () pt t pt e L f tdt f tdt f te dt pp ∞ − ∞∞ − ⎡⎤ =− + ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫ Khi và 0 pt te − →∞⇒ → 0 0 () 0 t t ftdt = = ∫ nên số hạng thứ nhất của vế phải triệt tiêu. Vậy 0 1 () ( ) t Lftdt Fs p ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ (11) 1.3.7 Biến đổi của tf(t) Lấy đạo hàm hệ thức (1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và tích phân, ta được: 00 () () () pt pt dF p d f t e dt tf t e dt dp dp ∞∞ −− ⎡⎤⎡ ==− ⎣⎦⎣ ∫∫ ⎤ ⎦ [ 7 ] Vậy: () [()] dF p Ltf t dp =− (12) Thí dụ: Tìm biến đổi Laplace của hàm ( ) tu t và costat () 2 1 () () ( ) 11 ft t Fp p d Lt t dp p p η η =⇒ = =− =⎡⎤ ⎣⎦ () ( ) [] () 22 22 2 22 22 cos cos p ft at Fp pa dp pa Lt at dp p a pa =⇒= + ⎡⎤ − =− = ⎢⎥ + ⎣⎦ + BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG STT )( tf )( pF 1 1 0, 1 >p p 2 t 0, 1 2 >p p 3 n t np p n n ,0, ! 1 > + là số tự nhiên 4 at e ap ap > − , 1 5 at e − ap ap −> + , 1 6 at te ap ap > − , )( 1 2 7 at te − ap ap −> + , )( 1 2 8 atn et nap ap n n ,, )( ! 1 > − + là số tự nhiên 9 atn et − nap ap n n ,, )( ! 1 −> + + là số tự nhiên 10 cos at 0, 22 > + p ap p 11 atsin 0, 22 > + p ap a 12 att cos 0, )( 222 22 > + − p ap ap [ 8 ] 13 att sin 0, )( 2 222 > + p ap ap 14 bte at sin ap bas b > +− , )( 22 15 bte at cos ap bas ap > +− − , )( 22 16 atcosh ap ap p > − , 22 17 atsinh ap ap a > − , 22 18 ()df t dt () (0)pF p f + − 19 2 2 ()dft dt 2 ( ) (0) '(0)pF p pf f ++ −− 20 () n n dft dt 11 ( ) (0) . (0) nn n pFp p f f −− ++ −−− 21 0 ()f tdt ∞ ∫ ( ) 1 0 () f Fp pp − + + 22 ()() ft ut τ τ −− () p eFp τ − 23 () () af t bg t + ( ) ( ) aF t bG t + 24 () at eft − ( ) Fp a + 25 () tf t ()dF p dp − [ 9 ] 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 1.4.1 Định nghĩa 1.4.1.1Định nghĩa 1 Hàm bậc thang Heaviside ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 01 00 )( t t tH (13) còn được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị 0 khi đối số (t) âm và nhận giá trị 1 khi đối số (t) dương. Hàm này được sử dụng trong lý thuyết toán học điều khiển hay trong xử lý tín hiệu. 1.4.1.2 Định nghĩa 2 Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < =−= ct ct ctHtH c 1 0 )()( (14) Nếu c>0 (c<0) thì đồ thị của H c sẽ được tịnh tiến qua phải (qua trái) so với đồ thị của H. 1.4.1.3 Định nghĩa 3 Hàm khoảng H ab với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside )()()()()( btHatHtHtHtH baab −−−=−= (15) Thật vậy: 1) t<a thì H a (t) và H b (t) bằng 0 0)( =⇒ tH ab 2) thì H bta <≤ a (t) =1 và H b (t) = 0 1)( =⇒ tH ab 3) thì H tb ≤ a (t) =1 và H b (t) = 1 0)( =⇒ tH ab Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến H a , và hàm khoảng H ab thường được dùng để mô tả hàm liên tục từng khúc. 1.4.1.4 Thí dụ Mô tả hàm: ⎩ ⎨ ⎧ ∞<≤ <≤ = t tt tf 12 102 )( sử dụng hàm bậc thang Heaviside. [ 10 ] [...]... + pL2L p Ta cũng có thể thực hiện từng bước như sau: LaplaceTransform@ t Sin@tD + x, x, pD t Sin@tD 1 + p2 p 1 LaplaceTransformA 2 + p t Sin@tD p 1 1 + 3 p H1 + H− 1 + pL2L p , t, pE 2.2.2 Biến đổi Laplace ngược InverseLaplaceTransform[F, s, p] biến đổi Laplace ngược của hàm f(t=L 1 [F(p)] Thí dụ: InverseLaplaceTransformA 1 2 −t H1 + L 2t InverseLaplaceTransformA 1 3 j −t i j j− 1 + j k j 3tê2 i j... công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng biến đổi Laplace ta được: 3 8.e −4 p 5e −6 p e −6 p + +e L[ f ]( p ) = − p +1 p p p b) Biến đổi Laplace ⎧0 ⎪ f (t ) = ⎨− sin πt ⎪0 ⎩ t . ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤− < = 20 21sin 10 )( t tt t tf π Ta có: [ 11 ] [] )2()2(sin)1()1(sin )2(sin)1(sin )2()1(sin )(.0)(sin)(.0)( 2121 −−+−−= −+−−= −−−−=. 2.2.2 Biến đổi Laplace ngược  InverseLaplaceTransform[F, s, p] biến đổi Laplace ngược của hàm f(t=L - 1 [F(p)]. Thí dụ: InverseLaplaceTransform