HÌNH TAM GIÁC (4 tiết) I/MỤC TIÊU: - Học sinh nắm được cách tính chu vi, diện tích hình tam giác. - Học sinh biết vận dụng tính chất diện tích hình tam giác vào giải toán. II/ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC: 1.Lý thuyết : - Cách tính chu vi hình tam giác: C = a + b + c (a,b,c là độ dài các cạnh) - Cách tính diện tích hình tam giác: S = a x h : 2 (a là độ dài cạnh đáy; h là độ dài chiều cao ) - Cách tính chiều cao khi biết diện tích và đáy: h = S x 2 : a - Cách tính đáy khi biết diện tích và chiều cao: a = S x 2 : h - Trong tam giác: Diện tích tỉ lệ thuận với chiều cao và cạnh đáy. - So sánh diện tích 2 hình tam giác ta cần lưu ý đến chiều cao và cạnh đáy của 2 hình tam giác đó. - Hai hình tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chiều cao cũng bằng nhau thì diện tích cũng bằng nhau. - Hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau, cạnh đáy hình này gấp cạnh đáy hình kia bao nhiêu lần thì diện tích hình tam giác này gấp diện tích hình tam giác kia bấy nhiêu lần. Ví dụ: - Cho hình tam giác có a = 5; h = 4 S = 5 x 4 : 2 = 10 - Giữ nguyên a = 5 tăng h = 8 S = 5 x 8 : 2 = 20 - Tăng a = 15; giữ nguyên h = 4 S = 15 x 4 : 2 = 30 2.Thực hành giải toán : Bài 1: Một hình tam giác có 3 cạnh không bằng nhau. Biết tổng của cạnh thứ nhất với cạnh thứ hai là 120 cm, cạnh thứ hai và cạnh thứ ba là 160 cm, cạnh thứ nhất và cạnh thứ ba là 140 cm. Tính độ dài mỗi cạnh ? Hướng dẫn: Gọi a,b,c là độ dài cạnh. a + b = 120 b + c = 160 (a + b + c ) = (120 + 160 + 140 ) : 2 = 210 (cm) c + a = 140 Vậy: c = 210 – 120 = 90 (cm) b = 160 – 90 = 70 (cm) a = 140 – 90 = 50 (cm) Bài 2: Hình chữ nhật ABCD, có chiều dài AB là 14,5cm, chiều rộng kém hơn chiều dài 2,3cm. Trên cạnh AB, người ta lấy một điểm M. a)Tính diện tích hình tam giác MCD. b) Nếu M di chuyển đến một điểm khác trên AB thì diện tích hình tam giác MCD sẽ như thế nào? Hướng dẫn: 1 Chiều rộng hình chữ nhật cũng là chiều cao của hình tam giác MCD: 14,5 – 2,3 = 12,2 (cm) Diện tích hình tam giác MCD là: 14,5 × 12,2 : 2 = 88,45 (cm 2 ) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AB thì diện tích hình tam giác MCD vẫn không đổi. Vì nó cũng có đáy bằng chiều dài và đường cao chính là chiều rộng của hình chữ nhật ABCD. Bài 3: Cho hình tam giác ABC có đáy BC = 35 cm. Nếu kéo dài BC thêm 5 cm thì diện tích sẽ tăng thêm 30cm 2 . Tính diện tích hình tam giác ABC ? Hướng dẫn: A 30 cm 2 B 35 cm C 5cm D Cách 1: Chiều cao hạ từ A xuống BD: 30 x 2 : 5 = 12 (cm) S ABC = 35 x 12 : 2 = 210 (cm 2 ) Cách 2: Nhận xét: Tam giác ABC và ACD có chung chiều cao hạ từ A ; Đáy BC gấp đáy CD 7 lần (35 : 5 = 7) S ABC = S ACD x 7 = 30 x 7 = 210 (cm 2 ) Lưu ý: Hai tam giác có chung chiều cao thì diện tích sẽ tỉ lệ thuận với độ dài đáy. Bài 4: Cho hình tam giác ABC có diện tích 24 cm 2 và cạnh AB dài 16 cm,cạnh AC dài 10 cm , kéo dài AB và AC về phía B và C, trên đó lấy BM = CN = 2 cm. Tính diện tích tứ giác BMNC. Hướng dẫn: 2 A B C D M Cách 1: CH = 24 x 2 : 16 = 3 ( cm) S BCM = 2 x 3 : 2 = 3 (cm 2 ) S ACM = 24 + 3 = 27 (cm 2 ) Chiều cao MK = 27 x 2 : 10 = 5,4 (cm) S CMN = 2 x 5,4 : 2 = 5,4 (cm 2 ) S BMNC =3 + 5,4 = 8,4 (cm 2 ) Cách 2: Vì 16 2 = 8 1 nên S BCM = 24 x 8 1 = 3(cm 2 ) S ACM = 24 + 3 = 27 (cm 2 ) Vì 10 2 = 5 1 nên S CMN = 27 x 5 1 = 5,4(cm 2 ) S BMNC =3 + 5,4 = 8,4 (cm 2 ) Bài 5 : Cho tam giác ABC, D là điểm chính giữa cạnh BC, E là điểm chính giữa cạnh EC. AD và BE cắt nhau tại I. Hãy so sánh diện tích hai tam giác IAE và IBD ? Hướngdẫn: A H B M N C K A B C E D I 3 -S ABD = S ACD = 2 1 S ABC (BD = CD và có chung chiều cao hạ từ A) -S ABE = S CBE = 2 1 S ABC (AE = CE và có chung chiều cao hạ từ B) S ABD = S ABE - S IAE = S ABE - S ABI - S IBD = S ABD - S ABI S IAE = S IBD III/ Bài tập về nhà: Bài 1: Chu vi một hình tam giác là 28dm. Biết một cạnh bé hơn tổng 2 cạnh kia là 8dm. Hai cạnh còn lại chúng hơn kém nhau 6dm. Tìm số đo mỗi cạnh. Hướng dẫn Ta có sơ đồ: Hai cạnh: Một cạnh: Số đo hai lần cạnh thứ nhất: 28 – 8 = 20 (dm) Số đo cạnh thứ nhất: 20 : 2 = 10 (dm) Tổng số đo hai cạnh còn lại: 28 : 10 = 18 (dm) Ta có sơ đồ: Cạnh thứ hai: Cạnh thứ ba: Số đo hai lần cạnh thứ ba: 18 – 6 = 12 (dm) Số đo cạnh thứ ba: 12 : 2 = 6 (dm) Số đo cạnh thứ hai: 18 – 6 = 12 (dm) Đáp số: 10 dm ; 12 dm và 6 dm. Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 283,5cm 2 . M là một điểm trên AC và cách C một đoạn bằng 3 1 AC. Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy BC và cắt cạnh AB tại N. Tính diện tích hình thang MNBC . Hướng dẫn: A N M B C - S BMC = S BNC (Chung đáy BC và chiều cao hạ từ M) - S BMC = 3 1 S ABC (MC = 3 1 AC và chung chiều cao hạ từ B) S BMC = S BNC = 283,5 x 3 1 = 94,5 (cm 2 ) - S ANC = 283,5 – 94,5 = 189 (cm 2 ) 4 8 dm 28 dm 6 dm 18 dm - S MNC = 3 1 S ANC ( MC = 3 1 AC và chung chiều cao hạ từ N ) S MNC = 189 x 3 1 = 63 (cm 2 ) Diện tích hình thang MNBC: 94,5 + 63 = 157,5 (cm 2 ) HÌNH TAM GIÁC (4 tiết) I/MỤC TIÊU: - Học sinh tiếp tục vận dụng các tính chất về diện tích hình tam giác vào giải toán. II/ CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC: 1.Giáo viên cùng học sinh chữa bài tập , ôn các kiến thức về diện tích hình tam giác: - Hai hình tam giác có diện tích bằng nhau, nếu có chiều cao bằng nhau thì cạnh đáy cũng bằng nhau (hoặc nếu có cạnh dáy bằng nhau thì chiều cao cũng bằng nhau). 2. Thực hành giải toán: Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích là 100 cm 2 .Các điểm M, N, P lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CA. Nối MN, NP, PM. Tính diện tích của 4 phần được chia ra từ tam giác ABC. Hướng dẫn: S ABN = S ACN = 2 1 S ABC (BN=CN và chung chiều cao hạ từ A) S AMN = S BMN = 2 1 S ABN ( AM=BM và chung chiều cao hạ từ N) S BMN = 4 1 S ABC Chứng minh tương tự ta có : S CPN = 4 1 S ABC và S AMP = 4 1 S ABC - S MNP = S ABC – ( S BMN + S CPN + S AMP ) = S ABC - ( 4 1 S ABC + 4 1 S ABC + 4 1 S ABC ) A M B N C P 5 = S ABC - 4 3 S ABC = 4 1 S ABC Vậy: S BMN = S CPN = S AMP = S MNP = 100 : 4 = 25 (cm 2 ) Bài 2 : Cho tam giác ABC có góc A vuông, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Lấy điểm M trên AB sao cho AM = 3 2 AB, điểm N trên AC sao cho AN = 4 1 AC, điểm E trên BC sao cho BE = 2 1 BC. Tính diện tích tam giác MNE. Hướng dẫn: - S MNE = S ABC – ( S BME + S ENC + S AMN ) - S ABC = 3 x 4 : 2 = 6 (cm 2 ) - S ABE = S ACE = 2 1 S ABC ( BE = EC và chung chiều cao hạ từ A )= 6 x 2 1 = 3 (cm 2 ) - S BEM = 3 1 S ABE ( BM = 3 1 AB và chung chiều cao hạ từ E )= 3 x 3 1 = 1 (cm 2 ) - S ENC = 4 3 S ACE ( NC = 4 3 AC và chung chiều cao hạ từ E )= 3 x 4 3 = 2,25 (cm 2 ) - S AMN = AM x AN : 2 = 2 x 1 : 2 = 1 ( cm 2 ) Vậy : S MNE = 6 – ( 1 + 2,25 + 1 ) = 1,75 ( cm 2 ) Bài 3: Cho tam giác ABC (hình vẽ )có AM = 3 1 AB; AN = 3 1 AC a) Hãy tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau trong hình vẽ trên ? b) Tính diện tích tứ giác BMNC biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm 2 . A C N E B M 6 Hướng dẫn: a) - S ABN = 3 1 S ABC ( AN = 3 1 AC và chung chiều cao hạ từ B) (1) S ACM = 3 1 S ABC ( AM = 3 1 AB và chung chiều cao hạ từ C) (2) Từ (1) và (2) S ABN = S ACM - S BMN = S ABN - S AMN S CMN = S ACM - S AMN S BMN = S CMN - S BNC = 3 2 S ABC ( NC = 3 2 AC và chung chiều cao hạ từ B) (3) S BMC = 3 2 S ABC ( MB = 3 2 AB và chung chiều cao hạ từ C) (4) Từ (3) và (4) S BNC = S BMC - S CNO = S BNC – S BOC S BMO = S BMC – S BOC S CNO = S BMO b) - S BMC = 3 2 S ABC = 36 x 3 2 = 24 (cm 2) S AMC = 36 – 24 = 12 (cm 2 ) S MNC = 3 2 S AMC ( NC = 3 2 AC và chung chiều cao hạ từ M ) = 12 x 3 2 = 8 (cm 2 ) S BMNC = 24 + 8 = 32 (cm 2 ) Lưu ý: - Hai tam giác có diện tích bằng nhau cùng cộng ( trừ) đi một phần bằng nhau thì phần còn lại sẽ bằng nhau. - Khi so sánh diện tích hai tam giác, nếu các kích thước không có quan hệ thì cần tìm một diện tích trung gian để so sánh. Bài 4: Cho tam giác ABC ( hình vẽ). Biết BPQC là hình thang. a) So sánh S BIP và S CIQ . B C N M O 7 A b) Tính S BPQC biết AP = 3 1 AB và S ABC = 45cm 2 . Hướng dẫn: a)- S BPC = S BQC (Chung đáy BC và có chung chiều cao là chiều cao hình thang BPQC) S BIP = S BPC - S BIC S CIQ = S BQC - S BIC b) S BPC = 3 2 S ABC ( BP = 3 2 AB và chung đường cao hạ từ C ) = 45 x 3 2 = 30( cm 2 ) S BQC = 30 cm 2 S ABQ = S ABC - S BQC = 45 – 30 = 15 (cm 2 ) S BPQ = 3 2 S ABQ ( BP = 3 2 AB và chung đường cao hạ từ Q) = 15 x 3 2 = 10( cm 2 ) S BPQC = S BQC + S BPQ = 30 + 10 = 40 (cm 2 ) Bài 5: Cho tam giác ABC, M là điểm chính giữa BC . Trên đoạn AM lấy điểm G sao cho AG = 2 x GM . BG cắt AC tại N. a) So sánh AN và NC. b) So sánh BG và GN Hướng dẫn: a) S ABM = S ACM ( BM=CM và chung chiều cao hạ từ A) S BGM = S CGM ( BM=CM và chung chiều cao hạ từ G) B C Q P I M A B C N G 8 A S BIP = S CIQ S ABG =S ACG (1) S ABG = 2 x S BGM = S BGC Đường cao hạ từ A xuống BG bằng đường cao hạ từ C xuống BG ( S ABG = S BGC và chung đáy BG) S AGN = S CGN ( chung đáy GN và đường cao hạ từ A và C xuống GN) (2) AN = NC ( S AGN = S CGN và chung chiều cao hạ từ G) b) Từ (1) và (2) S ABG = 2 x S AGN BG = 2 x GN ( Chung chiều cao hạ từ A ) 3.Bài tập về nhà: Bài 1: Cho tam giác ABC . Trên BC lấy điểm M, trên AB lấy điểm N sao cho BM=CM và AN=NB. Đoạn thẳng AM cắt CN tại O. Cho biết AM=24 cm. Tính độ dài OA. Hướng dẫn: S ACN = S BCN ( AN=NB và chung chiều cao hạ từ C ) S AON = S BON ( AN=NB và chung chiều cao hạ từ O ) S AOC = S ACN - S AON S BOC = S BCN - S BON S AOC = S BOC (1) S BOM = S COM ( BM = MC và chung chiều cao hạ từ O ) (2) Từ (1) và (2) S AOC = 2 x S COM S AOC = 3 2 S ACM OA = 3 2 AM ( S AOC = 3 2 S ACM và chung chiều cao hạ từ C) = 24 x 3 2 =16 (cm ) Bài 2: Cho tam giác ABC ( hình vẽ) trong đó AD = DE = EM ; BM = MC. a) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là A, viết tên các tam giác đó. b) Hãy tính diện tích tam giác ABC biết diện tích của tam giác BEC = 100 cm 2 . B M C A N O 9 c) Kéo dài BE cắt AC tại N, chứng tỏ : AN =NC. Hướng dẫn: a) b) S BEM = S CEM = 2 1 S BEC = 50 cm 2 ( ) S BEM = S BDE = S BAD = 50 cm 2 ( ) S CEM = S CDE = S CAD = 50 cm 2 ( ) S ABC = 50 x 6 = 300 (cm 2 ) c) S ABE = S CBE Đường cao hạ từ A xuống BE bằng đường cao hạ từ C xuống BE ( chung đáy BE ) S ANE = S CNE ( Chung đáy NE và chiều cao tương ứng bằng nhau) AN = NC ( S ANE = S CNE và chung chiều cao hạ từ E ) A B M C ND E 10 . chiều cao của hình tam giác MCD: 14,5 – 2, 3 = 12, 2 (cm) Diện tích hình tam giác MCD là: 14,5 × 12, 2 : 2 = 88,45 (cm 2 ) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AB thì diện tích hình tam giác MCD vẫn không. 3 2 = 24 (cm 2) S AMC = 36 – 24 = 12 (cm 2 ) S MNC = 3 2 S AMC ( NC = 3 2 AC và chung chiều cao hạ từ M ) = 12 x 3 2 = 8 (cm 2 ) S BMNC = 24 + 8 = 32 (cm 2 ) Lưu ý: - Hai tam giác. = CN = 2 cm. Tính diện tích tứ giác BMNC. Hướng dẫn: 2 A B C D M Cách 1: CH = 24 x 2 : 16 = 3 ( cm) S BCM = 2 x 3 : 2 = 3 (cm 2 ) S ACM = 24 + 3 = 27 (cm 2 ) Chiều cao MK = 27 x 2 : 10 =