đề thi hsg năm 2010-2011

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CUMGAR NĂM HỌC 2010-2011 Bài 1: a, Rút gọn : 3 2 6 3 ( 1)( 3) ( 1) 3 x x x x A x x x x − − + = − − + − + − ĐK: 0; 9x x≥ ≠ 3 2( 3)( 3) ( 3)( 1) ( 1)( 3) 3 8 24 8 ( 1)( 3) 1 x x x x x x A x x x x x x x x x x − − − − − + + = + − − + − + = = = + − + Thay x = 4 vào ta có A= 4 b, Ta có : 8 9 1 1 1 1 1 0 9 1 3 2 1 1 9 8 x A x x x x x A Z Z x x x x x + = = − + + +   + = =     ∈ ⇔ ∈ ⇔ + = ⇔ =   +   + = =     0 4 64 x x x =   ⇔ =   =  x = 0; x = 4; x = 64 (TMĐK ). Vậy để A nguyên thì x = 0; x = 4; x = 64 Bài 2 : Giair pt: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + ĐK: 3 2 x ≥ − [ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 (2 3) 2 2 3 1 1 2 3 1 0 1 0 1 2 3 1 0 x x x x x x x x x  ⇔ + + = − + − + +  ⇔ + + + − = + =   ⇔ ⇔ = −  + − =   x = -1 ( TMĐK ) . Vậy nghiệm của pt là x= -1. Bài 3: a, Chứng tỏ phân số 2 3 ( ) 5 7 n n N n + ∈ + tối giản. Gọi (2n + 3; 5n + 7 ) = d . Ta có: 2 3 10 15 10 15 (10 14) 5 7 10 14 1 1 n d n d n n d n d n d d d + +   ⇔ ⇔ + − +   + +   ⇔ = M M M M M M Vậy 2 3 ( ) 5 7 n n N n + ∈ + tối giản. b, Với x> 0; y > 0 Ta có : 5 2 3 2 3 2 3 2 3 5 5 5 5 . . . . 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 5 5 1 1 108 108 108 108 x x y y y x x y y y x y x y x y x y x y = + = + + + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Dấu (= ) xẩy ra khi 2; 3 2 3 5 x y x y x y  =  ⇔ = =   + =  Vậy max A = 108 khi x=2; y=3 Bài 4. I C A D B K E F Chứng minh EA là phân giác của góc DEI Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BI. Ta có OIK ∆ ABI ADK∆ = ∆ (c.g.c) Suy ra: AI = AK; · · BAI DAK= . Vì góc BAD = 90 0 nên góc BAI + góc DAE = 45 0 Do đó KAD + góc DAE = 45 0 nên góc KAE = 45 0 , suy ra KAE IAE∆ = ∆ ( cgc) · · AEK AEI⇒ = vậy EA là phân giác của góc DEI. Bài 5. d I H K M O A B C a, Chứng minh AC // MO ( chứng minh AC và MO cùng vuông góc với AB ). b, Chứng minh OI.OH = OM.OK OIK ∆ đồng dạng với OMH ∆ ( gg) suy ra đpcm. c, Xác định vị trí của M để AB nhỏ nhất. Theo cmt ta có OI.OH = OM.OK mà OM.OK=OA 2 = R 2 ( hệ thức trong tam giác vuông) Suy ra OI.OH = R 2 (không đổi) mà OH không đổi do đó OI không đổi. Vậy I cố định trên AB. Dây đi qua I là ngắn nhất khi dây đó vuông góc với OI tại I do đó AB nhỏ nhất khi AB vuông góc với OI tại I, khi đó M trùng với H hay M là hình chiếu của O trên d. ( GV : Hoàng Nghĩa Quang- THCS Lương Thế Vinh) . GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CUMGAR NĂM HỌC 2010-2011 Bài 1: a, Rút gọn : 3 2 6 3 ( 1)( 3) ( 1) 3 x x x x A x x x x −