PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Đường thẳng qua một điểm cắt và vuông góc với một đường thẳng: Nhận xét: - Vì đường thẳng d cắt d’ nên ta gọi B là giao điểm của d và d’. - Khi đó đường thẳng d’ trùng với đường thẳng AB. - Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB. - Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: ' . 0d d a a AB⊥ ⇔ ⊥ ΑΒ ⇔ = r uuur r uuur Phương pháp: Cách 1: - Bước 1: Gọi B là giao điểm của d và d’, vì B thuộc d nên: ( ) ( ) 0 0 0 ; ; ; ; x at y bt z ct AB ⇒ Β + + + ⇒ = uuur - Bước 2: Vì ' . 0d d a a AB⊥ ⇔ ⊥ ΑΒ ⇔ = r uuur r uuur . Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. - Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. Cách 2: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. - Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P). - Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. 1 Bài toán 1: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với d. Dạng 2: Đường thẳng qua một điểm cắt một đường thẳng và vuông góc với một đường thẳng. Bài toán 2: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và đường thẳng d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d và vuông góc d’. Nhận xét: - Vì đường thẳng ∆ cắt d nên ta gọi B là giao điểm của ∆ và d. - Khi đó đường thẳng ∆ trùng với đường thẳng AB. - Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB. - Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: ' a' .a' 0d∆ ⊥ ⇔ ΑΒ ⊥ ⇔ ΑΒ = uuur ur uuur ur Phương pháp: Cách 1: - Bước 1: Gọi B là giao điểm của ∆ và d. Vì B thuộc d nên: ( ) ( ) 0 0 0 ; ; ; ; x at y bt z ct AB ⇒ Β + + + ⇒ = uuur - Bước 2: Vì ' a' .a' 0d∆ ⊥ ⇔ ΑΒ ⊥ ⇔ ΑΒ = uuur ur uuur ur Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. - Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng ∆ . Cách 2: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d’. - Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P). - Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng ∆ . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt 2 đường thẳng. Bài toán 3: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và đường thẳng d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d và d’. Nhận xét: - Vì đường thẳng ∆ cắt d và d’ nên ta gọi B, C là giao điểm của ∆ với d và d’ . - Khi đó để viết pt đường thẳng ∆ ta đi viết pt đường thẳng AB hoặc pt đường thẳng AC hoặc pt đường thẳng BC. - Để tìm tọa độ điểm B và C ta dựa vào tính chất sau: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ ,AB AC uuur uuur cùng phương. 2 - Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng ,AB AC uuur uuur cùng phương ( ) , 0 0;0;0AB AC = = uuur uuur r . Phương pháp: - Bước 1: Gọi B, C lần lượt là giao điểm của ∆ với d và d’. Vì , C d'B d∈ ∈ nên: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ; ; ' ' '; ' ' '; ' ' ' ; ; ; ; x at y bt z ct C x a t y b t z c t AB AC Β + + + ⇒ + + + = ⇒ = uuur uuur - Bước 2: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ ,AB AC uuur uuur cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra B và C. - Bước 3: Viết pt đường thẳng AB hoặc AC hoặc BC. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và song song với một đường thẳng Bài toán 4: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và đường thẳng d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + và đường thẳng 0 0 0 '' '' '' '': '' '' '' '' '' '' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và d’, song song với đường thẳng d’’. Nhận xét: - Vì đường thẳng ∆ cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’ .Khi đó để viết pt đường thẳng ∆ ta đi viết pt đường thẳng AB. - Để tìm tọa độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do ∆ song song với d’’ nên hai vectơ vectơ , ''AB a uuur uur cùng phương. - Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng , ''AB a uuur uur cùng phương ( ) , '' 0 0;0;0AB a = = uuur uur r . 3 Phương pháp: - Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ; ; ' ' '; ' ' '; ' ' ' ; ; A x at y bt z ct B x a t y b t z c t AB + + + ⇒ + + + ⇒ = uuur - Bước 2: Do ∆ song song với d’’ nên hai vectơ vectơ , ''AB a uuur uur cùng phương.Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra A và B. - Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng. Bài toán 5: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và đường thẳng d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và d’, vuông góc với (P). Nhận xét: - Vì đường thẳng ∆ cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’ .Khi đó để viết pt đường thẳng ∆ ta đi viết pt đường thẳng AB. - Để tìm tọa độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do ∆ vuông góc với (P) nên hai vectơ vectơ , P AB n uuur uur cùng phương. - Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng , P AB n uuur uur cùng phương ( ) , 0 0;0;0 P AB n = = uuur uur r . Phương pháp: - Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ; ; ' ' '; ' ' '; ' ' ' ; ; A x at y bt z ct B x a t y b t z c t AB + + + ⇒ + + + ⇒ = uuur - Bước 2: Do ∆ vuông góc với (P) nên hai vectơ , P AB n uuur uur cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt tìm được t và t’. Suy ra A và B. - Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. 4 Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng. Bài toán 6: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và đường thẳng d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d và d’. Nhận xét: - Vì ∆ vuông góc với d và d’ nên hai vectơ có giá vuông góc với ∆ là ' , d d a a uur uur . - Ta có: ' ' , d d d d a a a a a a a ∆ ∆ ∆ ⊥ ⇒ = ⊥ uur uur uur uur uur uur uur - Như vậy để tìm VTCP của đường thẳng ta đi tìm hai vectơ có giá vuông góc với đường thẳng rồi lấy tích có hướng của hai vectơ đó ta được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chú ý: - Nếu d và d’ song song với nhau thì hai vectơ ' , d d a a uur uur cùng phương, ta phải giải bằng cách khác. Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng. Bài toán 7: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng ∆ qua A(x;y;z) nằm trong (P) và vuông góc với d. Nhận xét: - Vì ∆ vuông góc với d và nằm trong (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá ∆ là , d P a n uur uur . Ta có: , d d P P a a a a n a n ∆ ∆ ∆ ⊥ ⇒ = ⊥ uur uur uur uur uur uur uur 5 Bài toán 8: Cho đường thẳng 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng ∆ qua A(x;y;z) song song với (P) và vuông góc với d. Nhận xét: - Vì ∆ vuông góc với d và song song (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá ∆ là , d P a n uur uur . Ta có: , d d P P a a a a n a n ∆ ∆ ∆ ⊥ ⇒ = ⊥ uur uur uur uur uur uur uur . Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc của của hai đường thẳng chéo nhau: Bài toán 9: Cho đường thẳng chéo nhau 0 0 0 : x x at d y y bt z z ct = + = + = + và d’: 0 0 0 ' ' ' ': ' ' ' ' ' ' x x a t d y y b t z z c t = + = + = + . Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’. Nhận xét: - Do ∆ là đường vuông góc chung của d và d’ nên: d d' ∆ ⊥ ∆ ⊥ và ∆ cắt d và d’. Do đó ta gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’. - Như vậy để viết pt đường thẳng ∆ ta đi viết pt đường thẳng AB. - Để tìm tọa độ điểm A, B ta dựa vào tính chất sau: d d d' d' a a a .a 0 d d' a a a .a 0 ∆ ∆ ∆ ∆ ⊥ = ∆ ⊥ ⇔ ⇔ ∆ ⊥ ⊥ = uur uur uur uur uur uur uur uur Phương pháp: - Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của ∆ với d và d’. - Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A, B. - Bước 3: Tìm t và t’ áp dụng d d d ' d' a a a .a 0 d d' a a a .a 0 ∆ ∆ ∆ ∆ ⊥ = ∆ ⊥ ⇔ ⇔ ∆ ⊥ ⊥ = uur uur uur uur uur uur uur uur . - Bước 4: Viết phương trình đt AB đó chính là pt đt ∆ . 6 . mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng ∆ qua A(x;y;z) song song với (P) và vuông góc với d. Nhận xét: - Vì ∆ vuông góc với d và song song (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá ∆ là , d. a t d y y b t z z c t = + = + = + Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và d’, song song với đường thẳng d’’. Nhận xét: - Vì đường thẳng ∆ cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao. ∆ ta đi viết pt đường thẳng AB. - Để tìm tọa độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do ∆ song song với d’’ nên hai vectơ vectơ , ''AB a uuur uur cùng phương. - Để tìm t và t’