ĐỀ THI HSG TỈNH THANH HÓA 2010-2011

TR NG THCS TAM O Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang Câu 1 (3 điểm). Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: 1 1 1 2 a b c + + = và a b c abc + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = . Câu 2 (3 điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 x y z x y z x y z + + = + + = + + = . Tính giá trị biểu thức P = x 2008 + y 2009 + z 2010 . Câu 3 (3 điểm). Cho biểu thức 5 3 5 4P n n n= + . a) Phân tích biểu thức P ra thừa số. b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. Câu 4 (3 điểm). Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y l cỏc n s) 2 2 6 5 4 8 0x xy y y+ + = Câu 5 (6 điểm). Cho tam giỏc ABC vuông tại C, đờng cao CH. O là trung điểm AB, đờng thẳng d đi qua C và vuông góc với OC. Gọi D, E lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B tới đờng thẳng d. a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE . b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH 2 . c) Chứng minh rằng: DH // BC. d) Cho góc ã 0 60ABC = và BC = a. Tính diện tích hình thang vuông ABED theo a. Câu 6 (2 điểm). Cho hai s a, b tha món a 3 + b 3 = 2. Chng minh rng: 0 < a + b 2. .HT TR NG THCS TAM O đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Câu Hớng dẫn giải Điểm 1(3) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: 1 1 1 2 a b c + + = (1) và a+b+c=abc (2) . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = . Từ giả thiết (1), bình phơng 2 vế ta đợc: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca + + + + + = ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 a b c ab bc ca + + = + + ữ (*) Từ giả thiết (2), do abc0, nên chia 2 vế cho abc ta đợc: 1 1 1 1 ab bc ca + + = . Thay vào (*) ta đợc: 1 1 1 2 a b c + + = . 1,5 1,5 2(3) Cho 3 số x, y, z thoả mãn: (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 1 1 1 x y z x y z x y z + + = + + = + + = . Tính giá trị biểu thức P=x 2008 +y 2009 +z 2010 . Vì x 2 , y 2 , z 2 > 0, nên từ (2) x 2 , y 2 , z 2 < 1 -1 < x, y, z < 1 3 2 3 2 3 2 x x y y z z x 3 +y 3 +z 3 < x 2 +y 2 +z 2 = 1. Nhng do (3) 3 2 3 2 3 2 x x y y z z = = = x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1 x 2008 =x, y 2009 =y, z 2010 =z P=x 2008 +y 2009 +z 2010 =x+y+z=1 (theo (1)) 1 1 1 3(3) Cho biểu thức 5 3 5 4P n n n= + . a) Phân tích biểu thức P ra thừa số. b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. a) Ta có: 4 2 4 2 2 ( 5 4) 4( 1)P n n n n n n n = + = ( 2)( 1) ( 1)( 2)n n n n n= - - + + b) Ta có 120 = 3.5.8 - Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 v 5. - Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8. - Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8 Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 v 8 ụi mt nguyờn t cựng nhau) 1,5 0,5 0,5 0,5 4(3 ) Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên của phơng trình (x, y l cỏc n s) 2 2 6 5 4 8 0x xy y y+ + = Ta có : 2 2 2 2 6 5 4 8 0 ( ) (5 5 5 ) ( 1) 7x xy y y x xy x xy y y x y+ + = + + + + + = ( 1) 5 ( 1) ( 1) 7 ( 1)( 5 1) 7x x y y x y x y x y x y + + + + + = + + + = 1đ 1 1 1 5 1 7 1 1 1 2 5 1 7 2 1 7 10 5 1 1 2 1 7 7 5 1 1 1 x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y + = = + + = = + = = + + = = + = = + + = = + = = + + = = 2đ 5(6) D E C H O A B 1đ a) Xét 2 tam giác vuông : AHC và ADC có : AC chung ã ã HAC OCA= ( OAC cân đỉnh O) ã ã OCA CAD= (so le trong, do OC // AD ) ã ã HAC DAC = Suy ra AHC = ADC AH = AD. CM tơng tự BHC = BEC BH = BE 1đ b) Trong tam giác vuông ABC ta có : CH 2 = HA.HB = AD.BE 1đ c) Vì AC là phân giác trong của góc ã HAD của tam giác cân AHD nên AC DH, mặt khác AC BC suy ra DH // BC. 1đ d) Ta cã : 1 ( ) ( ). . 2. . 2 ABED AD BE DE OC DE OC CES = + = = ∆OBC cã OB = OC vµ · 0 60OBC = nªn ∆OBC®Òu ⇒ OC = BC = a. Tam gi¸c vu«ng BCE cã BC = a vµ · 0 60CBE = nªn 0 3 .sin 60 2 a CE BC= = Do ®ã 2 ( ) 3ABED aS = 2® 6(2đ) Cho hai số a, b thỏa mãn a 3 + b 3 = 2. Chứng minh rằng: 0 < a + b ≤ 2. Ta có: a 3 + b 3 > 0 ⇒ a 3 > –b 3 ⇒ a > – b ⇒ a + b > 0 (1) (a – b) 2 (a + b) ≥ 0 ⇒ (a 2 – b 2 )(a – b) ≥ 0 ⇒ a 3 + b 3 – ab(a + b) ≥ 0 ⇒ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) ⇒ 3(a 3 + b 3 ) ≥ 3ab(a + b) ⇒ 4(a 3 + b 3 ) ≥ (a + b) 3 ⇒ 8 ≥ (a + b) 3 ⇒ a + b ≤ 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 0 < a + b ≤ 2. 2đ Ghi ch: học sinh làm bài theo cách khác với đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa. ……………… HẾT…………… . TR NG THCS TAM O Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang Câu 1 (3 điểm) 2. Chng minh rng: 0 < a + b 2. .HT TR NG THCS TAM O đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Câu Hớng dẫn giải Điểm 1(3) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả. c + + = . Từ giả thi t (1), bình phơng 2 vế ta đợc: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca + + + + + = ữ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 a b c ab bc ca + + = + + ữ (*) Từ giả thi t (2), do abc0,