Tiểu luận môn biểu diễn tri thức và suy luận LOGIC MỆNH ĐỀ VÀ LOGIC VỊ TỪ

Logic toán học là sự áp dụng của các kỹ thuật trong toán học vào việc biểu diễn và phân tích logic hình thức và do đó logic toán học là công cụ đáp ứng được yêu cầu đặt ra xét trên cả ha

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I : LOGIC 5

1.1 Tổng quan 5

1.2 Logic toán học 5

1.2.1 Khái quát 5

1.2.2 Cấu trúc 5

CHƯƠNG II : LOGIC MỆNH ĐỀ 6

2.1 Mệnh đề 6

2.2 Cú pháp 6

2.3 Ngữ nghĩa 7

2.4 Các luật logic 7

CHƯƠNG III : SUY DẪN TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ 9

3.1 Định nghĩa 9

3.2 Tính toán suy dẫn 9

3.3 Suy diễn tự nhiên 9

3.4 Thuận toán hợp giải 10

3.4.1 Dạng hội chuẩn (Conjunctive Normal Form - CNF) 10

3.4.2 Ý tưởng 10

3.4.3 Thuật toán 10

3.5 Thuật toán Vương Hạo 11

3.5.1 Ý tưởng 11

3.5.2 Thuật toán 11

3.6 Hạn chế của logic mệnh đề 12

4.2.3 Lượng từ 14

CHƯƠNG V : SUY DẪN TRONG LOGIC BẬC NHẤT 15

5.1 Định nghĩa 15

5.2 Hợp giải trên logic bậc nhất với biến 15

5.2.1 Biến đổi về dạng mệnh đề 15

5.2.2 Thuật toán hợp giải 16

CHƯƠNG VI : CHƯƠNG TRÌNH KIỂM TRA VÀ XÂY DỰNG CHUỖI SUY DẪN TỪ THUẬT TOÁN HỢP GIẢI 17

6.1 Mô tả 17

6.1.1 Chương trình 17

6.1.2 Cấu trúc tập tin dữ liệu đầu vào “input.txt” 17

6.1.3 Cấu trúc tập tin dữ liệu đầu ra “output.txt” 17

6.2 Thực thi 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

LỜI MỞ ĐẦU

Tri thức là một khái niệm trừu tượng, mặc dù có nhiều lý thuyết về tri thức nhưng hiện không có một định nghĩa chính thức nào được mọi người chấp nhận Tuy nhiên có thể hiểu tri thức là kết tinh, cô đọng, chắt lọc của thông tin Tri thức được hành thành từ quá trình xử lý thông tin mang lại

Với sự phát triển mạnh mẽ của ngành Công nghệ thông tin, việc xây dựng những hệ thống máy tính thông minh có thể tự xử lý, đưa ra các quyết định phù hợp cho công việc mà con người đang làm nhờ vào việc trang bị các tri thức cho các hệ thống đó Để máy tính có thể sử dụng và xử lý tri thức, chúng ta cần biểu diễn tri thức dưới dạng thuận tiện

Biểu diễn tri thức thực sự đã trở thành một ngành nghiên cứu mang lại rất nhiều lợi ích thực tiễn Nội dung của bài tiểu luận này tập trung vào việc tìm hiểu việc biểu diễn tri thức và suy luận bằng logic mệnh đề và logic vị từ

Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến PGS.TS Đỗ Văn Nhơn đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, giúp em hiểu hơn về các ứng dụng của biểu diễn tri thức và suy luận, từ đó tạo cho em định hướng để thực hiện bài thu hoạch này Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu có hạn nên bài thu hoạch này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp ý của thầy để có thể hoàn thiện bài thu hoạch một cách tốt nhất

CHƯƠNG I : LOGIC 1.1 Tổng quan

Logic là một ngành khoa học về lập luận, chứng minh, suy nghĩ hay suy diễn, phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để từ đó có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý

1.2 Logic toán học

1.2.1 Khái quát

Việc tìm được lời giải của bài toán là hữu ích nhưng trong thực tế, con người đôi khi còn mong muốn nhiều hơn một lời giải mà cần có một sự giải thích cho lời giải Hay nói cách khác máy tính cần có khả năng biểu diễn cho người dùng “hiểu” được các bước hoạt động của mình để đạt được lời giải

Logic toán học là sự áp dụng của các kỹ thuật trong toán học vào việc biểu diễn

và phân tích logic hình thức và do đó logic toán học là công cụ đáp ứng được yêu cầu đặt ra xét trên cả hai phương diện người và máy

+ Thứ nhất logic mô tả quá trình biểu diễn thông tin, suy diễn, lập luận của con người do đó lập luận logic có thể hiểu được bởi con người (và được nhiều người sửdụng trong hoạt động thường ngày)

+ Thứ hai logic có một dạng biểu diễn hình thức (logic toán học) mà máy tính

có thể hiểu và xử lý được

Điều này đã cho mở đường cho logic được ứng dụng rộng rãi trong các lãnh vực của trí tuệ nhân tạo và khoa học máy tính

1.2.2 Cấu trúc

Logic là một ngôn ngữ hình thức, bao gồm một tập cú pháp và ngữ nghĩa Đơn

vị cơ bản trong một ngôn ngữ là câu (tương tự như trong ngôn ngữ tiếng Việt) Cú pháp là các quy tắc để viết một câu hợp lệ trong ngôn ngữ và ngữ nghĩa quy định cách hiểu của những câu hợp lệ trong ngôn ngữ

Logic toán học được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ

CHƯƠNG II : LOGIC MỆNH ĐỀ 2.1 Mệnh đề

Mệnh đề toán học (gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định có giá trị chân lý xác định (đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai)

Ví dụ:

+ “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng

+ “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai + “Bạn có khỏe không ?” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai

2.2 Cú pháp

Logic mệnh đề có cú pháp và ngữ nghĩa rất đơn giản Các câu cơ bản của logic mệnh đề bao gồm câu true, false và các biến mệnh đề, ký hiệu bằng các chữ cái viết hoa, ví dụ: A, B, C, P, Q,… Mỗi biến mệnh đề đại diện cho một sự kiện trong bài toán

Ví dụ: P là “Trời nắng”, Q là “Phơi đồ”

Các câu phức được tạo bằng cách sử dụng các phép nối Có 5 phép nối trong logic với độ ưu tiên từ cao đến thấp như sau:

Ví dụ:

a) P ⇒Q

b) P ∧ ¬R ⇒ true ∧ Q ≡ (P ∧ ¬R) ⇒ (true ∧ Q)

2.3 Ngữ nghĩa

Mỗi câu trong logic mệnh đề có một trong hai nghĩa: đúng/sai (true/false) Câu true luôn luôn đúng và câu false luôn luôn sai Giá trị của các câu phức được tính dựa vào giá trị các câu cơ bản và quy ước của các phép nối và cho bởi bảng chân trị sau:

2.4 Các luật logic

Các luật logic là cơ sở để ta thực hiện các biến đổi trên một biểu thức logic để

có được một biểu thức logic mới tương đương logic với biểu thức logic có trước

a Các luật về phép phủ định

• ¬¬p⇔p (luật phủ định của phủ định)

• ¬ 1 ⇔0

• ¬ 0 ⇔ 1

b Luật giao hoán

• p ∧ q ⇔q ∧p

• p ∨ q ⇔q ∨p

c Luật kết hợp

• p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

• p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

d Luật phân bố

• p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

• p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

e Luật De Morgan

• ¬(p ∧ q) ⇔¬p ∨¬q

• ¬(p ∨ q) ⇔¬p ∧¬q

f Luật về phần tử bù

• p ∨ ¬p ⇔1

• p ∧ ¬p ⇔0

g Luật kéo theo

• p →q ⇔ ¬p ∨q

h Luật tương đương

• p ↔q ⇔ (p →q) ∧ (q →p)

i Các luật đơn giản của phép tuyển

• p ∨ p ⇔p (tính lũy đẳng của phép tuyển)

• p ∨ 1 ⇔1 (luật này còn được gọi là luật thống trị)

• p ∨ 0 ⇔p (luật này còn được gọi là luật trung hòa)

• p ∨ (p ∧ q) ⇔p (luật này còn được gọi là luật hấp thụ)

j Các luật đơn giản của phép hội

• p ∧ p ⇔p (tính lũy đẳng của phép hội)

• p ∧ 1 ⇔p (luật này còn được gọi là luật trung hòa)

• p ∧ 0 ⇔0 (luật này còn được gọi là luật thống trị)

• p ∧ (p ∨ q) ⇔p (luật này còn được gọi là luật hấp thụ) Những luật trên được chọn lựa để làm cơ sở cho chúng ta thực hiện các biến đổi logic, suy luận và chứng minh

CHƯƠNG III : SUY DẪN TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ

3.1 Định nghĩa

Một cơ sở tri thức (KB) suy dẫn (entails) một câu α nếu và chỉ nếu mọi thể hiện làm cho KB đúng cũng làm cho α đúng Ký hiệu: KB╞ α

3.2 Tính toán suy dẫn

Là liệt kê tất cả thể hiện,chọn những thể hiện mà tất cả thành phần của KB là đúng,kiểm tra xem α có đúng trong tất cả các thể hiện này không.Việc liệt kê thực hiện thực hiện với độ phức tạp thời gian lên tới O(2n)

Ta có thể kiểm tra xem một KB có suy dẫn một câu α hay không mà không cần liệt kê tất cả các thể hiện có thể bằng phương pháp chứng minh

3.3 Suy diễn tự nhiên

Các luật suy diễn tự nhiên được sử dụng bao gồm:

Tam đoạn luận

P ⇒Q

P

Q

Tam đoạn luận phủ định

P ⇒Q

¬Q

¬P

Nối VÀ

P Q

P ∧ Q

Bỏ VÀ

P ∧ Q P

Ví dụ:

Cho KB = {P ∧ Q; P ⇒ R; Q ∧ R ⇒S} Hỏi câu S có được suy ra từ KB hay không?

Các bước thực hiện

1 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S} (bỏVÀ)

2 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S; P} (Tam đoạn luận)

3 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S; P; R} (bỏVÀ)

4 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S; P; R; Q} (nối VÀ)

5 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S; P; R; Q; Q ∧R} (Tam đoạn luận)

6 {P ∧Q; P ⇒R; Q ∧R ⇒S; P; R; Q; Q ∧R, S} (đpcm) Suy diễn tự nhiên dùng nhiều luật suy diễn gây nên một hệ số phân nhánh lớn trong việc tìm một chứng minh

3.4 Thuận toán hợp giải

3.4.1 Dạng hội chuẩn (Conjunctive Normal Form - CNF)

- Là tập hợp các câu logic được tạo thành bởi các từ logic (bao gồm ký hiệu mệnh đề hoặc phủ định ký hiệu mệnh đề) và phép hội (phép HAY)

Ví dụ:

+ A ∨ B ∨ ¬C, B ∨ D, ¬A, B ∨ C,… là các dạng hội chuẩn

+ A ∧(B ∨C), ¬(C ∨D), B ⇒C, … không phải là dạng hội chuẩn

- Các bước biến đổi thành dạng hội chuẩn (CNF)

1 Loại bỏ dấu mũi tên (⇒, ⇔) bằng định nghĩa

α ⇔ β ≡(α ⇒ β) ∧(β ⇒ α)

α ⇒ β ≡ ¬α ∨ β

2 Phân phối phủ định

¬¬α ≡ α

¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (De Morgan)

¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (De Morgan)

3 Phân phối ∨ vào ∧ (tách câu):

α ∨(β ∧ γ) ≡(α ∨ β) ∧(α ∨ γ)

3.4.2 Ý tưởng

Phương pháp hợp giải dựa trên chứng minh phản chứng Để chứng minh KB suy dẫn được câu α, ta giả sử α là sai và chứng minh điều này mâu thuẫn với giả thiết Hay nói cách khác ta tìm cách chứng minh mệnh đề (KB ∧ ¬α) là sai Nếu chứng minh được mệnh đề này sai thì bài toán suy dẫn ban đầu là đúng, KB suy dẫn được α, còn ngược lại KB không suy dẫn được α

Việc chứng minh (KB ∧ ¬α) sai là chỉ cần tìm một cặp mệnh đề mâu thuẫn (ví

dụ P và ¬P) trong biểu thức

a Nếu trong KB có chứa hai mệnh đề mâu thuẫn (ví dụ: P và ¬P) thì trả

về true

b Sử dụng một biến mệnh đề để hợp giải:

• Lấy tất cả các câu chứa biến mệnh đề được chọn

• Áp dụng luật hợp giải lên mọi cặp câu chứa khẳng định và phủ định của biến mệnh đề

• Viết các câu kết quả mới và xoá các câu đã sử dụng

c Lặp cho đến khi không còn biến mệnh đề nào có thể hợp giải được

4 Trả về false

3.5 Thuật toán Vương Hạo

3.5.1 Ý tưởng

- Thuật toán Vương Hạo dựa vào một số trường hợp suy dẫn tự nhiên như sau:

A ⇒ A

A ∧ B ⇒A

A ⇒ A ∨ C

A ∧ B ⇒ A ∨ C

- Những câu logic trên luôn đúng nên bài toán suy dẫn được chứng minh khi một mệnh đề (A) vừa xuất hiện ở tiền đề vừa xuất hiện ở kết luận

3.5.2 Thuật toán

1 Đưa bài toán cần chứng minh về dạng chuẩn:

GT1, GT2, , GTn ⇒ KL1, KL2, , KLm Trong đó các GTi và j KL là các câu chỉ gồm các phép ∧ , ∨, ¬ (không chứa phép ⇒ hay ⇔)

Lưu ý: dấu phẩy (,) ở vế trái tương đương với ∧ , ở vế phải tương đương với ∨

2 Lặp

a Nếu tồn tại một câu có phép ¬ ở đầu thì chuyển vế câu và loại bỏ phép

¬

b Thay các dấu ∧ ở vế trái và các dấu ∨ ở vế phải bằng dấu phẩy (,) Khi đó vế trái chỉ còn dấu ∨ và ¬, vế phải chỉ còn dấu ∧ và ¬

c Tách dòng:

• Nếu dòng hiện tại có dạng:

GT1, GT2, , A∨B, …, GTn⇒KL1, KL2, , KLm thì thay bằng hai dòng: GT1, GT2, , A, …, GTn⇒KL1, KL2, , KLm

GT1, GT2, , B, …, GTn⇒KL1, KL2, , KLm

• Nếu dòng hiện hành có dạng:

GT1, GT2, ,GTn⇒KL1, KL2,…, A∧B, ,KLmthì thay bằng hai dòng: GT1, GT2, , GTn⇒KL1, KL2, , A,…, KLm

GT1, GT2, , GTn⇒KL1, KL2, , B,…,KLm

d Một dòng được chứng minh nếu tồn tại một mệnh đề ở cả hai vế

e Một dòng không thể tách cũng không thể chuyển vế dấu ¬ mà không có biến mệnh đề chung ở cả hai vế thì không được chứng minh

3.6 Hạn chế của logic mệnh đề

Logic mệnh đề sử dụng các ký hiệu mệnh đề đại diện cho các sự kiện Các sự kiện được mô tả trong logic mệnh đề là các sự kiện chung nhưng không xác định được

sự kiện đó áp dụng trong trường hợp nào

Ví dụ:

Ta có mệnh đề P đại diện cho sự kiện “Trời mưa” Nếu muốn mô tả hai sự kiện

“Hôm nay trời mưa” và “Hôm qua trời mưa”, ta không thể tái sử dụng được mệnh đề

P mà phải định nghĩa các mệnh đề mới P’, P”…

Điều này làm cho việc áp dụng các luật suy dẫn, ví dụ P ⇒ Q, không thể thực hiện được trên các sự kiện mới dù việc suy diễn là tương tự nhau

Logic vị từ sẽ bổ sung những thiếu sót của logic mệnh đề

CHƯƠNG IV : LOGIC VỊ TỪ 4.1 Khái niệm

Logic vị từ bổ sung các thành phần đối tượng giúp mở rộng khả năng biểu diễn của các sự kiện Trong logic vị từ, ta có thể biểu diễn các thông tin như “Hôm nay trời mưa”, “Hôm qua trời mưa”, hay “Hôm kia trời mưa”… chỉ với một sự kiện chung là P: trời mưa Điều này cho phép chỉ cần viết một luật suy dẫn chung cho sự kiện nhưng

có thể áp dụng cho nhiều đối tượng khác nhau

Ta sẽ đi vào tìm hiểu Logic vị từ bậc nhất

4.2 Cú pháp logic vị từ bậc nhất

4.2.1 Biểu thức

Biểu thức là thành phần dùng để biểu diễn một đối tượng Có ba loại biểu thức:

1 Hằng: biểu diễn một đối tượng đã xác định Ký hiệu: viết hoa biểu thức

Ví dụ: Lan, CNTT, A, M,…

2 Biến: biểu diễn một đối tượng chưa biết Ký hiệu: viết thường biểu thức

Ví dụ: x, y, z…

3 Hàm: biểu diễn đối tượng thông qua một đối tượng khác Cú pháp: tên_hàm (các_đối _tượng)

Ví dụ: bạn_của(Lan), anh_của(Tuấn), f(x),…

4.2.2 Câu trong logic bậc nhất

Logic bậc nhất bao gồm các loại câu sau:

1 Câu cơ bản trong logic bậc nhất biểu diễn dưới dạng Vị_từ (Danh_sách_biểu_thức)

Ví dụ: Thuộc (Lan, CNTT), Trời_mưa (Hôm_nay), Là_bạn_bè (anh_của(Tuấn), Hùng)…

2 Câu đồng nhất giữa 2 biểu thức, t1 = t2

Ví dụ: x = Lan, y = bạn(Hùng),…

3 Các câu phức được tạo thành bởi các phép nối tương tự logic mệnh đề: ¬ (phủ định), ∧ (và), ∨ (hay), ⇒ (suy ra), ⇔ (tương đương)

Ví dụ: Trời_mưa (x) ⇒ Đường_ướt (x),

4 Các ký hiệu lượng từ ∃, ∀.

4.2.3 Lượng từ

Logic bậc nhất bổ sung các ký hiệu lượng từ để biểu diễn phạm vi của câu lên các đối tượng

- Lượng từ với mọi ∀ biểu diễn những sự kiện đúng mọi đối tượng

- Lượng từ tồn tại ∃ biểu diễn những sự kiện đúng với một đối tượng

Ví dụ:

Giả sử có hai vị từ Sinh_viên và Thông_minh

Cho câu “Mọi sinh viên CNTT đều thông minh” Câu logic tương ứng là: ∀x Sinh_viên(x) ⇒ Thông_minh(x)

Với câu phát biểu “Có một sinh viên CNTT thông minh”, câu logic tương ứng là: ∃x Sinh_viên(x) ∧ Thông_minh(x)

CHƯƠNG V : SUY DẪN TRONG LOGIC BẬC NHẤT

5.1 Định nghĩa

Cho KB (Knowledge Base - cơ sở tri thức) là một tập các câu logic Câu α được gọi là suy dẫn được từ KB khi các câu trong KB có chân trị đúng thì α cũng đúng

Để chứng minh bài toán suy dẫn trong logic bậc nhất, ta áp dụng phương pháp hợp giải tương tự như trong logic mệnh đề nhưng ta sẽ bổ sung thêm một số xử lý đối với biểu thức tham số (các biến)

5.2 Hợp giải trên logic bậc nhất với biến

5.2.1 Biến đổi về dạng mệnh đề

Dạng mệnh đề trong logic bậc nhất:

+ Có cấu trúc ngoài tương tự hội chuẩn (CNF)

+ Không có lượng từ

Sử dụng các quy tắc tương tự của để biến đổi cấu trúc bên ngoài của câu về dạng hội chuẩn,

¬∀x α ≡ ∃x ¬α

¬∃x α ≡ ∀x ¬α

 Bỏ lượng từ bằng quy tắc Skolem hoá:

+ Đối với lượng từ tồn tại: Thay tên mới cho tất cả lượng từ tồn tại

∃x P(x) ⇒ P(Lan)

∃x,y.R(x,y) ⇒ R(Thing1, Thing2)

∃x P(x) ∧ Q(x) ⇒ P(Fleep) ∧ Q(Fleep)

∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) ⇒ P(Frog) ∧ Q(Grog)

∃y, ∀x Loves(x,y) ⇒ ∀x.Loves(x, Englebert) Nếu lượng từ tồn tại nằm trong lượng từ với mọi: bỏ lượng từ

∀x ∃y Loves(x,y) ⇒ ∀x.Loves(x, y) + Đối với lượng từ với mọi: bỏ lượng từ

∀x ∃y Loves(x,y) ⇒ Loves(x, y)

5.2.2 Thuật toán hợp giải

• Biến đổi các câu về dạng mệnh đề

• Sử dụng phép thế ở mỗi bước hợp giải nếu cần Đối với các câu logic bậc nhất, dù cấu trúc ngoài giống nhau nhưng nếu tham số bên trong khác nhau, phép hợp giải vẫn chưa thực hiện được

Ví dụ: các câu ¬P(x) ∨ Q(x) và P(A) Trong trường hợp đó, ta cần tìm một phép thế giá trị vào các biến sao cho tham số bên trong giống nhau hoàn toàn

để thực hiện phép hợp giải

{¬P(x) ∨Q(x), P(A)}

• Nếu mỗi bước hợp giải có nhiều hơn 1 phép thế có thể, viết các dòng kết quả tương ứng với những cách thế khác nhau