Luyện thi DH

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị , ,i j k r ur ur ( ) 1i j k = = = r r ur . B. ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; a a a a a a i a j a k = ⇔ + + uur uur ur ur uur ; M(x;y;z)⇔ OM xi y j zk = + + uur uuuuur ur uur C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z r r 1. '; '; 'u v x x y y z z= ⇔ = = = r r 2. ( ) '; '; 'u v x x y y z z ± = ± ± ± r r 3. ( ; ; )ku kx ky kz= r 4. . ' ' 'u v xx yy zz = + + ur r 5. ' ' ' 0u v xx yy zz⊥ ⇔ + + = r r 6. 2 2 2 u x y z = + + r 7. ( ) ' ' ; ' ' ; ' '; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y   = − − −  ÷  ÷   ∧ = r r 8. ,u v ur r cùng phương⇔ [ , ] 0= r r r u v 9. ( ) cos , . . u v u v u v = ur r r r r r . D. Tọa độ của điểm: cho A(x A ;y A ;z A ), B(x B ;y B ;z B ) 1. ( ; ; )= − − − uuur B A B A B A AB x x y y z z 2. 2 2 2 ( ) ( ) ( )= − + − + − B A B A B A AB x x y y z z 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x G = 3 A B C x x x+ + ;y G = 3 A B C y y y+ + ; z G = 3 A B C z z z+ + 4. M chia AB theo tỉ số k: ; ; ; 1 1 1 − − − = = = − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x zy + + + = = = 5. ABC là một tam giác⇔ AB AC∧ uuur uuur ≠ 0 r khi đó S= 1 2 AB AC∧ uuur uuur 6. ABCD là một tứ diện⇔ AB AC∧ uuur uuur . AD uuur ≠0, V ABCD = ( ) 1 , 6 AB AC AD∧ uuur uuur uuur , V ABCD = 1 . 3 BCD S h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT I. Mặt phẳng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), ( ; ; )n A B C= r }. Phương trình tổng quát của mặt phẳng α : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.  một số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có ( ) [ , ] ABC n AB AC= r uuur uuur c/ α // β ⇒ n n α β = uur uur d/ α ⊥ β ⇒ n u α β = uur uur và ngược lại e/ α //d⇒ d u u α = uur uur f/ α ⊥d⇒ d n u α = uur uur . 1 ( ) 1;0;0i r ( ) 0;1;0j r ( ) 0;0;1k r O z x y II. Đường thẳngIV.Đường cong Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ uur =(a;b;c)} i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  trong đó 1 1 1 1 ( ; ; )n A B C= uur , 2 2 2 2 ( ; ; )n A B C= uur là hai VTPT và VTCP 1 2 [ ]u n n ∆ = uur uuruur . †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 0 0 y z =   =  ; Oy: 0 0 x z = =    ; Oz: 0 0 x y =   =  b/ (AB): AB u AB= r uuur ; c/ ∆ 1 //∆ 2 ⇒ 1 2 u u ∆ ∆ = uur uur ; d/ ∆ 1 ⊥∆ 2 ⇒ 1 2 u n ∆ ∆ = uur uur . III. Góc- Kh/C Góc giữa hai đường thẳng *cos(∆,∆’)=cos ϕ = . ' . ' u u u u ur uur r uur ; Góc giữa hai mp *cos( α , α ’)=cosϕ= . ' . ' n n n n ur uur r uur ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin(∆, α )=sinψ= . . n u n u ur r r r . KHOẢNG CÁCH Cho M (x M ;y M ;z M ), α :Ax+By+Cz+D=0,∆:{M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), u ∆ r }, ∆’ {M’ 0 (x 0 ';y 0 ';z 0 '), 'u ∆ uur } * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M, α )= 2 2 2 M M M Ax By CZ D A B C + + + + + * Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)= 1 [ , ]MM u u uuuuur r r * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= 0 0 [ , ']. ' [ , '] u u M M u u r uur uuuuuuuur uur uur III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R} Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 (S) Dạng 2: x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= 2 2 2 a b c d + + − 1. d(I, α )>R: α ∩ (S)=∅ 2. d(I, α )=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n α uur = IM uuur ) 3. Nếu d(I, α )<R thì α sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của α và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = 2 2 - ( , )R d I α b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với α +H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α ) 2 B. BÀI TẬP 1. (Khối D_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 yx z−+ ∆ = = − vặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. ĐS: Chuẩn 5 1 ; ; 1 2 2 D   −  ÷   , Nâng cao 3 1 2 1 x t d y t z t = − +   = −   = −  2. (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3 ĐS: a. x 2 +y 2 +z 2 −3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2). 3. (Khối D_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng 21 : 1 1 2 yx z+− ∆ = = − . a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 +MB 2 nhỏ nhất. 4 ĐS: a. 2 2 : 2 1 1 yx z d − − = = − , b. M(−1;0;4). 4. (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 22 3 : 2 1 1 yx z d +− − = = − , 1 11 1 : 1 2 1 yx z d −− + = = − . a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d 1 . b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . ĐS: a. A’(−1;−4;1), b. 21 3 : 1 3 5 yx z−− − ∆ = = − − . 5. (Khối D_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 21 1 : 3 1 2 yx z d +− + = = − và 2 12 3 : 10 2 x t d y t z t = −   =   = −  . a. Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). 5 ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b. 5 OAB S ∆ = . 6. (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). ĐS: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1x y z− + + − = . 7. (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d k là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ): x+3ky−z+2=0, ( β ): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d k Vuông góc với mặt phẳng (P):x−y−2z+5=0. 6 ĐS: k=1. 8. (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x−y+2=0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, ( β ): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P). ĐS: 1 2 m = − . 7 9. (Khối B_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 8 ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao 3 1 : 26 11 2 yx z+ − ∆ = = − . 10. (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC. ĐS: 9 a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7). 11. (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 −2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất. ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3). 12. (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 1 yx z d − + = = − , 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t = +   = − −   = +  . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d 1 , d 2 . b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho A, M, N thẳng hàng. 10