Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ • y=a x ; TXĐ D=R • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị f(x)=3^x -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x f(x)=(1/3)^x -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y x y = 3 1 II. Hàm số lgarit • y=log a x, ĐK: ≠< > 10 0 a x ; D=(0;+∞) • Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 +∞ x 0 0 +∞ y +∞ 1 −∞ y +∞ 1 −∞ • Đồ thị f(x)=ln(x)/ln(3) f(x)=3^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x f(x)=ln(x )/ln(1/3) f(x)=(1/3 )^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y x y = 3 1 xy 3 1 log = y=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa : Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ;( n a 1 =a − m ; a 0 =1; a − 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a = ; n m n m aa = . 2. Công thức logarit : log a b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0) Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 −log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; Thái Thanh Tùng 1 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org xx a a log 1 log α α = ;(log a a x =x); log a x= a x b b log log ;(log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit 1. Phương trình mũ−logarit a. Phương trình mũ : Đưa về cùng cơ số +0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x). + 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( ) = > bxf b a log 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3± ), (7 4 3± ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;a x b x } ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x . Phương pháp logarit hóa: a f(x) =b g(x) ⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1. b. P hương trình logarit : Đưa về cùng cơ số: +log a f(x)=g(x)⇔ ( ) ( ) = ≠< xg axf a 10 +log a f(x)= log a g(x)⇔ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = >> ≠< xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ : a f(x) >a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] >−− > 01 0 xgxfa a ; a f(x) ≥a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− > 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≥g(x). * Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x); a f(x) ≥a g(x) ⇔ f(x)≤g(x). b. Bất phương trình logarit : log a f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] >−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; log a f(x)≥log a g(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ≥−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > > 0xg xgxf ; + Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) > < 0xf xgxf . * * * Thái Thanh Tùng 2 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0 x x x x x x x x+ − − − − + = ⇔ − − = . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: ( ) ( ) 2 2 2 1 . 2 4 0 x x x− − − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 9 3 3 2 log log .log 2 1 1x x x= + − . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: ( ) 3 3 3 log 2log 2 1 1 .log 0x x x − + − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0 x x x x+ − + − = . Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có: ( ) 2 2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = − . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + − + − + = . Đặt t = log 3 (x+1), ta có: ( ) 2 5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = − ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ( ) bac ;∈∃ : ( ) ( ) ( ) ab aFbF cF − − =' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ( ) ( ) ( ) ; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 log 2.3 3 x x + = . Hướng dẫn: 2 2 log log 2.3 3 2.3 3 x x x x + = ⇔ = − , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3 x x x x + = + . Phương trình tương đương 6 5 3 2 x x x x − = − , giả sử phương trình có nghiêm α . Khi đó: αααα 2356 −=− . Xét hàm số ( ) ( ) α α tttf −+= 1 , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại ( ) 2;5c∈ sao cho: ( ) ( ) 1 ' 1 0 1 0 0, 1f c c c α α α α α − − = ⇔ + − = ⇔ = = , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − + = − . Viết lại phương trình dưới dạng 2 1 2 2 1 2 x x x x x x − − + − = + − , xét hàm số ( ) ttf t += 2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: ( ) ( ) 2 2 1 1 1f x f x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ = . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2 x x x+ = + . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0 x x x x f x x f x= + − − ⇒ = + > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Thái Thanh Tùng 3 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x = − − = − − có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2 2007 1 x x f x e x = + − − . Nếu x < −1 thì ( ) 02007 1 <−< − exf suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x 0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho 0 >≥ ba . Chứng minh rằng 1 1 2 2 2 2 b a a b a b + ≤ + ÷ ÷ (ĐH Khối D−2007) HD: BĐT 1 1 ln 2 ln 2 1 1 2 2 ln 2 ln 2 2 2 a b a b a b a b b a a b + + ÷ ÷ ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ÷ ÷ . Xét hàm số ( ) 1 ln 2 2 x x f x x + ÷ = với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0>≥ ba ta có ( ) bfaf ≤)( (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 7 3 log log ( 2)x x= + . Đặt t = 7 log 7 t x x⇒ = Khi đó phương trình trở thành: 3 7 1 log ( 7 2) 3 7 2 1 2. 3 3 t t t t t t = + ⇔ = + ⇔ = + ÷ ÷ . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 4 2 2 5 6 log ( 2 2) 2log 2 3x x x x− − = − − . Đặt t = x 2 – 2x – 3 ta có ( ) 6 5 log 1 logt t+ = . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 6 log 2 6 log 3 log x x x+ = . Đặt 6 logt x= , phương trình tương đương 3 6 3 2 3 1 2 t t t t t + = ⇔ + = ÷ . 3. Dạng 3: ( ) log b x c a x + = ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) 7 log 3 4 x x + = . Đặt ( ) 7 log 3 7 3 t t x x= + ⇒ = + , phương trình tương đương 4 1 4 7 3 3. 1 7 7 t t t t = − ⇔ + = ÷ ÷ . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 42 5log 3 += + x x . Đặt t = x+4 phương trình tương đương ( ) t t = +1log 3 2 Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 3 3 log 1 log 1 4 1 2 0 x x x x + + − − − = . 4. Dạng 4: ( ) log ax b s s c dx e x α β + = + + + , với ,d ac e bc α β = + = + Ph ương pháp: Đặt log ( ) s ay b dx e+ = + rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay b s acx s acy + + + = + . Xét ( ) at b f t s act + = + . Ví dụ: Giải phương trình 1 7 7 6log (6 5) 1 x x − = − + . Đặt ( ) 7 1 log 6 5y x− = − . Khi đó chuyển thành hệ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x x y y y y x y y x x − − − − − = − + = − ⇔ ⇒ + = + − = − = − . Xét hàm số ( ) 1 7 6 t f t t − = + suy ra x=y, Khi đó: 1 7 6 5 0 x x − − + = . Xét hàm số ( ) 567 1 +−= − xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Thái Thanh Tùng 4 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x− − − + = + + + + HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x− − − − + = + + + + , đặt 1 1 2 1, 2 1. , 0 x x u v u v − − = + = + > . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v + = + = + Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. ( ) ( ) 2 3 2 3 4 0 x x + + − − = b. ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x − + + = c. ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0 x x + − − + = d. ( ) ( ) 3 3 5 16 3 5 2 x x x+ + + − = e. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 0 x x − + + − = (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1. f. 3.8 x +4.12 x −18 x −2.27 x =0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2. i. 3.16 2.8 5.32 x x x + = j. 1 1 1 2.4 6 9 x x x + = Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + − − = = b. 2 ( ) 1 5 125 4 1 x y x y + − − = = c. 2 2 12 5 x y x y + = + = d. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log 1 log 3 81 x xy y x y xy − + + = + = (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2) e. ( ) 2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y − + − = − = (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f. ( ) 1 4 4 2 2 1 log log 1 25 y x y x y − − = + = (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y + = − + = + (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . ( ) 2 .2 .2 0 x x m m m − − + + = . b . .3 .3 8 x x m m − + = . Bài 4: Cho phương trình 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m+ + − − = (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 . ĐS: a. 3 3x ± = , b. 0 ≤ m ≤ 2 Thái Thanh Tùng 5 Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình − hệ phương trình Mũ_Logarit www.nguoithay.org Bài 5: Cho bất phương trình ( ) 1 4 . 2 1 0 x x m − − + > a. Giải bất phương trình khi m= 16 9 . b. Định m để bất phương trình thỏa x R∀ ∈ . Bài 6: Giải các phương trình sau: a. ( ) ( ) 5 5 5 log log 6 log 2x x x= + − + b. 5 25 0,2 log log log 3x x+ = c. ( ) 2 log 2 5 4 2 x x x− + = d. 2 3 lg( 2 3) lg 0 1 x x x x + + − + = − e. log 2x − 1 (2x 2 +x−1)+log x+1 (2x−1) 2 =4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. ( ) 2 2 2 log 1 6log 1 2 0x x+ − + + = (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g. ( ) 2 2 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 x x x + + + = − (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log 2 3. Bài 7: Giải bất phương trình: a. ( ) 3 1 3 2 log (4 3) log 2 3 2x x− + + ≤ (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3. b. 2 0,7 6 log log 0 4 x x x + < ÷ + (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8. c. ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 x x− + − < + + (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. 2 1 2 3 2 log 0 x x x − + ≥ (ĐH_Khối D 2008) ĐS: ) ( 2 2;1 2;2 2 − + U . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Thái Thanh Tùng 6 . = . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng. 2 log 2.3 3 x x + = . Hướng dẫn: 2 2 log log 2.3 3 2.3 3 x x x x + = ⇔ = − , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: