Tích phân ôn thi đại học

Bài 1: Tính tích phân: 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x   = +  ÷ +   ∫ Giải: 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x   = +  ÷ +   ∫ 2 1 2 1 1 ln ln 1 ln e e x dx xdx I I x x = + = + + ∫ ∫ Tính 1 1 ln 1 ln e x I dx x x = + ∫ Đặt 2 1 ln 1 2 dx t x t lnx tdt x = + ⇔ = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 ln 4 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 3 1 ln 1 e t tdt x t I dx t dt t x x −   = = = − = − = −  ÷ +   ∫ ∫ ∫ Tính 2 2 1 ln e I xdx= ∫ Đặt 2 2lnx du dx u ln x x dv dx v x   = =  ⇒   =   =  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 e e e I I e I ln xdx xln x lnxdx e lnxdx= = − = − ∫ ∫ ∫ 1 2 3 1 2 3 Tính 3 1 e I lnxdx= ∫ Đặt dx u lnx du x dv dx v x  = =   ⇒   =   =  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ( ) 3 1 1 1 1 1 1 e e e e I lnxdx xlnx dx e x e e= = − = − = − − = − ∫ ∫ Suy ra: 2 2 3 1 2 2 e I ln xdx e I e= = − = − ∫ Vậy 1 2 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 I I I e e= + = − + − = − − Bài 2: Tính tích phân: ( ) 3ln2 2 3 0 2 x dx I e = + ∫ Giải: Ta có: ( ) 3ln 2 3ln 2 3 2 2 3 0 0 3 3 2 2 x x x x dx e dx I e e e = =   + +  ÷   ∫ ∫ Đặt 3 3 3 1 3 3 x x x t e dt e dx dt e dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 3ln2 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3ln2 3ln 2 2 2 3 2 2 3 2 3 0 0 1 1 3 3 1 1 1 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 x x x x dx e dx dt I t t t t t e e e   = = = = − − =  ÷  ÷ + + +    + +  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 2 4 3 1 4 4 2 2 4 4 8 4 6 ln t ln t ln ln ln t       = − + + = − + − − +  ÷  ÷  ÷  ÷ +       3 3 1 4 2 8 ln   = −  ÷   Bài 3: Tính tích phân: 3 0 3 3 1 3 x I dx x x − = + + + ∫ Giải: Đặt 2 1 1 2t x t x tdt dx= + ⇔ = + ⇒ = Đổi cận: x 0 3 t 1 2 Khi đó: ( ) 3 2 2 2 2 2 3 2 2 0 1 1 1 1 3 4 2 8 2 2 6 6 3 2 3 2 1 3 1 3 x t t dt I dx tdt dt t dt t t t t t x x − − − = = = = − + + − + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 3 6 6 1 6 3 1 1 2 t t ln t ln= − + + = − Bài 4: Tính tích phân: ( ) 2 3 0 3 2cos sin sinx x I dx x cosx π − = + ∫ Giải: Đặt 2 x t dx dt π = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 2 π t 2 π 0 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 0 2 2 3 3 3 0 0 2 3 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin sin s sin s s sinx x t t x x I dx dt dx x cosx co t t co x inx π π π − − − = = − = + + + ∫ ∫ ∫ Suy ra: 2I = I + I = ( ) 2 3 0 3 2cos sin sinx x dx x cosx π − + ∫ + ( ) 2 3 0 3cos 2sin s s x x dt co x inx π − + ∫ = ( ) 2 2 0 s s dx co x inx π + ∫ 2 2 0 2 4 dx cos x π π =   −  ÷   ∫ 2 2 0 1 4 2 4 d x cos x π π π   −  ÷   = =   −  ÷   ∫ 1 2 2 4 0 tan x π π   − =  ÷   1. Vậy I = 1 2 . Bài 5: Tính tích phân: ( ) 4 2 0 1 1 1 2 x I dx x + = + + ∫ Giải: Đặt ( ) 1 1 2 1 1 2 dx t x dt dx t dt x = + + ⇒ = ⇒ = − + và 2 2 2 t t x − = Đổi cận: x 0 4 t 2 4 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 3 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 2 2 2 1 1 2 t t t x t t t I dx dt dt t t x − + − + − + − = = = + + ∫ ∫ ∫ 4 2 2 1 4 2 3 2 t dt t t   = − + − =  ÷   ∫ 2 4 1 2 3 4 2 2 2 t t ln t t   − + + =  ÷   2ln2- 1 4 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 x y e= + , trục hoành, x = ln3 và x = ln8. Giải: Diện tích 8 3 1 ln x ln S e dx= + ∫ Đặt 2 2 2 1 1 2 1 x x x t t e t e tdt e dx dx dt t = + ⇔ = + ⇒ = ⇔ = − Đổi cận: x 3ln ln8 t 2 3 Khi đó: 8 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 ln x ln t S e dx dt dt t t   = + = = + =  ÷ − −   ∫ ∫ ∫ 3 1 3 2 4 2 2 1 2 t t ln ln t  −    = + = +  ÷  ÷ +     (đvdt) Bài 7: Tìm nguyên hàm 3 5 sin dx I xcos x = ∫ Giải: 3 5 3 3 2 3 2 8 sin sin sin 2 dx dx dx I xcos x xcos xcos x xcos x = = = ∫ ∫ ∫ Đặt 2 dx t tanx dt cos x = ⇒ = và 2 2 2 1 t sin x t = + Khi đó: ( ) 3 2 2 4 6 3 3 2 3 3 2 1 1 3 3 8 8 sin 2 2 1 t dt dx dt t t t I dt xcos x t t t t + + + + = = = =    ÷ +   ∫ ∫ ∫ ∫ 4 2 3 3 2 3 1 3 1 3 3 4 2 2 t t t t dt ln t C t t t   = + + + = + + − +  ÷   ∫ 4 2 2 3 1 3 4 2 2 tan x tan x ln tanx C tan x = + + − + Bài 8: Tính tích phân: 1 2 3 0 s 1 x I x inx dx x   = +  ÷  ÷ +   ∫ Giải: 1 2 3 0 s 1 x I x inx dx x   = +  ÷  ÷ +   ∫ 1 1 2 3 1 2 0 0 s 1 x x inx dx dx I I x = + = + + ∫ ∫ Tính 1 2 3 1 0 sI x inx dx= ∫ Đặt 3 2 2 3 3 dt t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 1 1 2 3 1 0 0 1 s int 3 I x inx dx s dt= = ∫ ∫ ( ) 1 1 1 1 1 0 3 3 cost cos− = − − Tính 1 2 0 1 x I dx x = + ∫ Đặt 2 2t x t x tdt dx= ⇔ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 x t dt dt I dx dt dt dt t I x t t t t   = = = − = − = − = −  ÷ + + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tính 1 3 2 0 1 dt I t = + ∫ Đặt ( ) ( ) 2 2 1 1t tanu dt tan u du u du= ⇒ = + = + = Đổi cận: x 0 1 t 0 4 π Khi đó: 1 4 3 2 0 0 1 dt I du t π = = + ∫ ∫ 4 4 0 u π π = = Suy ra: 2 3 2 2 2 2 I I π = − = − Vậy: ( ) 1 7 1 1 1 2 1 3 2 3 3 2 I cos cos π π = − − + − = − − Bài 9: Tính tích phân: 6 0 4 2 tan x I dx cos x π π   −  ÷   = ∫ Giải: ( ) 2 6 6 2 2 0 0 1 4 2 1 tan x tan x I dx dx cos x tan x π π π   −  ÷ +   = = − + ∫ ∫ Đặt ( ) 2 2 1 dx t tanx dt tan x dx cos x = ⇒ = = + Đổi cận: x 0 6 π t 0 1 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 2 6 6 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 4 2 1 1 1 tan x d t tan x I dx dx dx cos x tanx t t π π π   −  ÷ + +   = = − = − = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 3 3 1 2 0 t − = = + Bài 10: Tính tích phân: 1 2 1 1 1 dx I x x − = + + + ∫ Giải: Đặt 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 t t x x t x x t tx x x x dx dt t t −   = + + ⇔ − = + ⇔ − + = + ⇔ = ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x -1 1 t 2 1− 2 1+ Khi đó: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 dx dt dt t t I dt dt t t t t t x x + + + + − − − − −     + +  ÷  ÷     = = = = + + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 dt dt t t t t + + − −   = + − +  ÷ + +   ∫ ∫ 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 ln t ln t ln t t + + −   = + + − + + =  ÷   − − Bài 11: Tính tích phân: 4 2 4 1 sinx I dx x x π π − = + + ∫ Giải: 4 4 4 1 2 2 2 4 4 4 sin sin 1 1 sinx xdx I dx xdx I I x x x π π π π π π − − − = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ Tính 4 1 2 4 sin 1 xdx I x π π − = + ∫ Đặt x t dx dt= − ⇒ = − Đổi cận: x 4 π − 4 π t 4 π 4 π − Khi đó: 4 4 4 1 2 2 2 4 4 4 sin sin sin 1 1 1 xdx tdt xdx I x t x π π π π π π − − − = = = − + + + ∫ ∫ ∫ Suy ra 1 1 1 1 2 0 0I I I I= + = ⇒ = Tính 4 2 4 sinI x xdx π π − = ∫ Đặt u x du dx dv sinxdx v cosx = =   ⇒   = = −   Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 4 4 2 4 2 2 2 4 4 sin s s s 2 4 4 4 4 I x xdx xco x co xdx inx π π π π π π π π π π − − = = − + =− + = − + − − ∫ ∫ Suy ra: 1 2 2 2 4 I I I π = + = − + Bài 12: Tính tích phân: 5 2 1 1 3 1 x I dx x x + = + ∫ Giải: Đặt 2 2 3 1 3 1 2 3 3 tdt t x t x tdt dx dx= + ⇔ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 1 5 t 2 4 Khi đó: ( ) 2 2 5 4 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 1 2 2 . 1 2 1 3 9 1 3 1 3 t x tdt dt I dx t dt t t x x   − +  ÷ +   = = = − + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 4 2 2 2 1 100 9 9 3 1 27 5 | | t t t ln ln t   − = − + = +  ÷ +   Bài 13: Tính tích phân: 2 2 0 3 2 dx I cos x cosx π = + + ∫ Giải: 2 2 2 1 2 2 0 0 0 3 2 1 2 dx dx dx I I I cos x cosx cosx cosx π π π = = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ Tính 2 2 2 1 0 2 0 0 1 1 1 2 2 2 | dx dx x I tan x cosx cos π π π = = = = + ∫ ∫ Tính 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 3 2 x tan dx I dx x cosx tan π π + = = + + ∫ ∫ Đặt ( ) 2 2 3 3 1 1 2 2 2 x x tan tant tan dx tan t dt   = ⇒ + = +  ÷   Đổi cận: x 0 2 π t 0 6 π Khi đó: 2 62 2 6 2 0 2 0 0 0 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 | x tan dx I dx dt t x cosx tan π π π π π + = = = = = + + ∫ ∫ ∫ Vậy: 1 2 1 3 3 I I I π = − = − Bài 14: Tính tích phân: ( ) 2 3 0 2 2 sin x I dx cosx π = + ∫ Giải: Đặt 2t cosx dt sinxdx = + ⇒ = − Đổi cận: x 0 2 π t 3 2 Khi đó: ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 0 0 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 sin x sinxcosx t t I dx dx dt dt dt dt t t t t cosx cosx π π   − − = = = − = = −  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 1 1 1 2 18 | t t −   = + =  ÷   Bài 15: Tính tích phân: 2 2 3 0 sin sin x I e xcos xdx π = ∫ Giải: Đặt 2 2t sin x dt cosxsinxdx= ⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) 2 2 1 1 1 2 2 3 2 0 0 0 0 0 sin 1 1 1 sin 1 2 2 2 sin x sin x t t t I e xcos xdx e co xcosxdxs x e t dt e dt te dt π π = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 | t t e te dt e I= − = − − ∫ Tính 1 1 0 t I te dt= ∫ Đặt t t u t du dt dv e dt v e = =   ⇒   = =   Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 | | t t t t I te dt te e dt e e e e= = − = − = − + = ∫ ∫ Vậy: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 I e I e= − − = − Bài 17: Tính tích phân: 6 4 4 1 x tan x I dx e π π − = + ∫ Giải: Đặt x t dx dt= − ⇒ = − Đổi cận: x 4 π − 4 π t 4 π 4 π − Khi đó: 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 t t x x t t t x tan x tan t e tan t e tan t e tan x I dx dt dt dt dx e e e e e π π π π π π π π π π − − − − − − = = − = − = = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) 6 6 4 4 4 4 6 4 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 x x x tan x e tan x I I dx dx tan xdx tan x tan x tan x tan x tan x dx e e π π π π π π π π − − − −   + = + = = + − + + + −   + + ∫ ∫ ∫ ∫ 5 3 4 4 26 5 3 15 2 | tan x tan x tanx x π π π −   = − + − = −     Xong lúc 23h-4/2/2011 .  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 | | t t t t I te dt te e dt e e e e= = − = − = − + = ∫ ∫ Vậy: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 I e I e= − − = − Bài 17: Tính tích phân: 6 4 4 1 x tan. 3 Tính 3 1 e I lnxdx= ∫ Đặt dx u lnx du x dv dx v x  = =   ⇒   =   =  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ( ) 3 1 1 1 1 1 1 e e e e I lnxdx xlnx dx e x e e= = − = − = − − = − ∫. 4 2 4 sinI x xdx π π − = ∫ Đặt u x du dx dv sinxdx v cosx = =   ⇒   = = −   Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 4 4 2 4 2 2 2 4 4 sin s s s 2 4 4 4 4 I x xdx xco x co xdx inx π π π π π