GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC

CH NG IVƯƠ Đ TH EULER VÀ Đ TH HAMILTONỒ Ị Ồ Ị 4.1. Đ NG ĐI EULER VÀ Đ TH EULER.ƯỜ Ồ Ị Có th coi năm 1736 là năm khai sinh lý thuy t đ th , v i vi c công b l i gi iể ế ồ ị ớ ệ ố ờ ả “bài toán v các c u Konigsberg” c a nhà toán h c l i l c Euler (1707-1783). Thànhề ầ ở ủ ọ ỗ ạ ph Konigsberg thu c Ph (nay g i là Kaliningrad thu c Nga) đ c chia thành b nố ộ ổ ọ ộ ượ ố vùng b ng các nhánh sông Pregel, các vùng này g m hai vùng bên b sông, đ oằ ồ ờ ả Kneiphof và m t mi n n m gi a hai nhánh c a sông Pregel. Vào th k 18, ng i taộ ề ằ ữ ủ ế ỷ ườ xây b y chi c c u n i các vùng này v i nhau.ả ế ầ ố ớ G Dân thành ph t ng th c m c: “Có th nào đi d o qua t t c b y c u, m i c uố ừ ắ ắ ể ạ ấ ả ả ầ ỗ ầ ch m t l n thôi không?”. N u ta coi m i khu v c A, B, C, D nh m t đ nh và m i c uỉ ộ ầ ế ỗ ự ư ộ ỉ ỗ ầ qua l i hai khu v c là m t c nh n i hai đ nh thì ta có s đ c a Konigsberg là m t đaạ ự ộ ạ ố ỉ ơ ồ ủ ộ đ th G nh hình trên.ồ ị ư Bài toán tìm đ ng đi qua t t c các c u, m i c u ch qua m t l n có th đ cườ ấ ả ầ ỗ ầ ỉ ộ ầ ể ượ phát bi u l i b ng mô hình này nh sau: Có t n t i chu trình đ n trong đa đ th Gể ạ ằ ư ồ ạ ơ ồ ị ch a t t c các c nh?ứ ấ ả ạ 4.1.1. Đ nh nghĩa:ị Chu trình (t. . đ ng đi) đ n ch a t t c các c nh (ho c cung)ư ườ ơ ứ ấ ả ạ ặ c a đ th (vô h ng ho c có h ng) G đ c g i là chu trình (t. . đ ng đi) Euler.ủ ồ ị ướ ặ ướ ượ ọ ư ườ M t đ th liên thông (liên thông y u đ i v i đ th có h ng) có ch a m t chu trìnhộ ồ ị ế ố ớ ồ ị ướ ứ ộ (t. . đ ng đi) Euler đ c g i là đ th Euler (t. . n a Euler).ư ườ ượ ọ ồ ị ư ử Thí d 1:ụ Đ th không n a Eulerồ ị ử Đ th n a Eulerồ ị ử 54 AD B C D A C B Đ th Eulerồ ị Đ th Euler Đ th n a Eulerồ ị ồ ị ử Đi u ki n c n và đ đ m t đ th là đ th Euler đ c Euler tìm ra vào nămề ệ ầ ủ ể ộ ồ ị ồ ị ượ 1736 khi ông gi i quy t bài toán hóc búa n i ti ng th i đó v b y cái c u Konigsbergả ế ổ ế ờ ề ả ầ ở và đây là đ nh lý đ u tiên c a lý thuy t đ th .ị ầ ủ ế ồ ị 4.1.2. Đ nh lý:ị Đ th (vô h ng) liên thông G là đ th Euler khi và ch khi m i đ nhồ ị ướ ồ ị ỉ ọ ỉ c a G đ u có b c ch n.ủ ề ậ ẵ Ch ng minh:ứ Đi u ki n c nề ệ ầ : Gi s G là đ th Euler, t c là t n t i chu trình Euler P trong G. Khiả ử ồ ị ứ ồ ạ đó c m i l n chu trình P đi qua m t đ nh nào đó c a G thì b c c a đ nh đó tăng lên 2.ứ ỗ ầ ộ ỉ ủ ậ ủ ỉ M t khác, m i c nh c a đ th xu t hi n trong P đúng m t l n. Do đó m i đ nh c aặ ỗ ạ ủ ồ ị ấ ệ ộ ầ ỗ ỉ ủ đ th đ u có b c ch n.ồ ị ề ậ ẵ 4.1.3. B đ :ổ ề N u b c c a m i đ nh c a đ th G không nh h n 2 thì G ch a chuế ậ ủ ỗ ỉ ủ ồ ị ỏ ơ ứ trình đ n.ơ Ch ng minh:ứ N u G có c nh b i ho c có khuyên thì kh ng đ nh c a b đ là hi nế ạ ộ ặ ẳ ị ủ ổ ề ể nhiên. Vì v y gi s G là m t đ n đ th . G i v là m t đ nh nào đó c a G. Ta s xâyậ ả ử ộ ơ ồ ị ọ ộ ỉ ủ ẽ d ng theo quy n p đ ng điự ạ ườ trong đó v 1 là đ nh k v i v, còn v i i ỉ ề ớ ớ ≥ 1, ch n vọ i+1 là đ nh k v i vỉ ề ớ i và v i+1 ≠ v i - 1 (có th ch n nh v y vì deg(vể ọ ư ậ i ) ≥ 2), v 0 = v. Do t p đ nh c a G là h u h n, nên sau m t sậ ỉ ủ ữ ạ ộ ố h u h n b c ta ph i quay l i m t đ nh đã xu t hi n tr c đó. G i k là s nguyênữ ạ ướ ả ạ ộ ỉ ấ ệ ướ ọ ố d ng đ u tiên đ vươ ầ ể k =v i (0≤ i<k). Khi đó, đ ng đi vườ i , v i+1 , , v k - 1 , v k (= v i ) là m t chuộ trình đ n c n tìm.ơ ầ Đi u ki n đ :ề ệ ủ Quy n p theo s c nh c a G. Do G liên thông và b c c a m i đ nh làạ ố ạ ủ ậ ủ ọ ỉ ch n nên m i đ nh có b c không nh h n 2. T đó theo B đ 4.1.3, G ph i ch a m tẵ ỗ ỉ ậ ỏ ơ ừ ổ ề ả ứ ộ chu trình đ n C. N u C đi qua t t c các c nh c a G thì nó chính là chu trình Euler. Giơ ế ấ ả ạ ủ ả s C không đi qua t t c các c nh c a G. Khi đó lo i b kh i G các c nh thu c C, taử ấ ả ạ ủ ạ ỏ ỏ ạ ộ thu đ c m t đ th m i H (không nh t thi t là liên thông). S c nh trong H nh h nượ ộ ồ ị ớ ấ ế ố ạ ỏ ơ trong G và rõ ràng m i đ nh c a H v n có b c là ch n. Theo gi thi t quy n p, trongỗ ỉ ủ ẫ ậ ẵ ả ế ạ m i thành ph n liên thông c a H đ u tìm đ c chu trình Euler. Do G liên thông nênỗ ầ ủ ề ượ 55 v v 1 v 2 . . . m i thành ph n trong H có ít nh t m t đ nh chung v i chu trình C. Vì v y, ta có th xâyỗ ầ ấ ộ ỉ ớ ậ ể d ng chu trình Euler trong G nh sau:ự ư B t đ u t m t đ nh nào đó c a chu trình C, đi theo các c nh c a C ch ng nào ch aắ ầ ừ ộ ỉ ủ ạ ủ ừ ư g p ph i đ nh không cô l p c a H. N u g p ph i đ nh nh v y thì ta đi theo chu trìnhặ ả ỉ ậ ủ ế ặ ả ỉ ư ậ Euler c a thành ph n liên thông c a H ch a đ nh đó. Sau đó l i ti p t c đi theo c nhủ ầ ủ ứ ỉ ạ ế ụ ạ c a C cho đ n khi g p ph i đ nh không cô l p c a H thì l i theo chu trình Euler c aủ ế ặ ả ỉ ậ ủ ạ ủ thành ph n liên thông t ng ng trong H, Quá trình s k t thúc khi ta tr v đ nhầ ươ ứ ẽ ế ở ề ỉ xu t phát, t c là thu đ c chu trình đi qua m i c nh c a đ th đúng m t l n.ấ ứ ượ ỗ ạ ủ ồ ị ộ ầ 4.1.4. H qu :ệ ả Đ th liên thông G là n a Euler (mà không là Euler) khi và ch khi cóồ ị ử ỉ đúng hai đ nh b c l trong G.ỉ ậ ẻ Ch ng minh:ứ N u G là n a Euler thì t n t i m t đ ng đi Euler trong G t đ nh u đ nế ử ồ ạ ộ ườ ừ ỉ ế đ nh v. G i G’ là đ th thu đ c t G b ng cách thêm vào c nh (u,v). Khi đó G’ là đỉ ọ ồ ị ượ ừ ằ ạ ồ th Euler nên m i đ nh trong G’ đ u có b c ch n (k c u và v). Vì v y u và v là haiị ọ ỉ ề ậ ẵ ể ả ậ đ nh duy nh t trong G có b c l .ỉ ấ ậ ẻ Đ o l i, n u có đúng hai đ nh b c l là u và v thì g i G’ là đ th thu đ c t Gả ạ ế ỉ ậ ẻ ọ ồ ị ượ ừ b ng cách thêm vào c nh (u,v). Khi đó m i đ nh c a G’ đ u có b c ch n hay G’ là đằ ạ ọ ỉ ủ ề ậ ẵ ồ th Euler. B c nh (u,v) đã thêm vào ra kh i chu trình Euler trong G’ ta có đ c đ ngị ỏ ạ ỏ ượ ườ đi Euler t u đ n v trong G hay G là n a Euler.ừ ế ử 4.1.5. Chú ý: Ta có th v ch đ c m t chu trình Euler trong đ th liên thông G cóể ạ ượ ộ ồ ị b c c a m i đ nh là ch n theo thu t toán Fleury sau đây.ậ ủ ọ ỉ ẵ ậ Xu t phát t m t đ nh b t kỳ c a G và tuân theo hai quy t c sau:ấ ừ ộ ỉ ấ ủ ắ 1. M i khi đi qua m t c nh nào thì xoá nó đi; sau đó xoá đ nh cô l p (n u có);ỗ ộ ạ ỉ ậ ế 2. Không bao gi đi qua m t c u, tr phi không còn cách đi nào khác.ờ ộ ầ ừ 56 u s v w t x y z Xu t phát t u, ta có th đi theo c nh (u,v) ho c (u,x), gi s là (u,v) (xoá (u,v)).ấ ừ ể ạ ặ ả ử T v có th đi qua m t trong các c nh (v,w), (v,x), (v,t), gi s (v,w) (xoá (v,w)). Ti pừ ể ộ ạ ả ử ế t c, có th đi theo m t trong các c nh (w,s), (w,y), (w,z), gi s (w,s) (xoá (w,s)). Điụ ể ộ ạ ả ử theo c nh (s,y) (xoá (s,y) và s). Vì (y,x) là c u nên có th đi theo m t trong hai c nhạ ầ ể ộ ạ (y,w), (y,z), gi s (y,w) (xoá (y,w)). Đi theo (w,z) (xoá (w,z) và w) và theo (z,y) (xoáả ử (z,y) và z). Ti p t c đi theo c nh (y,x) (xoá (y,x) và y). Vì (x,u) là c u nên đi theo c nhế ụ ạ ầ ạ (x,v) ho c (x,t), gi s (x,v) (xoá (x,v)). Ti p t c đi theo c nh (v,t) (xoá (v,t) và v), theoặ ả ử ế ụ ạ c nh (t,x) (xoá c nh (t,x) và t), cu i cung đi theo c nh (x,u) (xoá (x,u), x và u).ạ ạ ố ạ 4.1.6. Bài toán ng i phát th Trung Hoa:ườ ư M t nhân viên đi t S B u Đi n, qua m t s đ ng ph đ phát th , r i quayộ ừ ở ư ệ ộ ố ườ ố ể ư ồ v S . Ng i y ph i đi qua các đ ng theo trình t nào đ đ ng đi là ng n nh t?ề ở ườ ấ ả ườ ự ể ườ ắ ấ Bài toán đ c nhà toán h c Trung Hoa Guan nêu lên đ u tiên (1960), vì v yượ ọ ầ ậ th ng đ c g i là “bài toán ng i phát th Trung Hoa”. Ta xét bài toán m t d ngườ ượ ọ ườ ư ở ộ ạ đ n gi n nh sau.ơ ả ư Cho đ th liên thông G. M t chu trình qua m i c nh c a G g i là m t hành trìnhồ ị ộ ọ ạ ủ ọ ộ trong G. Trong các hành trình đó, hãy tìm hành trình ng n nh t, t c là qua ít c nh nh t.ắ ấ ứ ạ ấ Rõ ràng r ng n u G là đ th Euler (m i đ nh đ u có b c ch n) thì chu trìnhằ ế ồ ị ọ ỉ ề ậ ẵ Euler trong G (qua m i c nh c a G đúng m t l n) là hành trình ng n nh t c n tìm.ỗ ạ ủ ộ ầ ắ ấ ầ Ch còn ph i xét tr ng h p G có m t s đ nh b c l (s đ nh b c l là m t sỉ ả ườ ợ ộ ố ỉ ậ ẻ ố ỉ ậ ẻ ộ ố ch n). Khi đó, m i hành trình trong G ph i đi qua ít nh t hai l n m t s c nh nào đó.ẵ ọ ả ấ ầ ộ ố ạ D th y r ng m t hành trình qua m t c nh (u,v) nào đó quá hai l n thì khôngễ ấ ằ ộ ộ ạ ầ ph i là hành trình ng n nh t trong G. Vì v y, ta ch c n xét nh ng hành trình T đi quaả ắ ấ ậ ỉ ầ ữ hai l n m t s c nh nào đó c a G.ầ ộ ố ạ ủ Ta quy c xem m i hành trình T trong G là m t hành trình trong đ th Eulerướ ỗ ộ ồ ị G T , có đ c t G b ng cách v thêm m t c nh song song đ i v i nh ng c nh mà T điượ ừ ằ ẽ ộ ạ ố ớ ữ ạ qua hai l n. Bài toán đ t ra đ c đ a v bài toán sau:ầ ặ ượ ư ề Trong các đ th Euler Gồ ị T , tìm đ th có s c nh ít nh t (khi đó chu trình Eulerồ ị ố ạ ấ trong đ th này là hành trình ng n nh t).ồ ị ắ ấ Đ nh lý (Gooodman và Hedetniemi, 1973)ị . N u G là m t đ th liên thông có qế ộ ồ ị c nh thì hành trình ng n nh t trong G có chi u dàiạ ắ ấ ề q + m(G), trong đó m(G) là s c nh mà hành trình đi qua hai l n và đ c xác đ nh nh sau:ố ạ ầ ượ ị ư G i Vọ 0 (G) là t p h p các đ nh b c l (2k đ nh) c a G. Ta phân 2k ph n t c a Gậ ợ ỉ ậ ẻ ỉ ủ ầ ử ủ thành k c p, m i t p h p k c p g i là m t phân ho ch c p c a Vặ ỗ ậ ợ ặ ọ ộ ạ ặ ủ 0 (G). Ta g i đ dài đ ng đi ng n nh t t u đ n v là kho ng cách d(u,v). Đ i v iọ ộ ườ ắ ấ ừ ế ả ố ớ m i phân ho ch c p Pọ ạ ặ i , ta tính kho ng cách gi a hai đ nh trong t ng c p, r i tính t ngả ữ ỉ ừ ặ ồ ổ d(P i ). S m(G) b ng c c ti u c a các d(Pố ằ ự ể ủ i ): 57 m(G)=min d(P i ). Thí d 2:ụ Gi i bài toán ng i phát th Trung Hoa cho trong đ th sau:ả ườ ư ồ ị G G T T p h p các đ nh b c l Vậ ợ ỉ ậ ẻ O (G)={B, G, H, K} và t p h p các phân ho ch c p làậ ợ ạ ặ P={P 1 , P 2 , P 3 }, trong đó P 1 = {(B, G), (H, K)} → d(P 1 ) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = 5, P 2 = {(B, H), (G, K)} → d(P 2 ) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3, P 3 = {(B, K), (G, H)} → d(P 3 ) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = 5. m(G) = min(d(P 1 ), d(P 2 ), d(P 3 )) = 3. Do đó G T có đ c t G b ng cách thêm vào 3 c nh: (B, I), (I, H), (G, K) và Gượ ừ ằ ạ T là đ th Euler. V y hành trình ng n nh t c n tìm là đi theo chu trình Euler trong Gồ ị ậ ắ ấ ầ T : A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A. 4.1.7. Đ nh lý:ị Đ th có h ng liên thông y u G là đ th Euler khi và ch khi m iồ ị ướ ế ồ ị ỉ ọ đ nh c a G đ u có b c vào b ng b c ra.ỉ ủ ề ậ ằ ậ Ch ng minh:ứ Ch ng minh t ng t nh ch ng minh c a Đ nh lý 4.1.2 và đi u ki nứ ươ ự ư ứ ủ ị ề ệ đ cũng c n có b đ d i đây t ng t nh B đ 4.1.3.ủ ầ ổ ề ướ ươ ự ư ở ổ ề 4.1.8. B đ :ổ ề N u b c vào và b c ra c a m i đ nh c a đ th có h ng G không nhế ậ ậ ủ ỗ ỉ ủ ồ ị ướ ỏ h n 1 thì G ch a chu trình đ n.ơ ứ ơ 4.1.9. H qu :ệ ả Đ th có h ng liên thông y u G là n a Euler (mà không là Euler) khiồ ị ướ ế ử và ch khi t n t i hai đ nh x và y sao cho:ỉ ồ ạ ỉ deg o (x) = deg t (x)+1, deg t (y) = deg o (y)+1, deg t (v) = deg o (v), ∀v∈V, v ≠ x, v ≠ y. Ch ng minh:ứ Ch ng minh t ng t nh H qu 4.1.4.ứ ươ ự ư ở ệ ả 4.2. Đ NG ĐI HAMILTON VÀ Đ TH HAMILTON.ƯỜ Ồ Ị Năm 1857, nhà toán h c ng i Ailen là Hamilton(1805-1865) đ a ra trò ch i “điọ ườ ư ơ vòng quanh th gi i” nh sau.ế ớ ư Cho m t hình th p nh di n đ u (đa di n đ u có 12 m t, 20 đ nh và 30 c nh),ộ ậ ị ệ ề ệ ề ặ ỉ ạ m i đ nh c a hình mang tên m t thành ph n i ti ng, m i c nh c a hình (n i hai đ nh)ỗ ỉ ủ ộ ố ổ ế ỗ ạ ủ ố ỉ là đ ng đi l i gi a hai thành ph t ng ng. Xu t phát t m t thành ph , hãy tìmườ ạ ữ ố ươ ứ ấ ừ ộ ố 58 D C E F B K J A I H G đ ng đi thăm t t c các thành ph khác, m i thành ph ch m t l n, r i tr v chườ ấ ả ố ỗ ố ỉ ộ ầ ồ ở ề ỗ cũ. Tr c Hamilton, có th là t th i Euler, ng i ta đã bi t đ n m t câu đ hócướ ể ừ ờ ườ ế ế ộ ố búa v “đ ng đi c a con mã trên bàn c ”. Trên bàn c , con mã ch có th đi theoề ườ ủ ờ ờ ỉ ể đ ng chéo c a hình ch nh t 2 x 3 ho c 3 x 2 ô vuông. Gi s bàn c có 8 x 8 ôườ ủ ữ ậ ặ ả ử ờ vuông. Hãy tìm đ ng đi c a con mã qua đ c t t c các ô c a bàn c , m i ô ch m tườ ủ ượ ấ ả ủ ờ ỗ ỉ ộ l n r i tr l i ô xu t phát.ầ ồ ở ạ ấ Bài toán này đ c nhi u nhà toán h c chú ý, đ c bi t là Euler, De Moivre,ượ ề ọ ặ ệ Vandermonde, Hi n nay đã có nhi u l i gi i và ph ng pháp gi i cũng có r t nhi u, trong đóệ ề ờ ả ươ ả ấ ề có quy t c: m i l n b trí con mã ta ch n v trí mà t i v trí này s ô ch a dùng t i doắ ỗ ầ ố ọ ị ạ ị ố ư ớ nó kh ng ch là ít nh t.ố ế ấ M t ph ng pháp khác d a trên tính đ i x ng c a hai n a bàn c . Ta tìm hànhộ ươ ự ố ứ ủ ử ờ trình c a con mã trên m t n a bàn c , r i l y đ i x ng cho n a bàn c còn l i, sau đóủ ộ ử ờ ồ ấ ố ứ ử ờ ạ n i hành trình c a hai n a đã tìm l i v i nhau.ố ủ ử ạ ớ Trò ch i và câu đ trên d n t i vi c kh o sát m t l p đ th đ c bi t, đó là đơ ố ẫ ớ ệ ả ộ ớ ồ ị ặ ệ ồ th Hamilton.ị 4.2.1. Đ nh nghĩa:ị Chu trình (t. . đ ng đi) s c p ch a t t c các đ nh c a đ thư ườ ơ ấ ứ ấ ả ỉ ủ ồ ị (vô h ng ho c có h ng) G đ c g i là chu trình (t. . đ ng đi) Hamilton. M t đướ ặ ướ ượ ọ ư ườ ộ ồ th có ch a m t chu trình (t. . đ ng đi) Hamilton đ c g i là đ th Hamilton (t. .ị ứ ộ ư ườ ượ ọ ồ ị ư n a Hamilton).ử Thí d 3:ụ 1) Đ th Hamilton (hình th p nh di n đ u bi u di n trong m t ph ng) v i chuồ ị ậ ị ệ ề ể ẽ ặ ẳ ớ trình Hamilton A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A (đ ng tôườ đ m).ậ 59 C B D A E J L H T K I O P F M G S R N Q 2) Trong m t đ t thi đ u bóng bàn có n (n ộ ợ ấ ≥ 2) đ u th tham gia. M i đ u th g pấ ủ ỗ ấ ủ ặ t ng đ u th khác đúng m t l n. Trong thi đ u bóng bàn ch có kh năng th ng ho cừ ấ ủ ộ ầ ấ ỉ ả ắ ặ thua. Ch ng minh r ng sau đ t thi đ u có th x p t t c các đ u th đ ng thành m tứ ằ ợ ấ ể ế ấ ả ấ ủ ứ ộ hàng d c, đ ng i đ ng sau th ng ng i đ ng ngay tr c anh (ch ) ta.ọ ể ườ ứ ắ ườ ứ ướ ị Xét đ th có h ng G g m n đ nh sao cho m i đ nh ng v i m t đ u th và cóồ ị ướ ồ ỉ ỗ ỉ ứ ớ ộ ấ ủ m t cung n i t đ nh u đ n đ nh v n u đ u th ng v i u th ng đ u th ng v i v.ộ ố ừ ỉ ế ỉ ế ấ ủ ứ ớ ắ ấ ủ ứ ớ Nh v y, đ th G có tính ch t là v i hai đ nh phân bi t b t kỳ u và v, có m t và chư ậ ồ ị ấ ớ ỉ ệ ấ ộ ỉ m t trong hai cung (u,v) ho c (v,u), đ th nh th đ c g i là đ th có h ng đ yộ ặ ồ ị ư ế ượ ọ ồ ị ướ ầ đ . T M nh đ 4.2.2 d i đây, G là m t đ th n a Hamilton. Khi đó đ ng điủ ừ ệ ề ướ ộ ồ ị ử ườ Hamilton trong G cho ta s s p x p c n tìm.ự ắ ế ầ 3) M t l i gi i v hành trình c a con mã trên bàn c 8 x 8:ộ ờ ả ề ủ ờ Đ ng đi Hamilton t ng t đ ng đi Euler trong cách phát bi u: Đ ng điườ ươ ự ườ ể ườ Euler qua m i c nh (cung) c a đ th đúng m t l n, đ ng đi Hamilton qua m i đ nhọ ạ ủ ồ ị ộ ầ ườ ọ ỉ c a đ th đúng m t l n. Tuy nhiên, n u nh bài toán tìm đ ng đi Euler trong m t đủ ồ ị ộ ầ ế ư ườ ộ ồ th đã đ c gi i quy t tr n v n, d u hi u nh n bi t m t đ th Euler là khá đ n gi nị ượ ả ế ọ ẹ ấ ệ ậ ế ộ ồ ị ơ ả và d s d ng, thì các bài toán v tìm đ ng đi Hamilton và xác đ nh đ th Hamiltonễ ử ụ ề ườ ị ồ ị l i khó h n r t nhi u. Đ ng đi Hamilton và đ th Hamilton có nhi u ý nghĩa th cạ ơ ấ ề ườ ồ ị ề ự ti n và đã đ c nghiên c u nhi u, nh ng v n còn nh ng khó khăn l n ch a ai v tễ ượ ứ ề ư ẫ ữ ớ ư ượ qua đ c.ượ Ng i ta ch m i tìm đ c m t vài đi u ki n đ đ nh n bi t m t l p r t nhườ ỉ ớ ượ ộ ề ệ ủ ể ậ ế ộ ớ ấ ỏ các đ th Hamilton và đ th n a Hamilton. Sau đây là m t vài k t qu .ồ ị ồ ị ử ộ ế ả 60 D T 4.2.2. Đ nh lý (Rédei):ị N u G là m t đ th có h ng đ y đ thì G là đ th n aế ộ ồ ị ướ ầ ủ ồ ị ử Hamilton. Ch ng minh:ứ Gi s G=(V,E) là đ th có h ng đ y đ và ả ử ồ ị ướ ầ ủ α=(v 1 ,v 2 , , v k-1 , v k ) là đ ng đi s c p b t kỳ trong đ th G.ườ ơ ấ ấ ồ ị N u ế α đã đi qua t t c các đ nh c a G thì nó là m t đ ng đi Hamilton c a G.ấ ả ỉ ủ ộ ườ ủ N u trong G còn có đ nh n m ngoài ế ỉ ằ α, thì ta có th b sung d n các đ nh này vào ể ổ ầ ỉ α và cu i cùng nh n đ c đ ng đi Hamilton.ố ậ ượ ườ Th t v y, gi s v là đ nh tuỳ ý không n m trên ậ ậ ả ử ỉ ằ α. a) N u có cung n i v v i vế ố ớ 1 thì b sung v vào đ u c a đ ng đi ổ ầ ủ ườ α đ đ c ể ượ α 1 =(v, v 1 , v 2 , , v k-1 , v k ). b) N u t n t i ch s i (1 ế ồ ạ ỉ ố ≤ i ≤ k-1) mà t vừ i có cung n i t i v và t v có cung n i t iố ớ ừ ố ớ v i+1 thì ta chen v vào gi a vữ i và v i+1 đ đ c đ ng đi s c p ể ượ ườ ơ ấ α 2 =(v 1 , v 2 , , v i , v, v i+1 , , v k ). c) N u c hai kh năng trên đ u không x y ra nghĩa là v i m i i (1 ế ả ả ề ả ớ ọ ≤ i ≤ k) v i đ u cóề cung đi t i v. Khi đó b sung v vào cu i c a đ ng đi ớ ổ ố ủ ườ α và đ c đ ng đi ượ ườ α 3 =(v 1 , v 2 , , v k-1 , v k , v). N u đ th G có n đ nh thì sau n-k b sung ta s nh n đ c đ ng đi Hamilton.ế ồ ị ỉ ổ ẽ ậ ượ ườ 4.2.3. Đ nh lý (Dirac, 1952):ị N u G là m t đ n đ th có n đ nh và m i đ nh c a Gế ộ ơ ồ ị ỉ ọ ỉ ủ đ u có b c không nh h n ề ậ ỏ ơ 2 n thì G là m t đ th Hamilton.ộ ồ ị Ch ng minh:ứ Đ nh lý đ c ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi s G không có chuị ượ ứ ằ ả ứ ả ử trình Hamilton. Ta thêm vào G m t s đ nh m i và n i m i đ nh m i này v i m i đ nhộ ố ỉ ớ ố ỗ ỉ ớ ớ ọ ỉ c a G, ta đ c đ th G’. Gi s k (>0) là s t i thi u các đ nh c n thi t đ G’ ch aủ ượ ồ ị ả ử ố ố ể ỉ ầ ế ể ứ m t chu trình Hamilton. Nh v y, G’ có n+k đ nh.ộ ư ậ ỉ G i P là chu trình Hamilton ayb a trong G’, trong đó a và b là các đ nh c a G,ọ ỉ ủ còn y là m t trong các đ nh m i. Khi đó b không k v i a, vì n u trái l i thì ta có th bộ ỉ ớ ề ớ ế ạ ể ỏ đ nh y và đ c chu trình ab a, mâu thu n v i gi thi t v tính ch t nh nh t c a k.ỉ ượ ẩ ớ ả ế ề ấ ỏ ấ ủ Ngoài ra, n u a’ là m t đ nh k nào đó c a a (khác v i y) và b’ là đ nh n i ti pế ộ ỉ ề ủ ớ ỉ ố ế ngay a’ trong chu trình P thì b’ không th là đ nh k v i b, vì n u trái l i thì ta có thể ỉ ề ớ ế ạ ể 61 a b’ a' b y thay P b i chu trình aa’ bb’ a, trong đó không có y, mâu thu n v i gi thi t v tínhở ẩ ớ ả ế ề ch t nh nh t c a k.ấ ỏ ấ ủ Nh v y, v i m i đ nh k v i a, ta có m t đ nh không k v i b, t c là s đ như ậ ớ ỗ ỉ ề ớ ộ ỉ ề ớ ứ ố ỉ không k v i b không th ít h n s đ nh k v i a (s đ nh k v i a không nh h n ề ớ ể ơ ố ỉ ề ớ ố ỉ ề ớ ỏ ơ 2 n +k). M t khác, theo gi thi t s đ nh k v i b cũng không nh h n ặ ả ế ố ỉ ề ớ ỏ ơ 2 n +k. Vì không có đ nh nào v a k v i b l i v a không k v i b, nên s đ nh c a G’ không ít h n 2(ỉ ừ ề ớ ạ ừ ề ớ ố ỉ ủ ơ 2 n +k)=n+2k, mâu thu n v i gi thi t là s đ nh c a G’ b ng n+k (k>0). Đ nh lý đ cẩ ớ ả ế ố ỉ ủ ằ ị ượ ch ng minh.ứ 4.2.4. H qu :ệ ả N u G là đ n đ th có n đ nh và m i đ nh c a G đ u có b c khôngế ơ ồ ị ỉ ọ ỉ ủ ề ậ nh h n ỏ ơ 2 1−n thì G là đ th n a Hamilton.ồ ị ử Ch ng minh:ứ Thêm vào G m t đ nh x và n i x v i m i đ nh c a G thì ta nh n đ cộ ỉ ố ớ ọ ỉ ủ ậ ượ đ n đ th G’ có n+1 đ nh và m i đ nh có b c không nh h n ơ ồ ị ỉ ỗ ỉ ậ ỏ ơ 2 1+n . Do đó theo Đ nh lýị 4.2.3, trong G’ có m t chu trình Hamilton. B x ra kh i chu trình này, ta nh n đ cộ ỏ ỏ ậ ượ đ ng đi Hamilton trong G.ườ 4.2.5. Đ nh lý (Ore, 1960):ị N u G là m t đ n đ th có n đ nh và b t kỳ hai đ nh nàoế ộ ơ ồ ị ỉ ấ ỉ không k nhau cũng có t ng s b c không nh h n n thì G là m t đ th Hamilton.ề ổ ố ậ ỏ ơ ộ ồ ị 4.2.6. Đ nh lý:ị N u G là đ th phân đôi v i hai t p đ nh là Vế ồ ị ớ ậ ỉ 1 , V 2 có s đ nh cùngố ỉ b ng n (n ằ ≥ 2) và b c c a m i đ nh l n h n ậ ủ ỗ ỉ ớ ơ 2 n thì G là m t đ th Hamilton.ộ ồ ị Thí d 4:ụ Đ th G này có 8 đ nh, đ nh nào cũng Đ th G’ này có 5 đ nh b c 4 và 2 đ nh ồ ị ỉ ỉ ồ ị ỉ ậ ỉ có b c 4, nên theo Đ nh lý 4.2.3, G là b c 2 k nhau nên t ng s b c c a haiậ ị ậ ề ổ ố ậ ủ đ nhỉ đ th Hamilton. không k nhau b t kỳ b ng 7 ho c 8, nênồ ị ề ấ ằ ặ theo Đ nh lý 4.2.5, G’ là đ th Hamilton.ị ồ ị 62 e f g h b a c d a e f g b c d a 4.2.7. Bài toán s p x p ch ng i:ắ ế ỗ ồ Có n đ i bi u t n n c đ n d h i ngh qu c t . M i ngày h p m t l n ng iạ ể ừ ướ ế ự ộ ị ố ế ỗ ọ ộ ầ ồ quanh m t bàn tròn. H i ph i b trí bao nhiêu ngày và b trí nh th nào sao cho trongộ ỏ ả ố ố ư ế m i ngày, m i ng i có hai ng i k bên là b n m i. L u ý r ng n ng i đ u mu nỗ ỗ ườ ườ ế ạ ớ ư ằ ườ ề ố làm quen v i nhau.ớ Xét đ th g m n đ nh, m i đ nh ng v i m i ng i d h i ngh , hai đ nh kồ ị ồ ỉ ỗ ỉ ứ ớ ỗ ườ ự ộ ị ỉ ề nhau khi hai đ i bi u t ng ng mu n làm quen v i nhau. Nh v y, ta có đ th đ yạ ể ươ ứ ố ớ ư ậ ồ ị ầ đ Kủ n . Đ th này là Hamilton và rõ ràng m i chu trình Hamilton là m t cách s p x pồ ị ỗ ộ ắ ế nh yêu c u c a bài toán. Bái toán tr thành tìm các chu trình Hamilton phân bi t c aư ầ ủ ở ệ ủ đ th đ y đ Kồ ị ầ ủ n (hai chu trình Hamilton g i là phân bi t n u chúng không có c nhọ ệ ế ạ chung). Đ nh lý:ị Đ th đ y đ Kồ ị ầ ủ n v i n l và n ớ ẻ ≥ 3 có đúng 2 1−n chu trình Hamilton phân bi t.ệ Ch ng minh:ứ K n có 2 )1( −nn c nh và m i chu trình Hamilton có n c nh, nên s chuạ ỗ ạ ố trình Hamilton phân bi t nhi u nh t là ệ ề ấ 2 1−n . Gi s các đ nh c a Kả ử ỉ ủ n là 1, 2, , n. Đ t đ nh 1 t i tâm c a m t đ ng tròn và cácặ ỉ ạ ủ ộ ườ đ nh 2, , n đ t cách đ u nhau trên đ ng tròn (m i cung là 360ỉ ặ ề ườ ỗ 0 /(n-1) sao cho đ nh lỉ ẻ n m n a đ ng tròn trên và đ nh ch n n m n a đ ng tròn d i. Ta có ngay chuằ ở ử ườ ỉ ẵ ằ ở ử ườ ướ trình Hamilton đ u tiên là 1,2, , n,1. Các đ nh đ c gi c đ nh, xoay khung theoầ ỉ ượ ữ ố ị chi u kim đ ng h v i các góc quay:ề ồ ồ ớ 1 360 0 −n , 2. 1 360 0 −n , 3. 1 360 0 −n , , 2 3−n . 1 360 0 −n , 63 a b b d e f Đ th phân đôi này có b c c a m i đ nh b ng 2ồ ị ậ ủ ỗ ỉ ằ ho c 3 (> 3/2), nên theo Đ nh lý 4.2.6, nó là đ thặ ị ồ ị Hamilton. 1 2 3 4 5 n [...]... Hamilton i c 9 Giải bài toán người phát thư Trung Hoa với đồ thị cho trong hình sau: 65 s 10 Chứng minh rằng đồ thị G cho trong d r c hình sau có đường đi Hamilton (từ s đến r) nhưng không có chu trình Hamilton e g b f a h 11 Cho thí dụ về: 1) Đồ thị có một chu trình vừa là chu trình Euler vừa là chu trình Hamilton; 2) Đồ thị có một chu trình Euler và một chu trình Hamilton, nhưng hai chu trình đó không trùng... trị nào của n các đồ thị sau đây có chu trình Euler ? a)  Kn, b) Cn, c) Wn, d) Qn 2 Với giá trị nào của m và n các đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có: a) chu trình Euler ? b) đường đi Euler ? 3 Với giá trị nào của m và n các đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có chu trình Hamilton ? 4 Chứng minh rằng đồ thị lập phương Qn là một đồ thị Hamilton Vẽ cây liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị lập phương Q3...n−3 n −1 khung phân biệt với khung đầu tiên Do đó ta có chu trình 2 2 Hamilton phân biệt Thí dụ 5: Giải bài toán sắp xếp chỗ ngồi với n=11 Có (11− 1)/2=5 cách sắp xếp chỗ ngồi phân biệt như sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 3 5 2 7 4 9 6 11 8 10 1 1 5 7 3 9 2 11 4 10 6 8 1 1 7 9 5 11 3 . n m i, và s p x p nh th nào ?ạ ạ ớ ắ ế ư ế 64 1 2 3 7 5 1 9 8 6 4 1 1 2 3 5 7 9 1 4 6 8 1 1 2 3 5 7 9 1 4 6 1 8 2 1 3 1 9 7 5 4 6 8 1 1 1 2 3 5 7 9 4 6 8 1 6. Hi u tr ng m i 2n (n ệ ưở ờ ≥ 2). phân bi t nh sau:ắ ế ỗ ồ ệ ư 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 3 5 2 7 4 9 6 11 8 10 1 1 5 7 3 9 2 11 4 10 6 8 1 1 7 9 5 11 3 10 2 8 4 6 1 1 9 11 7 10 5 8 3 6 2 4 1 BÀI T P CH NG IV:Ậ ƯƠ 1. V i giá. là m t đ th Hamilton.ộ ồ ị Thí d 4: ụ Đ th G này có 8 đ nh, đ nh nào cũng Đ th G’ này có 5 đ nh b c 4 và 2 đ nh ồ ị ỉ ỉ ồ ị ỉ ậ ỉ có b c 4, nên theo Đ nh lý 4. 2.3, G là b c 2 k nhau nên t ng