ĐỀ THI&ĐÁP AN MÔN TOÁN KHỐI D- 2010

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn : TOÁN - Khối : D PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 42 6yxx=− − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 yx=− Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 cos 2 3sin cos 1 0xxxx−+−−= 2. Giải phương trình 33 22 22 44 4242( xx x x x x x ++ ++ +− += + ∈\) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1 3 2ln e I xx x ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4 A C AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 421 31yxx xx0 = −+ + −−+ + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn 2z = và z 2 là số thuần ảo. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ 1 : 3 x t yt zt = + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ và Δ 2 : 21 212 x yz−− == . Xác định toạ độ điểm M thuộc Δ 1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ 2 bằng 1. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 420 (, ) 2log ( 2) log 0 xxy xy xy ⎧ −++= ⎪ ∈ ⎨ −− = ⎪ ⎩ \ tuoitre.vn BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: 42 6( )yxx C=− − + 1/ Khảo sát, vẽ (C) TXĐ : D = R; 32 '4 2;'0 2(2 1)0 0;yxxy xx xy=− − = ⇔− + = ⇒ = =6 ∞ hàm số lồi trên R 2 "12 20yx=− − < ⇒ lim lim xx yy →+∞ →−∞ ==− x -∞ 0 +∞ y' + 0 − y 6 -∞ -∞ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0), nghịch biến trên khoảng (0;+∞) y đạt cực đại t ại x = 0, y CĐ = 6. (C) ∩ Ox : A (2;0± ) . 2/ Tiếp tuy ến Δ vuông góc d : 1 1 6 yx=− Pt (Δ) : y = − 6x + b ⇒ Δ tiếp xúc (C) ⇔ hệ sau có nghiệm : 42 3 66 1 10 42 6 xx xb x b xx ⎧ − −+=−+ = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ = −−=− ⎪ ⎩ ⎩ Vậ y Δ : y = − 6x + 10 Câu II: 1/ Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 1 0xxxx−+−−= 2 2 2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0 cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0 cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0 (2sin 1)(cos sin 2) 0 xx x x x xxx xx x x xxx ⇔−++−− ⇔−++−= ⇔−+−+= ⇔−++= = 1 2 sin 6 2 5 cos sin 2( ) 2( ) 6 xk x xx VN x kkZ π ⎡ =+ π ⎡ ⎢ = ⎢ ⇔⇔ ⎢ ⎢ π ⎢ +=− =+π∈ ⎣ ⎢ ⎣ 2/ 33 22 22 44 42 (*); đk : x ≥ − 2 42 xx x x x x++ ++ +− += + 3 2 2 44 44 4(21)2(21) xx xx++ − − −− −=0 ⇔ 3 44 2 2 (2 1)(4 2 ) 0 xxx−++ − −= • 21 44 440 1 x x x − =⇔ −= ⇔ = • 3 42 2 22 x x++ = 3 22xx⇔= ++4 3 82( 22)xx−= +− ⇔ 2 2( 2) (2)( 24) 22 x xx x x − + −++= + 2 20 2 2 24 22 x x xx x •−=⇒= •++= + + VT = 22 24(1)3xx x++=++≥3 VP = 2 1 22x ≤ ⇒ ++ Phương trình vô nghiệm. Vậy : Nghiệm (*) : x = 1; x = 2. tuoitre.vn Câu III : 12 111 31 2ln2ln3ln. eee II I x xdx x xdx x dx x x ⎛⎞ =− = − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫∫    1 1 ln e I xxdx= ∫ ; Đặt ln dx uxdu x =⇒= ; 2 2 x dv xdx v=⇒= 222 1 1 11 11 ln 22222 ee e xex Ixxdx ⎛⎞ ⎛⎞ 2 1 4 e + =−=−= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫ Tính I 2 : Đặt t = lnx ⇒ dx dt x = x = 1 ; t = 0; x = e ; t = 1. 1 1 2 2 0 0 1 22 t Itdt ⎛⎞ == = ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ . Vậy 2 2 2 e I − = Câu IV: Ta có 2 2 21 44 aa SH a ⎛⎞ =− = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 4 2 22 14 3 2 32 2 16 4 16 aa a SC a ⎛⎞ =+ = = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ = AC Vậy ΔSCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống ΔSAC chính là trung điểm của SA. Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = 1 2 SH Ta có 3 2 1 1 14 14 (.V ) . 32 4 24 aa S ABC a ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ Nên V( MABC) = V(MSBC) = 1 2 V(SABC) = 3 14 48 a Câu V: 2 2 34 (2)25 24 yx x ⎛⎞ =−− + −− − + ⎜⎟ ⎝⎠ 9 ; đk : 2 2 4210 3 7 25 25 3100 xx x x x xx ⎧ −+ + ≥ −≤≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⇔− ≤ ≤ ⎨⎨ −≤ ≤ −+ +≥ ⎪ ⎩ ⎩ 222 33 2 2( 2) 2 22 ' 2 ( 2) 25 ( 2) 25 349 349 2 24 24 xx xx y xx xx ⎛⎞ ⎛⎞ −− − ⎜⎟ ⎜⎟ −− − ⎝⎠ ⎝⎠ =− = − −− + −− + ⎛⎞ ⎛⎞ −− + −− + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 2 2 2 33 '0 ( 2) 25( 2) 22 yxx xx ⎛⎞ ⎛⎞ =⇔ − −− + = − − − + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ 49 4 22 22 3 (2)0 2 33 (2)25(2) 22 xx xx xx ⎧ ⎛⎞ −−≥ ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎪ ⇔ ⎨ 49 4 ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ ⎡⎤ −−−+=−−−+ ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎣⎦ ⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ tuoitre.vn 2 2 3 2 2 3 10 7( 2) 2 349 25 ( 2) 24 3 10 7( 2) 2 xx xx xx xx ⎧ ≤∨≥ ⎪ ⎪ ⎡ ⎛⎞ ⎪ −= − ⇔ ⎜⎟ ⎨ ⎢ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎪ ⎢ −= −⇔ ⎜⎟ ⎪ ⎢ ⎝⎠ ⎛⎞ − =− − ⎪ ⎢ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎣ ⎩ 3 2 2 1 () 10 15 7 14 3 1 3 10 15 7 14 17 29 29 () 17 xx x nhan xx x xx x x loai ⎧ ≤∨≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⇔ = ⎨ ⎢ −= − = ⎡⎡ ⎪ ⇔⇔ ⎢ ⎢⎢ ⎪ −=−+ = ⎣⎣ ⎢ = ⎪ ⎢ ⎣ ⎩ x −2 1/3 5 y' − 0 + y y( 1 / 3 ) min 1 2; 2 3 yy ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ Cách khác : có thể không cần bảng biến thiên, chỉ cần so sánh y(-2), y(1/3) và y(5). PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1/ * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H' ⇒ BC đi qua trung điểm HH'. Phương trình AH : x = 3 Đường tròn (C) có pt : 22 (2) 7xy++=4 4 H' là giao điểm của AH và đường tròn (C) ⇒ H' (3; 7) Đường thẳng BC có ph ương trình : y = 3 cắt đường trò n (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm phương trình : 22 (2)37x + += ⇒ 65 2x =− (lấy hoành độ dương); y = 3. Vậy C ( 65 2− ; 3) * C2: Gọi (C) là đường tròn tâm I( −2;0), bán kính R = 74IA = Pt đường trò n (C) : (2 22 ) 74xy + += Gọ i AA 1 là đường kính ⇒ BHCA 1 là hình bình hành ⇒ HA 1 qua M trung điểm BC Ta có IM là đường trung bình của ΔA 1 AH Nên : 2 1 (2;3) 3 2 M M x IM =⇔ J AH M y =− ⎧ ⇔− ⎨ = ⎩ JJG JJJG Pt BC qua M và vuông góc AH : y − 3 = 0 tuoitre.vn Toạ độ C thoả hệ phương trình : 22 (2) 74 26 30 3 0 xy x y y x ⎧ ++= ⎧ =− + ⎪ ⎪ −= ⇔ ⎨⎨ = ⎪ ⎩ ⎪ > ⎩ 5 . Vậ y C ( 65 2− ; 3) 2/ PVT ; PV T ; PVT (1;1;1) P n = JJG (1; 1;1) Q m =− JJJG (2;0; 2) 2(1;0; 1) R knm = ∧= −= − J JGGJG Phương trình (R) có dạng : x − z + D = 0. Ta có : d (0;(R)) = 2 22 2 D D⇔=⇔=±2 Phương trình (R) : 22 0 22 0x z hay x z−+ = −− = Câu VII.a: Đặt 222 2z a bi z a b abi=+ ⇒ = − + Ta có hệ phương trình . Vậy : 22 2 22 2 01 21 ab a ab b ⎧⎧ −= = ⎪⎪ ⇒ ⎨⎨ += = ⎪⎪ ⎩⎩ 12 34 1,1 1, 1 ziz ziz i i = +=− = −+ =−− B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1/ * C1 : ọi H(xG 00 00 (; 2), (; ) 0 ; y 0 ) là hình chiếu của A xuống Δ A Hxy OHxy=− = G G JJJ JJJ Ta có : Do gt : 2 22 000 00 0 2 22 00 00 0 (2)0 20 .0 (, ) 440 (2) xyy xy y AH OH AH d H Ox xy xy y ⎧ +−= ⎧ + −= ⎧ = ⎪⎪ ⎪ ⇒⇔ ⎨⎨ ⎨ = − += ⎪ +−= ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎩ JJJG JJJG 0 2 2 0 00 0 2 2 00 00 0 2 0 15 845 240 15 440 44 15 8450( ) y x yy y xy xy y x loai ⎡ ⎧ =− + ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ⎧ =− + ⎧ +−= =− ± ⎪ ⎪⎪⎩ ⇒⇔⇒ ⎢ ⎨⎨ −+= ⎧ =− ⎢ ⎪ =− − ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎢ ⎨ =− − < ⎢ ⎪ ⎩ ⎣ ( ) 0 0 45 8 45 8;1 5 15 x H y ⎧ =± − ⎪ ⇔⇒±− ⎨ =− + ⎪ ⎩ −+ . Phương trình Δ : (5 1) 45 8 0xy − ±−= * C2 : • Δ ≡ Oy ⇒ H ≡ A : không thoả AH = d(H, Ox) • Δ ≡ Ox ⇒ H ≡ O : không thoả AH = d(H, Ox) • Pt Δ : y = kx (k ≠ 0) 1 2 AH yx AH qua A k ⊥Δ ⎧ ⇒=− + ⎨ ⎩ Toạ độ H = Δ ∩ AH thoả hệ 2 2 22 2 2 2 22 1 ; 1 11 2 2 1 k x ykx kk k H kk yx k y k k ⎧ = = ⎧ ⎪ ⎛⎞ + ⎪⎪ ⇔⇒ ⎨⎨ ⎜⎟ + + =− + ⎝⎠ ⎪⎪ = ⎩ ⎪ + ⎩ 2 2 22 42 22 2 2 2 22 2 (; ) 2 10 11 1 15 225 2 2 15 0( ) 2 kk k AH d H Ox k k kk k k k k loai ⎛⎞ ⎛⎞ =⇔ +−=⇔−− ⎜⎟ ⎜⎟ ++ + ⎝⎠ ⎝⎠ ⎡ + = ⎢ + ⎢ ⇔⇔=± ⎢ − =< ⎢ ⎣ = tuoitre.vn Vậy Δ : 225 2 y x + =± 2/ M ∈ Δ 1 ⇒ M(3+t; t; t) 2 2 (2;1;0) 1(2 qua A co VTCPa ⎧ ⎪ Δ ⎨ = ⎪ ⎩ JJG ;1;2) − Ta có : ; d(M; Δ(1 ; 1; ) AM t t t=+ − JJJJG 2 [ , ] (2 ; 2; 3)aAM t t⇒=− JJG JJJJG 2 ) = 1 22 22 (2 ) 4 ( 3) 1 414 1(4;1;1 21017321080 4(7;4; tt tM tt tt tM −++− ⇔= ++ =⇒ ⎡ ⇔−+=⇔−+=⇔ ⎢ =⇒ ⎣ ) 4 ) Câu VII.b: 2 2 2 420 2log ( 2) log 0 (2) xxy xy ⎧ −++= ⎪ ⎨ −− = ⎪ ⎩ (1) ; đk: x > 2, y > 0 (2) 22 2 (2) 2 y x xy y x =− ⎡ ⇒− = ⇒ ⎢ =− ⎣ * 2 0( ) 2(1) 4 2 2 0 3 x loai yx x xx x = ⎡ =− ⇒ − +−+= ⎢ = ⎣ * 2 2 42 20 2(1) 1( ) 540 4 xx x yx x loai xx x ⎧ − +−+= ⎪ =− ⇒ = ⎡ ⎨ −+= ⎢ ⎪ = ⎣ ⎩ ⇒ x = 3; y = 1 x = 4; y = − 2 TS. Nguyễn Phú Vinh (Trưởng khoa cơ bản ĐH Công nghiệp TP.HCM) tuoitre.vn . ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn : TOÁN - Khối : D PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0. 4 A C AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 421 31yxx xx0 = −+. tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương