Đề - ĐA HSG 10 - 2010 - 2011

Sở GD Đt Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc 4 *** Đề thi học sinh giỏi trờng môn toán khối 10 năm học 2010 2011 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Câu I: (6 điểm) Cho phơng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 3 4 2 2x m x m x m mx m + + = 1.Giải phơng trình với m = 1 2.Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm dơng phân biệt. Câu II: (6 điểm) 1. Giải bất phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 4 8 4x x x x x 2. Giải hệ phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 x y x y y x y y x + = = Câu III: ( 6 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy . Cho tam giác ABC có đỉnh (4; -2). Đờng phân giác trong và đờng trung tuyến kẻ từ A có phơng trình lần lợt là: ( ) ( ) : 2 3 12 0; : 2 3 0 A l x y x y + = + = Xỏc nh ta cỏc nh của tam giác ABC. 2. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2 2 2 2 9a b c R+ + = . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều ( a, b, c là độ dài 3 cạnh, R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Câu IV: ( 2 điểm) Cho x,y,z là 3 số dơng thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2011.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy yz zx z x y + + Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh: Sở GD Đt Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc 4 *** đáp án và thang điểm thi học sinh giỏi MÔN TOáN 10 năm học 2010 2011 *** Câu ý Nội dung điểm I 6,0đ I.1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 2 0( ) 1 ( 3) 2( 3) 2 0(2) + = = = + + = pt x m x m x m I x f x m x m x m 1,5 m =1 Pt (2) trở thành 2 2 4 2 0 1 2; 1 2x x x x + = = + = Vậy với m=1 Pt (I) có 4 nghiệm 1; 1; 1 2; 1 2x x x x= = = + = 1,5 I.2 Để PT (I) có dúng 2 nghiệm dơng phân biệt PT (2) có đúng 1 nghiệm dơng 1 0,5 TH1: m=3 thì (2) 6 0 = 6 0 3m = = không thỏa mãn 0,5 TH2: ( ) , 2 3, 9 , 1 5 9 = = m m f m 0,5 KN1: (2) có nghiệm: , 1 2 0 1 0 3 1 2 x x m b a = = > = 0,5 KN2: (2) có nghiệm 1 2 0 m 3 P 0 x 0 x 1 9 f(1) 0 m 5 < < < < < 0,5 KN3: (2) có nghiệm 1 2 0 1x x < < = , Không xảy ra do 1 2 1 0x x + = < Vậy { } ( ) 9 3 0;3 \ 5 m 0,5 II 6,0đ II.1 ( ) ( ) 2 2 6 8 9 8 4 + + bpt x x x x (3) 0,5 0x = không phải là nghiệm 0,5 0x , phơng trình (3) 8 8 6 9 4x x x x + + ữ ữ 0,5 Đặt 8 x t x + = , điều kiện 4 2t (*) Bpt trở thành: 2 15 50 0 5 10t t t + , kết hợp (*) ta đợc: 8 4 2 10 4 2 10 5 17 5 17t x x x + + 1,0 Kl: nghiệm của BPT là: 5 17;5 17x + 0,5 II.2 đk: 1 (**) 0 x y 0,5 HPT ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0(4) 2 2 1 2 (5) x x y y y x y y x + + + + = = Giải (4) xem nh phơng trình bậc hai đối với ẩn x ta đợc: 1 2 x y x y = = + 1,0 Với x=-y loại do (**) 0,5 Thay x=1+2y vào (5) ta có: ( ) ( ) ( ) 2 5 1 2 2 2 2 2 1 1 y x y y y y y x = = + = = = kết hợp (**) ngiệm của HPT là: (x;y) = ( 5;2) 1,0 III 6,0đ 1.Do ( ) ( ) ( ) 4;2 ; a l . Giả sử B(-4;2) 0,5 Tọa độ A thỏa mãn ( ) 2 3 12 0 3;2 2 3 0 x y A x y + = + = 1.0 Gọi 1 B là điểm đối xứng với B qua ( ) a l thì 1 B AC . Tìm đợc ( ) 1 4;10B 1,0 Dựng hình bình hành BACD trong đó AD là đơng chéo. PT đờng thẳng BD: 8x+y-30 =0 Tọa độ D thỏa mãn ( ) 8 30 0 3; 6 2 3 12 0 x y D x y + = + = Phơng trình AC: 8x+y+22=0 Phơng trình DC: 4x+7y -54=0 ( ) 4;10C Vậy A(-3;2); B(4;-2); C(-4;10) 1,5 2.Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 a b c a b c m m m + + + + = . Nên giả thiết ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 9 3 4 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) 3 9 3 3 3 3 + + = + + = + + = + + = = + + a b c a b c a b c m m m R m m m R m m m R GA GB GC R OA OB OC ( G, O lần lợt là trọng tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0AG AO BG BO CG CO OG GA GB GC OA OB OC + + = + + + + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 3 0OG OG O O G = = uuur uuur ur . Vậy ABC là tam giác đều 2,0 IV 2,0 đ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x z z y P x y z z y x = + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.2011 x y x z z y z y x + + + Ta có, theo BĐT Cosi: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x z z y x y z z y x + + + + . Nên 2 3.2011 3.2011P P . Vậy GTLN của P bằng 3.2011 đạt đợc khi x=y=z= 2011 3 2,0 . thẳng BD: 8x+y-30 =0 Tọa độ D thỏa mãn ( ) 8 30 0 3; 6 2 3 12 0 x y D x y + = + = Phơng trình AC: 8x+y+22=0 Phơng trình DC: 4x+7y -5 4=0 ( ) 4;10C Vậy A (-3 ;2); B(4 ;-2 ); C (-4 ;10) 1,5 2.Ta. Đt Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc 4 *** Đề thi học sinh giỏi trờng môn toán khối 10 năm học 2 010 2011 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Câu I: (6 điểm) Cho phơng trình: (. Đt Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc 4 *** đáp án và thang điểm thi học sinh giỏi MÔN TOáN 10 năm học 2 010 2011 *** Câu ý Nội dung điểm I 6,0đ I.1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 2 0( ) 1 ( 3)