5 HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG , ĐƯỜNG THẲNG . MẶT PHẲNG (A) ĐƯỜNG THẲNG (B) 1.Mp qua điểm A(x o , y o , z o ) có VTPT n r (A,B,C) . 1.Đgth dqua điểm A(x o , y o ,z o ), có VTCP u r (a, b, c) - Pt: A(x-x o ) +B(y-y o ) + C(z – z o ) = 0 Hoặc Ax +By +Cz +D =0 , thay toạ độ A vào thoả , giải tìm D. x = x o +at PTTS d : y = y o +bt Z = z o +ct 2.Mp( α ) qua A(x o , y o , z o ) , vuông góc với đgth d 2.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), vuông góc với mp( α ) - Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d , tìmVTCP u r . - Mp( α ) có VTPT là u r . - Giải tiếp như bài toán 1. - Từ PTTQ của ( α ) tìm VTPT n r . - VTCP của d là n r . - Giải tiếp như bài toán 1. 3. Mp( α ) qua A(x o , y o , z o ), và song song với mp(P) 3.Đgth d qua A(x o , y o , z o ), song song với đgth a. - Tìm VTPT của (P) là n r . - VTPT của ( α ) cũng là n r . - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTCP của a là u r . - VTCP của d cũng là u r . Giải tiếp như bài toán 1. 4. Mp( α ) qua A,B,C cho trước. 4. Đgth d qua A, B cho trước. - VTPT của ( α ) là n r = ,AB AC uuur uuur . B. .C - ( α ) qua A cho trước. A. - Giải tiếp như bài toán 1. - VTCP của d là AB uuur . A - d qua A cho trước. - Giải tiếp như bài toán 1. B 5. Mp( α ) chứa 2 đgth cắt nhau a,b. 5. Đgth d là giao tuyến của 2 mp cắt nhau ( α ),( β ). - Tìm VTCP của a,b lần lượt là u r , v r . - VTPT của ( α ) là n r = ,u v r r . - Lấy điểm A trên a, thì Athuộc( α ). - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTPT của ( α ),( β ) lần lượt là 1 n uur , 2 n uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,n n uur uur . - Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả phương trình ( α ),( β )thì A ∈ d. - Giải tiếp như bài toán 1. 6. Mp( α ) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau. 6. Đgth d qua A và song song với 2 mp ( α ),( β ) cắt nhau. - Tìm VTCP của a,b lần lượt là u r , v r . - VTPT của ( α ) là n r = ,u v r r . - Giải tiếp như bài toán 1. < Bài toán: Viết pt mp ( α ) chứa a và song song b ( chéo a), giải tương tự. Khi đó điểm cho trước A ∈ ( α ), được lấy bất kỳ trên a > - Tìm VTPT của ( α ),( β ) lần lượt là 1 n uur , 2 n uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,n n uur uur . . - Giải tiếp như bài toán 1. 1 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG 5 7. Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp ( α ),( β ) cắt nhau. 7. Đgth d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo nhau. - Tìm VTPT của ( α ),( β ) là 1 n uur , 2 n uur . - VTPT của (P) là n r = 1 2 ,n n uur uur . - Giải tiếp như bài 1. < Bài toán này có thể đưa về dạng bài B5, và A2: Viết ph trình mp (P) vuông góc với giao tuyến của ( α ),( β ) > - Tìm VTCP của a,b là 1 u uur và 2 u uur . - VTCP của d là u r = 1 2 ,u u uur uur . - Giải tiếp như câu 1. 8. Mp( α ) qua đgth d và vuông góc với mp( β ) cho trước. 8. Đgth d nằm trong mp ( α ) cho trước, vuông góc và cắt đường xiên a. - Tìm VTCP của d là u r . - Tìm VTPT của ( β ) là 1 n uur . - VTPT của ( α ) là n r = 1 ,u n r uur . - Tìm điểm A ∈ d thì A ∈ ( α ). - Giải tiếp như bài toán 1. - Tìm VTCP của a là 1 u uur . - Tìm VTPT của ( α ) là n r . - VTCP của d là u r = 1 , .u n uur r - Tìm giao điểm của a và ( α ) là A. - Đgth d phải qua A và có VTCP u r , viết được PTTS. CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 9. Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2 đường a, b. 9. Đường thẳng d song song với một đgth ∆ và cắt cả 2 đường a, b. - Viết phương trình mp(A,a), đặt là ( α ). - viết phương trình mp(B,a), đặt là ( β ). - Viết PTTS của d là giao tuyến của ( α ), ( β ) - Viết phương trình mp( α ) qua a và song song ∆ . <Bài toán A6’> - Viết phương trình mp ( β ) qua b và song song ∆ . - Viết PTTS của d là giao tuyến của ( α ), ( β ). 10. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b. - Tìm VTCP u r của d <Bài toán B7>.( u r = 1 2 ,u u uur uur với 1 u uur và 2 u uur là VTCP của a,b ). - Viết phương trình mp ( α ) qua a và d < Bài toán A5 >. - Viết phương trình mp ( β ) qua b và d < Bài toán A5 >. - Viết phương trình đgth d là giao tuyến của ( α ),( β ). CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG. 2 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG 5 12. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên mp ( α ). 12. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đgth d. - Viết phtrình đgth d qua A và vuông góc với ( α )(Bài toán B2 ). .A - Tìm toạ độ giao điểm I của d và ( α ) ( Giải hệ gồm phtrình d và ( α ). - Viết phtrình mp ( α ) qua A và vuông góc với d (Bài toán A2 ) - Tìm toạ độ giao điểm I của ( α ) và d ( Giải hệ gồm phtrình ( α ) và d . .A 13. Viết phtrình hình chiếu d’ của đgth d trên mp ( β ). - Viết phtrình mp ( α ) qua d và vuông góc với ( β ) d ( Bài toán A8 ) - d’ là giao tuyến của mp ( α ) và mp ( β ) . - Viết PTTS của d’ ( Bài toán B5 ). CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ SỰ TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 1. Mặt cầu (S) có tâm I ( ) 0 0 0 , ,x y z bán kính R . 2.Mặt cấu (S) có đường kính AB cho trước. Phương trình: ( ) 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 0x x y y z z− + − + − = - Tìm trung điểm của AB là I., I là tâm của mặt cầu. - Tính độ dài IA=R. - Làm tiếp như bài toán 1. 3. Mặt cầu (S) qua 4 điểm A,B.C,D không đồng phẳng cho trước. - Gọi phương trình mặt cầu là 2 2 2 2Ax 2 2 0x y z By Cz D+ + + + + + = (1) - Do A, B.C.D thuộc (S) nên thế toạ độ từng điểm vào (1) sẽ thoả, cho ta môt hệ phương trình 4 ẩn A,B,C,D (2). - Giải hệ (2) được A,B,C.D. ( Mặt cầu (S) có tâm I (-A,-B,-C) và bán kính 2 2 2 R A B C D= + + − ) 4. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mp (P) và đi qua 3 điểm A, B, C cho trước. 4’. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đgth d cho trước và đi qua 2 điểm A, B cho trước. - I cách đều A,B,C nên I thuộc trục d của ABC∆ . Viết phương trình trục d = ( ) ( ) α β ∩ , với ( α ),( β ) lần lượt là mp trung trực của AB và AC .<Viết phương trình ( α ),( β ) và PTTS của d (quy về bài toán A2, B5) .> - I là giao điểm của mp(P) và d : tìm toạ độ I bằng cách giải hệ gồm phương trình của (P) và d. I C A B - I cách đều A,B nên I thuộc mp trung trực ( α ) của AB. Viết phương trình ( α ) ( Bài toán A2) - I là giao điểm của d và ( α ), tìm toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình d và ( α ). d I A B B. TIẾP DIỆN, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU. 3 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG d’ 5 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẰU CÓ TÂM I VÀ TIẾP XÚC VỚI MP( α ) 1’. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM I VÀ TIỀP XÚC VỚI ĐGTH ∆ . - Tính khoảng cách từ I đến ( α ) : d(I, α ) - Bán kính mặt cầu R = d(I, α ). - Giải tiếp như bài A1. - Tính khoảng cách từ I đến ( ∆ ) : d(I, ∆ ) - Bán kính mặt cầu R = d(I, ∆ ). - Giải tiếp như bài A1. 2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU TẠI TIẾP ĐIỂM A CHO TRƯỚC. 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU SONG SONG MẶT PHẲNG ( α )CHO TRƯỚC. - Tìm toạ độ tâm I của mặt cầu. - Tiếp diện ( α ) đi qua A, và có VTPT là IA uur . Giải tiếp như bài toán A2. - Tìm toạ độ tâm I , bán kính R của mặt cầu. - Giả sử ( α ) có phương trình Ax +By +Cz +D = 0 ,thì tiếp diện ( β ) có phương trình Ax +By +Cz +D’ = 0 (1) - Theo điều kiện đề : d(I, β ) = R ; giải tìm D’. - Thế vào (1) được phương trình tiếp diện ( β ). BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ MẪU – THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2008 – 2009 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2x y x 1 − = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Câu II. (3,0 điểm) 1. Giải bất phương trình: 1 2 2x 1 log 0 x 1 − < + 2. Tính tích phân: 2 0 x I (sin cos 2x)dx 2 π = + ∫ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x – e 2x trên đoạn [−1 ; 0] Câu III. (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IVa. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0. 1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P). Câu Va. (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i) 3 2. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình : x 2 y 1 z 1 2 1 − − = = . 1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d. 2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. Câu Vb. (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác của số phức: z = 1 – 3 i. 4 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG Trích từ cuốn Cấu trúc đề thi của NXB Giáo Dục 5 5 Biên soạn: Thầy LÊ BÁ TÒNG . 5 HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG , ĐƯỜNG THẲNG . MẶT PHẲNG (A) ĐƯỜNG THẲNG (B) 1.Mp. B5) .> - I là giao điểm của mp(P) và d : tìm toạ độ I bằng cách giải hệ gồm phương trình của (P) và d. I C A B - I cách đều A,B nên I thuộc mp trung trực ( α ) của AB. Viết phương. Do A, B.C.D thuộc (S) nên thế toạ độ từng điểm vào (1) sẽ thoả, cho ta môt hệ phương trình 4 ẩn A,B,C,D (2). - Giải hệ (2) được A,B,C.D. ( Mặt cầu (S) có tâm I (-A,-B,-C) và bán kính 2 2 2 R