tổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳngtổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳngtổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳng
Chuyên đề: phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình và hệ bất phơng trình Biên soạn :trịnh xuân tình Phần I: Phơng trình vô tỉ Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/ ( ) ( ) f x g x= ( ) ( ) ( ) 2 g x 0 f x g x = 2/ ( ) ( ) ( ) f x g x h x+ = Bình phơng hai vế 1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23+ = 2-(ĐH Cảnh sát -1999) 2 2 x x 11 31+ + = 3-(HVNHHCM-1999) 2 x 4x 2 2x + + = 4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt: 2 m x 3x 2 x + = 5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 x mx 2 2x 1+ + = + 6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1 3x 2 x 1 0 = 7-(ĐHSP 2 HN) ( ) ( ) 2 x x 1 x x 2 2 x + + = 8-(HVHCQ-1999) x 3 2x 1 3x 2+ = 9-(HVNH-1998) 3x 4 2x 1 x 3+ + = + 10-(ĐH Ngoại thơng-1999) 2 2 3 x x 2 x x 1 + + = Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ: I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ: Dạng 1: Pt dạng: 2 2 ax bx c px qx r+ + = + + trong đó a b p q = Cách giải: Đặt 2 t px qx r= + + ĐK t 0 1-(ĐH Ngoại thơng-2000) ( ) ( ) 2 x 5 2 x 3 x 3x+ = + 2-(ĐH Ngoại ngữ -1998) ( ) ( ) 2 x 4 x 1 3 x 5x 2 6+ + + + = 3-(ĐH Cần thơ-1999) 2 (x 1)(2 x) 1 2x 2x+ = + 1 4- 2 2 4x 10x 9 5 2x 5x 3+ + = + + 5- 3 2 2 18x 18x 5 3 9x 9x 2− + = − + 6- 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = D¹ng 2: Pt D¹ng: P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0α +β + γ = ( ) 0 αβγ ≠ C¸ch gi¶i: * NÕu ( ) P x 0 = ( ) ( ) P x 0 pt Q x 0 = ⇒ ⇔ = * NÕu ( ) P x 0 ≠ chia hai vÕ cho ( ) P x sau ®ã ®Æt ( ) ( ) Q x t P x = t 0≥ 1-(§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − 2- ( ) 2 3 2 x 3x 2 3 x 8− + = + 3- ( ) 2 3 2 x 2 5 x 1+ = + D¹ng 3: Pt D¹ng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 P x Q x P x Q x 2 P x .Q x 0 0 α + +β ± ± α + γ = α +β ≠ C¸ch gi¶i : §Æt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t P x Q x t P x Q x 2 P x .Q x= ± ⇒ = + ± 1-(§HQGHN-2000) 2 2 1 x x x 1 x 3 + − = + − 2-(HVKTQS-1999) 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − + 3-(Bé quèc phßng-2002) 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16+ + + = + + + − 4- 2 4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16+ + + = + + + − 5-(C§SPHN-2001) 2 x 2 x 2 2 x 4 2x 2− − + = − − + D¹ng 4 : Pt D¹ng: ( ) ( ) a cx b cx d a cx b cx n+ + − + + − = Trong ®ã a,b,c,d,n lµ c¸c h»ng sè , c 0,d 0> ≠ C¸ch gi¶i : §Æt ( ) t a cx b cx( a b t 2 a b= + + − + ≤ ≤ + 1-(§H Má-2001) 2 2 x 4 x 2 3x 4 x + − = + − 2- ( ) ( ) 3 x 6 x 3 x 6 x 3+ + − − + − = 2 3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt: ( ) ( ) x 1 3 x x 1 3 x m+ + + = a/ Giải pt khi m 2= b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm 4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a+ + + + = a/Gpt khi a 3= b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm 5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm x 1 3 x (x 1)(3 x) m + + = 6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 4 x (x 1)(4 x) 5+ + + + = Dạng 5: Pt dạng: 2 2 x a b 2a x b x a b 2a x b cx m+ + + + = + Trong đó a,b,c, m là hằng số a 0 Cách giải : Đặt t x b= ĐK: t 0 đa pt về dạng: 2 t a t a c(t b) m+ + = + + 1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1 + = 2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 x 2 x 1 2+ = 3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + + = 4-(ĐH Thuỷ sản -2001) x 5 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 + + + + + + + = 5- x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2 + + + = 6- Xét pt: x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + + = a/ Giải pt khi m 23= b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số : 1- ( ) 2 2 6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0 + + = 2-(ĐH Dợc-1999) ( ) 2 2 x 3 10 x x x 12+ = 3-(ĐH Dợc-1997) ( ) 2 2 2 1 x x 2x 1 x 2x 1 + = 3 4- ( ) 2 2 4x 1 x 1 2x 2x 1 + = + + 5- ( ) 2 2 2 1 x x x 1 x 3x 1 + + = 6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) 2 2 x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + + III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt: Dạng 1: Pt Dạng: n n x a b bx a+ = Cách giải: Đặt n y bx a= khi đó ta có hệ: n n x by a 0 y bx a 0 + = + = 1-(ĐHXD-DH Huế-1998) 2 x 1 x 1 = + 2- 2 x x 5 5+ + = 3- 2 x 2002 2002x 2001 2001 0 + = 4- (ĐH Dợc-1996) 3 3 x 1 2 2x 1+ = Dạng 2: Pt Dạng: ( ) 2 ax b r ux v dx e+ = + + + trong đó a,u, r 0 Và u ar d, v br e= + = + Cách giải: Đặt uy v ax b+ = + khi đó ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 uy v r ux v dx e ax b uy v + = + + + + = + 1-(ĐHCĐ KD-2006) 2 2x 1 x 3x 1 0 + + = 2- 2 2x 15 32x 32x 20+ = + 3- 2 3x 1 4x 13x 5+ = + 4- 2 x 5 x 4x 3+ = 5- 2 x 2 x 2= + 6- 2 x 1 3 x x = + Dạng 3: PT Dạng: ( ) ( ) n m a f x b f x c + + = Cách giải: Đặt ( ) ( ) n m u a f x , v b f x= = + khi đó ta có hệ: n m u v c u v a b + = + = + 1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1 x 1 = 2- 3 3 x 34 x 3 1+ = 3- 3 x 2 x 1 3 + + = 4- 4 4 97 x x 5 + = 5- 4 4 18 x x 1 3 + = Ph ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp: Dạng 1: Pt Dạng: ( ) ( ) f x a f x b+ = 4 Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) f x a f x b f x a f x a b + = + = m 1- 2 2 4x 5x 1 4x 5x 7 3+ + + + + = 2- 2 2 3x 5x 1 3x 5x 7 2+ + + = 3- 3- (ĐH Ngoại thơng-1999 ) 2 2 3 x x 2 x x 1 + + = 4-(ĐH Thơng mại-1998) 2 2 x 3x 3 x 3x 6 3 + + + = 5-(HVKTQS-2001) 1 1 1 x 4 x 2 x 2 x + = + + + + + Dạng 2: Pt Dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x m f x g x = 1-(HVBCVT-2001) x 3 4x 1 3x 2 5 + + = 2-(HVKTQS-2001) 3(2 x 2) 2x x 6+ = + + Ph ơng pháp 4:Ph ơng pháp đánh giá: 1- 2 x 2 4 x x 6x 11 + = + 2- 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 2+ + + = + 3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) 2 4x 1 4x 1 1 + = 4-(ĐH Nông nghiệp-1999) 2 x 2x 5 x 1 2 + + = Ph ơng pháp 5:Ph ơng pháp đk cần và đủ: 1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x 2 x m+ = 2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 9 x m + = 3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 4 x 1 x x 1 x m+ + + = Ph ơng pháp 6: Ph ơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm) 1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm : ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ + = + + 2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm : 1*/ 2 4 x mx m 2 = + 2*/ x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + = + 3 (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1 + + = 4-(ĐHCĐKB-2007) CMR m 0 > pt sau có 2nghiệm pb: 2 x 2x 8 m(x 2)+ = 5 5- 1*/ x x 5 x 7 x 16 14+ + + + + = 2*/ 3 x 1 x 4x 5 = + 3*/ 2 2x 1 x 3 4 x + + = 6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: 2 2 x 2x 4 x 2x 4 m+ + + = Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản: 1/ 2 g(x) 0 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g (x) < > > 2/ 2 g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) g (x) < < < 3/ f (x) g(x) h(x) Bình phơng hai vế bpt 1-(ĐHQG-1997) 2 x 6x 5 8 2x + > 2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x 3-(ĐH Luật 1998) 2 x 2x 1 1 x + > 4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x) x 2+ > 5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5 x 4 x 3+ + > + 6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1 x 1 2x 4 > 7-(ĐH Ngoai thơng-2000) x 3 2x 8 7 x+ + 8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2 3 x 5 2x+ < 9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 4x 1 3 x 10-(ĐHBK -1999) x 1 3 x 4+ > + 11-(ĐHCĐ KA-2004) 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 + > Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng 6 1/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) > > > hoặc f (x) 0 g(x) 0 < < 2/ f (x) 0 f (x) 0 g(x) 0 g(x) > < < hoặc f (x) 0 g(x) 0 < > Lu ý: 1*/ 2 B 0 A 1 B A B > > > 2*/ B 0 A 1 A 0 B < < hay 2 B 0 A 0 A B > < 1-(ĐHTCKT-1998) 2 51 2x x 1 1 x < 2-(ĐHXD) 2 3x x 4 2 2 x + + + < 3-(ĐH Ngoại ngữ -1998) 2 1 1 4x 3 x < 4-(ĐHSP) 2 x 4x 3 2 x + Ph ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp: 1-(ĐHSP Vinh-2001) ( ) 2 2 x x 4 1 1 x > + + 2-(ĐH Mỏ-1999) ( ) 2 2x x 21 3 9 2x 2 < + + 3- 2 2 4(x 1) (2x 10)(1 3 2x) + < + + Ph ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế : 1-(ĐH An ninh -1998) 2 2 2 x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ + + + 2-(ĐHBK-2000) 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + + + 3-(ĐH Dợc -2000) 2 2 2 x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18 + + + + 4-(ĐH Kiến trúc -2001) 2 2 x 4x 3 2x 3x 1 x 1 + + Ph ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ: 1-(ĐH Văn hoá) 2 2 5x 10x 1 7 x 2x+ + 2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000) 2 2 2x 4x 3 3 2x x 1+ + > 3-(HV Quan hệ qt-2000) 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + + 7 4-(ĐH Y-2001) 2 2 2x x 5x 6 10x 15+ > + 5-(HVNH HCM-1999) 2 2 x(x 4) x 4x (x 2) 2 + + < 6-ĐH Thái nguyên -2000) 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + < + 7-(ĐH Thuỷ lợi) 2 1 4 x 2x 2 2x x + < + + 8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x 1 x 2 x 1 3 2+ + > 9- Cho bpt: 2 4 (4 x)(2 x) x 2x a 18 + + a/ Giải bpt khi a 6= b/Tìm a để bpt nghiệm đúng [ ] x 2;4 10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra : 2 (4 x)(6 x) x 2x m+ + trên [ ] 4;6 Ph ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số: 1-(ĐH An ninh-2000) 2 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + + + < 2- 2 x x 7 2 x 7x 35 2x+ + + + < 3- 2 x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x+ + + + + + < 4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2 16 4x m + b/ 2 2x 1 m x+ Phần III: Hệ Phơng trình A- một số hệ pt bậc hai cơ bản I-hệ pt đối xứng loại 1 1*/ Đ ịnh nghĩa : f (x; y) 0 g(x; y) 0 = = Trong đó f (x; y) f (y;x),g(x; y) g(y;x)= = 2*/ Cách giải: Đặt S x y, P xy= + = ĐK: 2 S 4P Dạng 1: Giải ph ơng trình 8 1-(§HQG-2000) 2 2 x y xy 11 x y 3(x y) 28 + + = + + + = 2- x y y x 30 x x y y 35 + = + = 3-(§HGTVT-2000) 2 2 x y xy 11 x y y x 30 + + = + = 4-(§HSP-2000) 2 2 4 4 2 2 x y xy 7 x y x y 21 + + = + + = 5- (§H Ngo¹i th¬ng-1997) 2 2 2 2 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 9 x y + + + = + + + = 6-(§H Ngo¹i th¬ng -1998) 2 2 4 2 2 4 x y 5 x x y y 13 + = − + = 7-(§HC§KA-2006) x y xy 3 x 1 y 1 4 + − = + + + = D¹ng 2: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm: 1-(§HC§KD-2004) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: x y 1 x x y y 1 3m + = + = − 2- T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: 2 2 x y xy a x y a + + = + = 3-Cho hÖ pt: 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m + + + = + + = a/ Gi¶i hÖ khi m 12= b/ T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 4-Cho hÖ pt: 2 2 x xy y m 1 x y y x m + + = + + = a/ Gi¶i hÖ khi m=-2 b/ T×m m ®Ó hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ( ) x; y tho¶ m·n x 0, y 0> > 9 5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm: ( ) 2 2 2 x y 2(1 m) x y 4 + = + + = 6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y + + + = + + + = Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất. 1-(HHVKTQS-2000) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2 x y xy m 2 x y y x m 1 + + = + + = + 2-(ĐHQGHN-1999) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 x xy y 2m 1 xy(x y) m m + + = + + = + 3- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 2 x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2) + = + + + = + Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số : Nếu ba số x, y,z thoả mãn x y z p, xy yz zx q, xyz r+ + = + + = = thì chúng là nghiệm của pt: 3 2 t pt qt r 0 + = 1-Giải các hệ pt sau : a/ 3 3 3 x y z 1 xy yz zx 4 x y z 1 + + = + + = + + = b/ 2 2 2 3 3 3 x y z 1 x y z 1 x y z 1 + + = + + = + + = c/ x y z 9 xy yz zx 27 1 1 1 1 x y z + + = + + = + + = 2- Cho hệ pt: 2 2 2 x y z 8 xy yz zx 4 + + = + + = Giả sử hệ có nghiệm duy nhất CMR: 8 8 x, y,z 3 3 II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2 10 [...]... nhất: 2 xy + y = m(x 1) x 2 + y = axy + 1 3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2 y + x = axy + 1 III - Hệ phơng trình đẳng cấp: */ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng */ Cách giải: Đặt x = ty */ Lu ý: Nếu (a; b) là nghiệm của hệ thì Dạng 1: Giải phơng trình: ax 2 + bxy + cy 2 = d (b;a) cũng là nghiệm của pt 2x 2 + 3xy + y 2 = 12 1-(ĐHPĐ-2000) 2-(ĐHSP Tphcm-2000) 2 2 x... 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ: 13 x y 7 + = +1 x xy (x > 0, y > 0) 3-(ĐH Hàng hải-1999) y x xy + y xy = 78 x +1 + y +1 = 3 4-(ĐH Thuỷ sản-2000) x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = 6 Phần:IV Hệ Bất Phơng trình A- Hệ bpt một ẩn số: f1 ( x ) > 0(1) (I) Gọi S1 ,S2 Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2) f 2 (x) > 0(2) S là tập nghiệm của (I) S = S1 S2 Tìm m để hệ sau có nghiệm: x 2 (m + 2)x + 2m < 0 ... lớn nhất x + y = 1 6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 3 x y = m(x y) Phơng pháp 2: phơng pháp biến đổi tơng đơng: xy 3x 2y = 16 1-(ĐHGTVT TPHCM-1999) HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau x + y 2x 4y = 33 x + xy + y = 1 2-(ĐHThơng mại-1997) y + yz + z = 4 3-(ĐHBKHN-1995) z + zx + x = 9 2 2 x + y + z = 7 2 2 2 x + y + z = 21 2 xz = y y + xy 2 = 6x 2 4-(ĐHSPHN-2000)... = g(x; y) g(x; y) = 0 f (x; y) g(x; y) = 0 (x y)h(x; y) = 0 2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) = 0 f (x; y) = 0 x y = 0 h(x; y) = 0 hay f (x; y) = 0 f (x; y) = 0 1*/ Định nghĩa Dạng 1: Giải phơng trình: y x 3y = 4 x 1-(ĐHQGHN-1997) y 3x = 4 x y 1 3 2x + = y x 3-(ĐHQGHN-1999) 2y + 1 = 3 x y 5-(ĐH Văn hoá-2001) x 3 = 3x + 8y 2-(ĐHQGHN-1998) 3 y = 3y + 8x x 3 + 1 = 2y 4-(ĐH