Tiểu luận môn học toán ứng dụng

Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM GIẢNG VIÊN: NGUYỄN VĂN PHÚ NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 7: STT HỌ VÀ TÊN MSSV 1 Nguyễn Duy Cường 410BK023 2 Mai Phạm Hoàn Hảo 410BK076 3 Nguyễn Phước Huy 410BK101 4 Nguyễn Xuân Huy 410BK103 5 Trần Thiên Hương 410BK114 6 Đoàn Nhựt Nam 410BK180 7 Nguyễn Bảo Ngọc 410BK189 8 Nguyễn Quang Thái 410BK272 9 Nguyễn Hoàng Thút 410BK300 10 Trần Tấn Toàn 410BK324 11 Phạm Nguyễn Ái Vi 410BK372 Bộ môn: Toán ứng dụng Lớp: BK10HTĐ Xác suất và thống kê Trang 1 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Mục lục Lời nói đầu……………………………….3 Lý thuyết………………………………… 4 Đề các bài tập………………………… 35 Bài giải các bài tập • Chương 1 41 • Chương 2 46 • Chương 3 51 • Chương 4 56 • Chương 5 57 • Chương 6 58 • Chương 7 61 Xác suất và thống kê Trang 2 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM LỜI NÓI ĐẦU Xác suất – Thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội. Bài tập lớn môn xác suất – thống kê này được biên soạn theo SGK bởi nhóm 7. Mục tiêu của bài tập lớn là giúp chúng em nắm thật chắc về lý thuyết, rèn luyện kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài toán và ôn tập khi thi kết thúc môn học. Gồm 7 chương: Đại lượng về xác suất; Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên; Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên; Các quy luật phân phối; Lý thuyết mẫu; Lý thuyết ước lượng; Kiểm định giả thuyết thống kê.Nhóm chúng em đã thống kê được tất cả 7 chương lý thuyết và một số bài tập mà thầy đã giao. Số bài tập tuy không nhiều nhưng được chọn đầy đủ các dạng. Nhóm chúng em chân thành cám ơn thầy Nguyễn Văn Phú đã tận tình giảng dạy và đóng góp nhiều ý kiến quý báu về bài tập lớn cho nhóm chúng em. Khi làm bài tập lớn này, nhóm chúng em đã chỉnh sữa nhiều lần nhưng chúng em biết rằng khó tránh hết được các thiếu sót. Vì vậy, chúng em rất mong và biết ơn các ý kiến nhận xét, đóng góp của thầy.Chân thành cảm ơn. Nhóm 7 • Nhận xét của GVHD: Xác suất và thống kê Trang 3 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Lý thuyết: Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 1.1Giải tích tổ hợp 1/ Quy tắc cộng Nếu 1 công việc được chia ra k trường hợp, trường hợp 1 có n 1 cách thực hiện xong công việc , trường hợp 2 có n 2 cách thực hiện xong công việc , , trường hợp k có n k cách thực hiện xong công việc và không có bất kỳ cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với cách thực hiện ơ trường hợp khác, thì có n 1 +n 2 + +n k cách thực hiện xong công việc . 2/ Quy tắc nhân Nếu 1 công việc được chia ra k giai đoạn giai đoạn 1 có n 1 cách thực hiện , giai đoạn 2 có n 2 cách thực hiện , , giai đoạn k có n k cách thực hiện thì có n 1 .n 2 n k cách thực hiện xong công việc . 3/ Chỉnh hợp Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. KH: Công thức: = n(n-1) (n-k+1)= 4/ Chỉnh hợp lặp Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. KH Công thức: = n k 5/ Hoán vị Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho. KH: P n Công thức: P n = n! 6/ Tổ hợp Xác suất và thống kê Trang 4 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho. KH: Công thức: = = 7/ Nhị thức Niu-tơn 1.2/ Biến cố và quan hệ giữa các biến cố 1/ Phép thử ngẫu nhiên. Biến cố Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó. Mỗi kết quả của phép thử gọi là một biến cố. 2/ Các loại biến cố • Biến cố trống ( biến cố không thể có ) : là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử thực hiện. KH: • Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi phép thử thực hiện. KH: • Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra tùy thuộc từng phép thử. 3/ Biến cố bằng nhau Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì xảy ra, KH: AB Nếu đồng thời có AB và B thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, KH: A=B. 4/ Các phép thử trên biến cố Cho 2 b/c A và B. Khi đó ta gọi: Tổng của A và B (A cộng B) là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra. KH: A+B Hiệu của A và B( A trừ B) là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra. KH: A- B Tích của A và B(A nhân B) là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thởi xảy ra. KH: A.B Cho 1 b/c A. Khi đó ta gọi đối lập của A là b/c xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra nếu A xảy ra. KH: Xác suất và thống kê Trang 5 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Với A,B,C là các b/c tùy ý ta có 1 b/c sau: • A+B = B+A, A.B = B.A • (A+B)+C=A+(B+C), (A.B).C = A(B.C) • A(B+C)=A.B+A.C, A+(B.C)=(A+B).(A+C) • A-(B+C)=(A-B).(A-C), A-(B.C)=(A-B)+(A-C) • AB thì A+B=B, A.B=A • • A+=, A.= • 5/Nhóm đầy đủ các biến cố: 2 b/c A và B được gọi là xung khắc nếu A.B = Các b/c A 1, A 2 , , A n gọi là đôi một xung khắc nếu 2 b/c khác nhau bất kỳ trong đó đều xung khắc: A i .A j = Các biến cố A 1, A 2 , , A n gọi là 1 nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc, và ít nhất một trong chúng chắc chắn xảy ra: 1.3/ Định nghĩa xác suất 1/ Các định nghĩa xác suất a/ Định nghĩa cổ điển Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng ngang bằng nhau. Ta gọi 1 trường hợp là thuận lợi cho b/c A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra. Giả sử phép thử có n trường hợp đồng khả năng, trong số đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A. Khi đó ta gọi xác suất của b/c A là: P (A) = Xác suất và thống kê Trang 6 A i .A j = A1+A2+ +A n = Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Như vậy, xác suất của biến cố A là tỷ số về khả năng biến cố xuất hiện. b/ Định nghĩa hình học. Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không gian là thể tích của tập đó. Trong mặt phẳng các tập nằm trên một đường có độ đo bằng 0, trong không gian các tập nằm trên một mặt có độ đo bằng 0. Giả sử các trường hợp đồng khả năng đặt tương ứng với các điểm tạo thành một tập có độ đo M, các trường hợp thuận lợi cho b/c A tương ứng với các điểm tạo thành một tập có độ đo m. Khi đó ta gọi xác suất của b/c A là: P(A) = c/ Định nghĩa thống kê. Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau b/c A xuất hiện k lần. Khi đó ta gọi f n (A) = là tần suất xuất hiện biến cố A trong phép thử. Theo định lý Bernoulli, giới hạn này luôn tồn tại. Trong thực tế người ta thường lấy: P(A) (A) Với n khá lớn. d/ Định nghĩa xác suất theo tiên đề ký hiệu là tập hợp các b/c trong một phép thử. Ta gọi xác suất là một quy tắc đặt mỗi A với một số P (A) thỏa mãn các tiên đề: (a) A (b) P() =1 , P()= 0 (c) Với mọi dãy b/c đôi một xung khắc (A n ) Xác suất và thống kê Trang 7 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM = 2/Xác suất của biến cố đối lập Định lý : Với mọi biến cố A ta có : P(=1-P(A) 3/Định lý cộng xác suất Định lý 1 : Nếu A 1 ,A 2 , ,A n là các biến cố đôi một xung khắc thì P(A 1 +A 2 + +A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ) Định lý 2 : Với các biến cố tùy ý A và B ta có : P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B) 2.4/Xác suất có điều kiện 1/Định nghĩa về công thức tính Cho hai biến cố A và B . Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B , ký hiệu là P(A/B). Định lý : P(A/B)= 2/Định lý nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố Định lý 1 : Với các biến cố tùy ý A và B , ta có : P(AB)=P (A)P (B/A)=P (B)P (A/B) Định lý 2 : Nếu A và B độc lập thì P (AB)=P (A)P (B) 3/Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes Cho A 1 , A 2 A n là nhóm đầy đủ các biến cố Định lý: a/ Với mọi biến cố F ta có: Xác suất và thống kê Trang 8 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM P(F) = P(A 1 ).P(F/ A 1 ) + P(A 2 ).P(F/A 2 ) + + P(A n ).P(F/A n ) b/ Với mỗi k ( k= ), ta có P(A k /F) = = 4/Dãy phép thử Bernoulli.Công thức Bernoulli a/Công thức Bernoulli Một dãy n phép thử gọi là một dãy n phép thử Bernoulli nếu: -Các phép thử độc lập với nhau -Trong mỗi phép thử, xác suất của b/c A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p không đổi Xác suất p được gọi là xác suất thành công, số lần A xuất hiện trong n phép thử gọi là số lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli. Ký hiệu: P n (k) = P n (k,p) là xác suất k lần thành công, q = 1-p Định lý: P n (k) =,k= b/ Số có khả năng nhất Trong dãy n phép thử Bernoulli, số m có xác suất P n (m) lớn nhất gọi là số có khả năng nhất Định lý: Số có khả năng nhất bằng (np-q) hoặc (np-q)+1 Xác suất và thống kê Trang 9 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. VECTO NGẪU NHIÊN 2.1/ Đại lượng ngẫu nhiên 1/ Định nghĩa ĐN: Giả sử A 1 , A 2 A n là 1 nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó có 1 quy tắc X đặt mỗi biến cố với A i với một số x i ( i = gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên. ĐLNN còn gọi là biến ngẫu nhiên. 2/ Bản phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Cho X={x 1 ,x 2 , x n } là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Đặt p i =P(X=x i ). Khi đó ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất. Định lý: Bảng phân phối xác suất có các tình chất sau: 0p i 1 = 1 II/ Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất. 1/ Hàm phân phối xác suất Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm: F(x)=P(X<x) Là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. Xác suất và thống kê Trang 10 X P [...]... suất và thống kê Trang 29 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Trong đó: – các dấu hiệu mà X nhận – các dấu hiệu mà Y nhận – số lần X nhận – số lần Y nhận – số lần đồng thời X nhận và Y nhận Hãy kiểm định giả thiết: Với mức ý nghĩa Phương pháp giải Tìm từ bảng phân vị Tính thống kê: Nếu thì chấp nhận Nếu thì bác bỏ Xác suất và thống kê Trang 30 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM... phân vị của X Nếu thì ta ký hiệu là Nếu thì ta ký hiệu là Nếu X thì ta ký hiệu Với b)khoảng ước lượng không đối xứng Ta có: Khoảng ước lượng này không đối xứng ( không nhận là tâm) Trường hợp đặc biệt thì ta nhận được khoảng ước lượng đối xứng: Xác suất và thống kê Trang 28 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM 5 Ước lượng khoảng phương sai: Khoảng ước lượng nghiệm của là: Xét với : ta có... nhận của Z Xác suất tương ứng để Z nhận zk là : P(Z=zk)= b/Trường hợp liên tục Giả sử f(x,y) là hàm mật độ đồng thời của (X,Y) Ta cần tìm hàm mật độ của Z=(X,Y) Xác suất và thống kê Trang 15 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Theo định nghĩa , ta có hàm phân phối của Z: Fz(z)=P(Z . Trần Tấn Toàn 410BK324 11 Phạm Nguyễn Ái Vi 410BK372 Bộ môn: Toán ứng dụng Lớp: BK10HTĐ Xác suất và thống kê Trang 1 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Mục lục Lời nói đầu……………………………….3 Lý. suất và thống kê Trang 2 Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM LỜI NÓI ĐẦU Xác suất – Thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh. 6 A i .A j = A1+A2+ +A n = Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM Như vậy, xác suất của biến cố A là tỷ số về khả năng biến cố xuất hiện. b/ Định nghĩa hình học. Ta gọi độ đo của 1 tập