aN BỊ ĐÀ)
DIEU KMIEN TU DONG CAC HE KY THUAT
Tập 1: Mô hình hệ thống điều khiển
Trang 2LÊ ANH TUẦN
DIEU KHIỂN TỰ ĐỘNG CÁC HỆ KỸ THUẬT
Tập 1: Mô hình hệ thống điều khiển
ø Xây dựng mơ hình tốn học cho hệ thống điều khiển
e Các ví dụ minh họa và bài tập được giải bằng MATLAB
Trang 3LOI NOI DAU
Giáo trình Điền khiển tự động các hệ kỹ thuật được dùng cho sinh
viên đại học khối ngành kỹ thuật như: cơ khí, cơ điện tử, tự động hóa Giáo trình được biên soạn trên cơ sở các tài liệu tham khảo mới nhất mà tác
giá có được, Giáo trình gồm hai tập, trình bày bao quát các vấn dé co bản của lý thuyết điều khiển:
Tập 1 Mô hình hệ thống điều khiển
Tập 2 Phân tích & thiết kế hệ thống điều khiển
Tập 1 gồm 5 chương đầu Chương 1 khái quát chung về điều khiển tự
động, lịch sử và xu hướng phát triển của lĩnh vực này, giới thiệu các ví dụ
điển hình về hệ thống điều khiển trong kỹ thuật Chương 2 cung cấp công cụ
toán học cần thiết cho việc phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển: phép
biến đổi Laplace Chương 3 trình bày phương pháp xây dựng mổ hình toán cho hệ thống điều khiển với hai dạng điển hình: hàm truyền và phương trình không gian trạng thái, cách chuyển đổi giữa các dạng mơ hình tốn Chương 4 phân tích đặc tính và các thông số đặc trưng của tín hiệu ra khi hệ chịu tác
dụng của các dạng tín hiệu vào khác nhau Chương 5 trình bày các vấn đề về ẵn định hệ thống điều khiển tuyến tính, cung cấp hai tiêu chuẩn đại số đùng
để nhận biết tính chất ôn định của hệ
Tập 2 gồm 5 chương còn lại Chương 6 giới thiệu phương pháp phân
tích và thiết kế hệ thống điều khiển trong mặt phẳng phức: phương pháp quỹ
đạo nghiệm Chương 7 trình bày các dạng bộ điều khiến thường gặp trong
công nghiệp, tác động của các bộ điều khiển đến tính chất động lực của hệ Chương 8 đi sâu vào thiết kế bộ điều khiển PID (di lệ - tích phân - vi phân)
và các biến thể của nó Thiết kế bộ PID bằng hai phương pháp của Ziegler - Nichols Ứng dụng MATLAB để tìm các tham số tối ưu cho bộ điều khiển
Trang 4đáp ứng của mô hình không gian trạng thái bằng các phương pháp giải tích
Cách nhận biết hai đặc trưng của hệ thống điều khiển: Tính điều khiển được
và quan sát được Chương 10 cung cấp hai phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển hồi tiếp trong không gian trạng thái: Phương pháp gán điểm cực
và phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương LQR Thiết kế hệ thống điều khiển với bộ quan sắt trạng thái.:
Khi biên soạn giáo trình này, tác giả chú trọng lý thuyết điều khiển hiện đại, theö hướng phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển trong miễn thời giản Hầu hết các chương đều có phẩn ứng dụng với MATLAB Tác giả có
gắng viết theo hướng nâng cao kỹ năng thực hành bằng cách cung cấp các ví du minh hoa sau mỗi vấn đẻ lý thuyết Để hiểu sâu hơn lý thuyết, bạn đọc
cần làm thêm bài tập dé nghị ở cuối mỗi chương, hầu hết các bài tập đều có
đáp số, các bài khó có hướng dẫn giải Nhiều ví dụ và bài tập có thể giải
được bằng MATLAB Tuy nhiên, tác giả khuyến khích các em sinh viên
nền giải bài tập bằng tay, sau đó có thể kiểm tra lại kết quả bằng MATLAB
hoặc bằng các phần mềm, ngôn ngữ khác -
Giáo trình được biên.soạn lần đầu, chắc chắn còn nhiều thiểu sót Tác
giả mong muốn nhận được sự góp ý của độc giả để giáo trình hoàn thiện hơn Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Lê Anh Tuấn, Bộ môn Máy
xếp dỡ, Khoa Cơ khí #& Đóng tàu, Đại học Hàng hải, Hải Phòng Email:
anhtuanle1980@vimatu.vn :
Trang 5Chương I
KHAI QUAT CHUNG VE DIEU KHIEN TU DONG 1-1 GIỚI THIỆU CHUNG
Điều khiển tự động có vai trò hết sức quan trọng trơng khoa học và kỹ
thuật Điều khiển tự động được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực, đặc
biệt là trong các hệ kỹ thuật, ví dụ: hệ thống dẫn đường tên lửa, hệ thống
điều khiển máy bay, hệ thống điều khiển rô bốt công nghiệp Máy bay không người lái X-45A (hình 1.1) là một ví dụ điển hình về hệ thống điều
khiển tự động hiện đại, loại máy bay này thường được điều khiển từ mặt đất,
được sử dụng nhiều trong công tác quốc phòng, đo thám, dự báo thời tiết
Một ứng dụng quan trọng khác của điều khiển tự động là rô bốt công nghiệp, tay máy Utah/MIT 18 bậc tự đo (hình 1.2) là sản phẩm hợp tác nghiên cứu của trung tâm thiết kế kỹ thuật thuộc Đại học Utah va phòng thi
nghiệm trí tuệ nhân tạo thuộc Viện kỹ thuật Massachusetts (MIT), Hoa Kỷ:
Tay máy này được điều khiển bởi 5 bộ ví xử lý Motorola 68000 tác động: điều khiển lên 36 cơ cấu chấp hành dạng điện tử - khí nén để điều khiển các
thao tác chuyển động của tay máy Với sự phát triển lý thuyết và kỹ thuật
điều khiển, hầu hết các hệ thống, thiết bị công nghiệp ngày:nay đều được ứng dụng, tích hợp một phần hoặc toàn phần tính tự động hóa '
'' Hình 1,1 Máy bay `” Hình 3,2 Tay máy Utah/MIT18
Trang 6Lý thuyết điều khiển tự động được xây dựng trên nền tảng lý thuyết hồi
tiếp và phân tích hệ thống Ngoài ra, nó còn liên quan đến các khái niệm của
lý thuyết mạng và truyền thông Lý thuyết điều khiển tự động không giới hạn bất kỳ lĩnh vực nào trong kỹ thuật, nó được ứng dụng nhiều trong kỹ
thuật cơ khí, điện - điện tử, hàng không, hóa học, môi trường
Ngày nay, điều khiển tự động là một phần không thể thiếu trong quá trinh sản xuất công, nghiệp: điều khiển số trong các may công cụ, điều khiển tự động trong các đây chuyển sản xuất Các biến điều khiển trong các hệ thống
thường gặp là điều khiến tốc độ, áp suất, nhiệt độ, vị trí, độ ẩm, độ nhớt
Các máy và thiết bị hiện nay thường có hệ thống điều khiển hiện đại, các
thông số và đặc tính của máy thường là tối ưu, Vì vậy, một máy hoặc một dây
chuyển sản xuất có hệ thống điều khiển tự động hiện đại sẽ làm tăng năng suất,
tăng chất lượng sản phẩm của máy và của quá trình sản xuất đó
Với tầm quan trọng như vậy, các kỹ sư và các nhà khoa học cần phải nắm vững các kiến thức về lý thuyết điều khiển trong việc phân tích, thiết kế, chế tạo, khai thác các loại máy trong công nghiệp, trong công tác nghiên
cứu khoa học về lĩnh vực điều khiển tự động
: Lịch sử phát triển Nguyên tắc điều khiển cơ bản dựa trên tín hiệu:
phản hồi Trước Công Nguyên người ta đã biết sử dụng nguyên tắc điều
khiên này, dạng sơ khai của điều khiển hồi tiếp đã được sử dụng ở Hy Lạp là điều khiển duy trì mức nước bằng phao nổi Năm 300 trước Công Nguyên, Ktesibios đã phát minh ra đồng hồ nước sử dụng cơ cầu phao nỗi để điều chỉnh mức nước (hình 1.3) Năm 250 trước Công Nguyên, Philon đã dùng cơ cầu phao nổi trong đèn dầu để duy trì mức dầu không đổi Đầu thế kỷ I sau Công Nguyên, Heron Alexandria đã viết tác phẩm Pneumatica noi về các dạng cơ cầu điều chỉnh mức nước sử dụng phao nỗi
Có thể xem phát minh đầu tiên vẻ điều khiển hồi tiếp ở Châu Âu là hệ
thống điều khiển nhiệt độ của Cornelis Drebbel Nam 1681, Dennis Papin
phat minh yan điều chỉnh áp suất sử dụng trong các nỗi hơi, nó có dạng như van tồn trong: ác nồi áp suất, ngày nay (hình 1.4) Phát minh của Jame Watt xề “hệ: “hống điều khiển tốc độ quấy động cơ hơi nước bằng cơ cấu điều tốc quả “ving được: Ứng dung: lần đầu trong công nghiệp vào năm 1769(hinh 1.5) Theo người Nga; hệ thống điều khiển hồi tiếp đầu tiên của họ là hệ thống điều chỉnh mức nước trong nổi hơi được phat minh boi I
Polzunov vào năm 1765 Hệ thống này được thể hiện trên hình 1.6, phao nỗi
Trang 7có tác dụng xác định mức nước trong nồi hơi để điều chỉnh việc đóng mở
van cấp hơi nước với lưu lượng hợp lý vất điểu chỉnh pháo adi đồng khí ván — BÀ dòng khi
Hình 1.3 Đồng hồ nước với cơ cầu Hình 1.4, Van an toàn điều chỉnh áp
phao nỗi - phat minh cua Ktesibios suất - phát minh của Dennis Papin
“Trước thập niên 1960, các phát minh về hệ: thống điều khiển mang nặng cảm tính, chưa phân tích và thiết kế được hệ một cách logic, có hệ thống, vi thé, độ
_ chinh xéc eta cdc hé théng nay hau nhu khéng cao, thudng hay dẫn đến trang
thái mắt ổn định khi:hoạt động Năm 1868, J.C 'Maxwell lần đầu tiên xây dựng
mơ hình tốn: học cho một hệ thống điều khiển, ông sử dụng phương trình vi phân để xây dựng mơ hình tốn cho cơ cấu điều tốc I A Vyshnegradskii cũng, đã xây dụng lý thuyết toán cho các bộ điều tốc trong thời gian nầy
Hình 1,8 Cơ cầu điều khiễn tóc độ quay động cơ hơi nước
Trang 8Trước chiến tranh thế giới thứ hai, lý thuyết điều khiển tự động chia ra
hai trường phái Các nhà khoa học ở Hoa Kỳ và các nước tự bản thường phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển tự động trong miền tần số hoặc trong mat phẳng phức, điển hình là hệ thống điện thoại hữu tuyến và bộ khuếch đại hồi tiếp điện tử được phát mính bởi Bode và Nyquist ở phòng thí nghiệm điện thoại của hãng Bell, Hoa Kỳ Trong khi đó, các nhà khoa học
của Nga và các nước Đông Âu thường nghiên cứu hệ thống điều khiển trong
miễn thời gian, mỗ hình toán của hệ thống điều khiển thường được mô tả
dưới dạng các phương trình vi phân Các công trình về lý thuyết điều khiển
trong giai đoạn này phải kế đến Minorsky, Hazen, Nyquist Nam 1922, Minorsky công bố công trình về điều khiển tự động và én định bánh lái
tàu thủy, mô hình điều khiển này được mô tá bằng một hệ phương trình
ví phân thường Năm 1934, Hazen đưa ra thuật ngữ cơ cầu trợ động
(servomechanism) -cho hệ théng điều khiển vị trí, thiết kế cơ cấu trợ động
hồi tiếp âm với hệ có tín hiệu vio thay đối Năm 1932, Nyquist phat trién một kỹ thuật tương đối đơn giản để xác định tính én định của hệ hồi tiếp
dựa trên các đặc tính của hệ mạch hở có tín hiệu vào dạng hàm điều hòa
Suốt thập niên 1940, phương pháp khảo sát hệ thống điều khiển trong miền tần số được phát triển, điển hình là giản đồ Bode Trong giai đoạn này, phương pháp giản đồ Bode được các kỹ sư sử dụng phổ,biến để thiết kế các
hệ thống điều khiển mạch kín Cuối thập niên 1940 đến đầu thập niên 1950,
phương pháp quỹ đạo nghiệm (root locus method) được xây dựng và hoàn thiện bởi Evans Lý thuyết điều khiển cổ điển được xây dựng và phát triển trên nền tảng phương pháp đáp ứng tần (frequency Tesponse method) va phương pháp quỹ đạo nghiệm
nước cấp vào
Hình 1.6 Cơ cầu điều khiễn
mức nước bằng phao nỗi -
Trang 9Với các máy, thiết bị, quá trình hiện đại, một hệ thống điều khiển thường có nhiều tín hiệu điều khiển, nhiều tín hiệu vào và nhiều tín hiệu ra, gọi là hệ MIMO (Multi Input - Muli Output) Do vậy, mô hình điều khiển
có số lượng phương trình vi phân tương đối lớn, điều này không phù hợp
với lý thuyết điều khiển cổ điển vì lý thuyết điều khiển cổ điển chủ yếu
ding cho hệ một tín hiệu vào và một tín hiệu ra, gọi là hệ SISO (Single
Input - Single OutpuÐ (hình 1.7) Cùng với sự ra đời của máy tính điện tử,
lý thuyết điều khiển hiện đại ra đời để đáp ứng yêu cầu này
'Tín hiệu vào a R éi "Tín hiệu ra
T“——>| Khâu so sánh Bộ điều khiên m9 > Gory [| Cảmbin |@ŒS==————— Hình 1.7 Sơ đồ khối hệ SISO
Từ những năm 1960 trở đi, lý thuyết điều khiển hiện đại ra đời Các
phương pháp khảo sát hệ điều khiển trong miễn thời gian được phát triển để
phân tích và tổng hợp các hệ thống điều khiển phức tạp, hệ MIMO (hình
1.8) Khác với lý thuyết điều khiển cỗ điển thường khảo sát hệ trong miền tần, lý thuyết điều khiển hiện đại chủ yếu khảo sát các hệ điều khiển trong
miễn thời gian Phương pháp phân tích hệ tròng miễn thời gian được phát triển bởi Lyapunov và Minorsky cùng những nhà khoa học khác trong suốt
hai thập niên liền /
Suốt hai thập niên, từ 1960 đến 1980, kỹ thuật điều khiển (ỗi tứ, điều khiển thích nghỉ được phát triển để điều khiển những hệ phức tạp Lý thuyết điều khiển tối ưu được 'phát triển dầu tiên thưộc về các cônế trình của nhà
khoa học người Nga, L S Pontryagin và nhà khoa học người Mỹ,
R Beliman Từ những năm 1980 cho đến nay, phát triển trọng tâm của lý
thuyết điều khiển hiện đại là các kỹ thuật điều khiển bền vững, điều khiển
Trang 10Cac Các
tín hiệu Bộ điều khiển tín hiệu
vào ra
Hình 1.8 Sơ đồ khối hệ MIMO
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, máy tính
là một phần không thể thiểu trong mỗi hệ thống điều khiển Hệ thống điều
khiển ngày nay không chỉ dùng trong kỹ thuật mà còn được sử dụng trong
hầu hết các lĩnh vực: sinh học, y sinh, kinh tế, xã hị Bảng 1.1 dướt đây
cho biết các mốc phát triển quan trong của lĩnh vực điều khiến
Hình 1.9 Xe tự hành khám phá sao Hỏa Hình 1.10 Robot P3
Trang 11Bang 1.1 Các mốc phát triển quan trọng của lĩnh vục điều khiển tự động
Năm Tác giả - sự kiện
1769
James Watt phát minh ra động cơ hơi nước sử dụng cơ cấu quả văng để diều khiển lượng hơi nước cấp vào động cơ, từ đó điều chỉnh ổn định tốc đệ quay của động cơ hơi nước (hỉnh 1.11)
1868
J C Maxwell lần đầu tiên xây dựng mô hình toán học cho một hệ thông điều khiển Mô hình toán cơ cấu quả văng được Maxwell Thiết lập dưới dạng phương trình vị phân chuyên động, tuyến tính hóa nó quanh vị trí cân bằng Ông đã chứng tỏ được răng sự én định của hệ phụ thuộc vào các nghiệm của
phương trình đặc trưng có phần thực âm 1877 Routh đưa ra tiêu chuẩn phan tich 6 én định hệ tuyến tính, cũng trong giai đoạn này, Hurwitz đưa ra tiêu chuẩn phân tích ổn định tương tự 1893
Lyapunov giới thiệu các phương pháp toán dùng để phân tích tinh ồn định của hệ tuyến tính và hệ phi tuyến Các nghiên cứu
của Lyapunov về ôn định ngày nay được gọi phương pháp thứ nhat Lyapunov ding cho hé tuyên tính và phương pháp thứ hai Lyapunov dùng cho hệ phi tuyên Khác với các phương, pháp
của Routh và Hurwitz, thường khảo sát hệ trong miễn tân số,
các phương pháp của Lyapunov thường dùng khảo sat tính ổn định của hệ trong miễn thời gian 1913 Dòng ô tô đầu tiên được phat minh béi Henry Ford sir dung hé thống điều khiển lái truyền động cơ khí 1932 Nyquist với tiêu chuẩn phân tích tính ổn định trong miền tần số 1938 Bode với phương pháp phân tích đáp ứng của hệ trong miễn tan so 1942
Nhà toán học người Mỹ Wiener với thiết kế bộ lọc tôi ưu,
Ziegler va Nichols dua ra luật điều chỉnh PID (tỉ lệ - vi phân - tích phân), hiện nay vẫn còn được sử dụng rộng rãi trong các
hệ thống điều khiển công nghiệp
1948 Evans với phương pháp quỹ đạo nghiệm
1950 Các công trình tiêu biển của Kochenberger về phân tích và
thiết kế hệ phi tuyên
Trang 12
Nim Tác giả - sự kiện
Điều khiển NC (Numerical Control - Điều khiển số) được phát 1952 | triển trong các máy công cụ nhiễu trục, phát minh của viện
MIT (Massachusetts Institute of Technology)
1956 Potryagin với nguyên lý cực đại (Maximum principle) trong
ˆ_| điều khiên tối ưu
1970 Mô hình không gian trạng thái và điều khiển tối ưu được phát triển và sử dụng rộng rãi
1980 | Phát triển kỹ thuật điều khiển bên vững (Robust Control)
Điều khiển tự động có mặt hầu hết trong các lĩnh vực; trong 1994 |công nghiệp ô tô, máy bay, các hệ thống sản xuất công
nghiệp
Xe tự hành khám phá sao Hỏa (hình 1.9) do Viện công nghệ 1997 = 2003 California (Califomnia Institute of Technology) thiét ké vao năm 2002, được đưa lên sao Hỏa vào năm 2003 bởi co quan hàng không vũ trụ Mỹ NASA, dùng trong việc phân tích thành ng không My g trong
phân, cầu tạo địa chất bề mặt sao hỏa
20o3 | Kỹ thuật vi điều khiển được phát triển cùng với công nghệ
đến nạy | TAno Bước đâu đã có nhiễu vi máy (micromachines) được “|
thiét kế, chế tạo và sử dụng trong lĩnh vực vị phẫu của y học gs g y
Trang 13
1-2, CAC PHAN TU CO BAN CUA MOT HE THONG DIEU KHIEN
Một hệ thống điều khiển trong công nghiệp, dạng tổng quát, gồm có
các phần tử và bộ phận như trên sơ đồ khối I.I2 Mục tiêu của hệ thong là điều khiển được đối tượng điều khiển thực hiện đúng yêu cầu và nhiệm vụ cụ thể Yêu cầu và nhiệm vụ này được đưa vào hệ thống thông qua tín hiệu vào Nói đúng hơn, tín hiệu vào chính là yêu cầu và nhiệm vụ mà đối tượng
điều khiển phải thực hiện “Bộ não” của hệ thống là bộ điều khiển Bộ điều khiển sẽ tác động lệnh lên đối tượng điều khiển để đối tượng điều khiển
thực thi nhiệm vụ đặt ra Chất lượng thực hiện nhiệm vụ của đối tượng điều
khiển được đánh giá qua tín hiệu ra Tín hiệu ra khỏi bộ điều khiển cho biết
đối tug ø điều khiển có thực hiện đúng yêu cầu hay không Như vậy, muốn biết đối tượng, điều khiến đang làm gì thì phải xem ở tín hiệu ra, Để bộ điều khiến có thé giám sát được các hoạt động của đối tượng điều khiển, cần phải đưa ngược tín hiệu ra từ đối tượng điều khiến trở lại bộ điều khiển Dựa trên đặc tính tín hiệu ra kết hợp với tín hiệu vào yêu cầu, bộ điều khiển sẽ ra quyết định hợp ly tác động lên đổi tượng điều khiến để nó thực hiện đúng yêu cầu đặt ra bạn đầu Hệ thống điều khiển hoạt động trên nguyên tắc này
được gọi là hệ thống điều khiển hải tiếp hay điều khiển có phan hỏi Phần
tử đùng để đo tín hiệu ra gọi là cảm biến, cảm biến có nhiệm vụ biến đổi tín hiệu ra thành dạng tín hiệu hợp lý, đồng thời đưa tín hiệu này về bộ điều
khiển để bộ điều khiển đánh giá chất lượng tín hiệu ra có đạt yêu cầu hay
không Các hệ thực thường làm việc trong môi trường chịu tác động của các
yếu tố bên ngoài, gọi là nhiễu Các yếu tố ngoài này ảnh hưởng rõ nét đến
chất lượng hoạt động của hệ Để hệ hoạt động hiệu quá hơn, cần phải đánh giá các tác động của nhiễm ngoài tác dụng lên hệ Tính chất và tác động của
nhiễu ngoài cũng cần được đưa về bộ điều khiển thông qua các cảm biến để bộ điều khiển xem xét và đưa ra quyết định điều khiển hợp lý Khẩu xo sảnh cn kêu) Nhiều
Tin hiệu vào Tin biệu ra
hiệm vụ, yêu cầu) Đổi tượag | Kbấtlượng thực hiện)
điều khiểu
TBộ điễu khiểo Cảm biến
Hình 1.12 Sơ đồ khôi hệ thống điều khiên tự động
Trang 14Bộ điều khiến có thể là điều khiển cơ khí, điều khiển thủy lực, điều khiển điện - điện tử, nó tùy thuộc vào loại hệ thống cụ thể Ngày nay, với sự
phát triển mạnh của máy tính điện tử, các bộ điều khiển dùng mạch tương tự, hoặc mạch sử dụng rơ le, thiết bị đóng ngắt đơn giản được thay thé
bang mach tich hợp số với các bộ vi xử lý hiện đại Về nguyên lý chung, bộ điều khiến gỗm hai phần tử: phần tứ so sánh và phần tứ khuếch đại Phần tử so sánh có nhiệm vụ đò tìm sai số giữa tín hiệu phản hồi từ các cảm biến đặt trên các mạch hồi tiếp với tín hiệu vào yêu cầu, nếu có sai số thì sai số
tín hiệu từ khâu so sánh được gửi đến phần tử khuếch đại Phần tử khuếch
đại có nhiệm vụ khuếch đại và xử-lý tín hiệu rồi chuyển đổi thành tín hiệu
điều khiển hợp lý để đưa vào đối tượng điều khiển Như thế, tín hiệu ra
sau phần tử khuếch đại là tín hiệu điều khiển tác động trực tiếp lên đối tượng điều khiển để tín hiệu ra của đối tượng điều khiển có chất lượng đạt yêu cầu
Đối tượng điều khiển trong kỹ thuật thường là một máy, một cơ cấu,
một thiết bị cụ thể cần điều khiển Ví dụ: Với hệ thống điều khiển vị trí, đối
tượng diều khiển là động cơ dẫn động và bộ phận chấp hành Với hệ thống điều khiển nhiệt trong lò sưởi, đối tượng điều khiển là đây đốt
Biến điều khiển Thông số cụ thể của một hệ thống cần điều khiển đẻ đạt được chất lượng yêu cầu gọi là biến điều khiến Tủy thuộc vào nhiệm vụ và yêu cầu cụ thể, tủy thuộc vào loại đối tượng điều khiển mà mỗi hệ thống
khác nhau có biến điều khiển khác nhau Ví dụ: Với hệ thếng điều khiển
trong lò sưởi, nhiệm vụ của nó là duy trì không gian bên trong lò một nhiệt
độ cụ thể, thì biến điều khiển của hệ này là nhiệt độ Với hệ thống có đối tượng điều khiển là động cơ điện, thì biến điều khiển có thẻ là góc quay, có
thể là vận tốc góc của động cơ
Ví dụ 1.1 Hệ thông điều khiển nhiệt độ
Ta xét hai ví đụ về điều khiển nhiệt độ trong lò sưởi điện và hệ thống điều hòa trên ô tô Xét hệ thống điều khiển nhiệt độ lỏ sưởi như hình 1.13,
Trang 15năng lượng nhiệt cung cấp cho lò Bộ điều khiển có nhiệm vụ điều chỉnh điện lượng cung cấp cho dây đốt để đảm bảo nhiệt
rong lồ luôn duy trì ở
nhiệt độ yêu cầu Cảm biến nhiệt có nhiệm vụ đo nhiệt độ bên trong lò sau
đó chuyển nó thành tín hiệu điện Để bộ điều khiến nắm được thông tin về nhiệt độ bên trong lò, tín hiệu ra từ cảm biến sẽ được đưa ngược về bộ điều khiển Dựa trên tín hiệu phản hồi từ cảm biến kết với yêu cầu từ tín hiệu vào (nhiệt độ yêu cầu), bộ điều khiển sẽ xem xét (so sánh và khuếch đại) rồi đưa ra tín hiệu điều chỉnh hợp lí 1í để điều chỉnh điện lượng cung cấp cho dây đốt
sao cho nhiệt độ phát ra từ dây đốt luôn duy trì được trang thái nhiệt trong lò
đạt nhiệt độ yêu cầu
Bộ điều khiển Lò sưởi mem i t t Nhiệt độ yêu cầu Đây đốt Nhiệt độ thực trong lo
Hình 1.13 Hệ thông diéu khién nhiệt độ lò sưởi
Hệ thống điều khiển nhiệt độ nói trên chưa kể đến tác động của các yếu tố bên ngoài làm thay đổi nhiệt độ bên trong lò như: nhiệt độ mơi trường bên ngồi lồ, bức xạ nhiệt Ta xét tiếp một hệ thống điều khiển
nhiệt độ có kế đến tác động của nhiễu ngoài Hình 1.14 thé hiện sơ đồ khối
của hệ thống điều hòa nhiệt độ trên xe ô tô Trong sơ đỗ này, nhiễu tác động lên đối tượng điều khiển là bức xạ nhiệt của mặt trời và nhiệt độ mơi
trường bên ngồi xe, chú ý rằng nhiều ở đây là đại lượng biến thiên theo
thời gian vì xe khi đi qua các vùng khác nhau sẽ có nhiệt độ mơi trường bên ngồi khác nhau
Trang 16ngoài và bức xạ nhiệt mặt trời Bộ điều khiển sẽ nhận tín hiệu vào và so sánh với các tín hiệu hồi tiếp từ các cảm biến để tìm ra tín hiệu sai số, sau
đó nó tác động lên điểu hòa nhiệt độ (đối tượng điều khiển) một tín hiệu
điều khiển phù hợp để điều hòa nhiệt độ phát hoặc thu nhiệt hợp lý nhằm
đ:”a nhiệt độ trong xe đạt đến nhiệt độ yêu cầu Trong hệ thống này, có ba
tín hiệu phản hồi trong đó có hai tín hiệu phản hồi từ nhiễu (nhiệt độ ngoài
xe và bức xạ nhiệt) một tín hiệu phản hồi từ tín hiệu ra của đối tượng điều
khiển (nhiệt độ trong xe) Nhiệt độ, Buc, Gi tree xethiệt bộnnggà € Cảm biển Cảm biến Nhiệt độ Nhiệt độ thực
Yêu cầu Bộ Điều hóa Pune x trong buông xe Tín hiệu vào - { điều khiển nhiệt độ _ Tin hiệu ra
Cảm biến
Hình 1.14 Sơ đồ khôi hệ thông điều khiển nhiệt độ trong xe ô tô
1-3 PHAN LOAI HE THONG DIEU KHIỂN
Có nhiều cách phân loại hệ thống điều khiển, Hệ thống điều chỉnh
(regulator system) luôn duy trì biến điều khiển bằng (hoặc xAp XÙ một giá
trị cụ thể của tín hiệu vào Ví dụ: Hệ thông điều hòa nhiệt độ luôn duy trì
nhiệt độ bên trong nhà ở một nhiệt độ cho trước mặt dù nhiệt độ môi trường
bên ngoài nhà thay đổi Hệ bám (follow-up system) có tín hiệu ra luôn
“bám” theo sự thay đổi của tín hiệu vào Với hệ này tín hiệu vào không phải
là một giá trị cố định mà thay đổi có quy luật theo thời gian Ví dụ: Robot
công nghiệp vận chuyển khối hàng từ vị trí này sang vị trí khác Tín hiệu
vào là quỹ đạo yêu cầu của khối hàng mà robot phải thực hiện Tín hiệu ra là vị trí của khối hàng treo trên tay máy Khi hoạt động, khối hàng sẽ đi theo
Trang 17quy dao dat ra ban dau Trong trường hợp này, rõ ràng tín hiệu ra “bám”
theo quy luật thay đổi của tín hiệu vào Hệ thông điều khiển sự kiện (event control system) điều khiển tuần tự một loạt các sự kiện mà hệ phải thực
hiện theo yêu cầu cho trước Ví dụ: Trong một chu kỳ giặt áo quản, hệ thông
điều khiển máy giặt sẽ điều khiển máy thực hiện tuần tự các bước đã lập
trình sẵn như: đỗ nước —› giặt —› vắt —› sấy mỗi bước được xem là một
sự kiện
Cũng có thể phân loại hệ thống điều khiển theo cách khác: Hệ thống
điều khiển mạch hở (mạch truyền thẳng) và hệ thống điều khiển mạch kín
(mạch hồi tiếp) “
H biển xà Tân hiệu nhị
Tin hiệu vào Bộ ; điều khiển Đôi trợng Tin hiệu ra
CYhiệm vụ, điều khiển điều khiến | (Chất lượng
yêu câu} thực hiện)
Hình 1.15 Điều khiễn mạch hở hay điều khiển truyền thẳng
: Điều khiển mạch hở Trong hệ thống điều khiển mạch hở (hình 1.15), vì không có thông tin phản hồi từ đối tượng điều khiển nên bộ điều khiển không giám sát được hoạt động của đối tượng điều khiển Với hệ này, bộ
điều khiển độc lập đưa ra tín hiệu điều khiển tác động lên bộ điều khiển mà
không phụ thuộc vào tín hiệu phản hồi Bất chấp đối tượng điều khiển có làm việc đúng yêu cầu hay không, bộ điều khiển vẫn đưa ra lệnh điều khiển rập khuôn sẵn Loại hệ thống điều khiển này không có tính linh hoạt
Ví dụ, xét hệ thống điều khiển mạch hở như hình 1.16 Động cơ điện
dẫn động tay quay Ở đây, biến điều khiển là góc quay của tay Bộ điều
khiển sẽ tác động tín hiệu điều khiển hợp lý để động cơ điện dẫn động tay
quay, quay đúng một góc từ 0° tới 302, Thử nghiệm ở điều kiện chuẩn cho thay tay quay sẽ quay với vận tốc 5 /giây ở điện áp định mức Như vậy, khi
bộ điều khiển gửi xung 6 giây đến động cơ đẻ dẫn động nó, nếu động cơ làm
việc chính xác thì nó sẽ quay đúng một góc 30° trong 6 giây rồi dừng Tuy nhiên, không phải lúc nào hệ thông cũng làm việc trong môi trường chuẩn, Chẳng hạn khi hệ thống làm việc trong một ngày lạnh hơn điều kiện chuẩn,
nhiệt độ thấp làm dầu bôi trơn động cơ điện đông lại, độ nhớt của đầu bôi
Trang 18trơn giảm, ma sát trong tăng lên, lúc này động cơ chỉ quay 25° trong 6 giây
rồi dừng, tức là gây ra sai số 5° Do không có hồi tiếp từ động cơ đến bộ điều khiển, nên bộ điều khiển không biết sai số này, và vì vậy, nó không thé hiệu chỉnh được sai số chuyển động này Góc quay Góc quay 4 ° A MAS nod vả thực yên cu 39, na aiậu phiên ° Động cỡ “Tay quay ——^ 5 Bộ điều khiển 30°———x~| điện ——>| Hình 1.16 Ví dụ về điều khiển mạch hờ
Điều khiển mạch kín hay điều khiển có phản hồi Với hệ mạch kín, tín hiệu ra (biến điều khiển) được giám sát bởi cảm biến Cảm biến sẽ gửi thông tin
phản héi về bộ điều khiển, do vậy, bộ điều khiển biết được hệ đang thực hiện
cái gì và thực hiện có đạt yêu cầu hay không Nhờ có thông tin phản hồi từ đối
tượng điều khiển nên bộ điều khiển sẽ hiệu chỉnh hợp lý tín hiệu tác động lên đối tượng điều khiển để có được tín hiệu ra đạt chất lượng yêu cầu Bị
khiển gồm có phần tử so sánh và phần tử khuếch đại, phần tử so sánh có nhiệm
vụ so sánh tín hiệu vào với tín hiệu phản hồi để tìm ra sai số Dựa vào tín hiệu
sai số này, bộ điều khiển sẽ gửi tín hiệu điều khiển hợp lý đến đối tượng điều
khiển Bộ điều khiển luôn làm việc để có tín hiệu sai số nhỏ nhất Không có sai
số tín hiệu đồng nghĩa với tín hiệu ra đạt yêu cầu 100%
Trở lại ví dụ về điều khiển tay quay dẫn động bằng động cơ điện Đề bộ điều khiển có thể giám sát được hoạt động của động cơ, ta bố trí thêm cảm biến góc quay nỗi trực tiếp với trục động cơ (hình Í.!7) Tín hiệu từ cảm
biến được phản hồi về bộ điều khiến Cảm biến góc quay là thiết bị đo góc
quay của trục động cơ, sau đó chuyển đổi thành tín hiệu điện Khi trục động
Trang 19hồi về bộ điều khiển Để tay quay được một góc 30 thì phải đưa điện dp
tương ứng với góc quay 30' vào bộ điều khiển Lúc đầu, tay quay ở vị trí œ
nên sai số tín hiệu nhảy lên 302, Ngay lập tức, bộ điều khiến khởi động động
cơ theo hướng giảm tín hiệu sai số Khi tay quay đến gần góc 30”, bộ điều khiển kéo chậm động cơ Cuối cùng, khi đến đúng góc 30, động cơ dừng hẳn, sai số tín hiệu bằng không, Nếu dùng lực đây tay quay ra khỏi góc 30°, cảm biến sẽ lại gửi tín hiệu phản hỏi về bộ điều khiển, hệ có sai số, quá trình trên lặp lại theo hướng giảm sai số tín hiệu để đưa tay quay về đúng góc 30”
Qua vi dy nay ta thay hé diéu khién hồi tiếp linh hoạt và tin cậy hơn so với
điều khiển truyền thẳng
Bộ điều khiển Góc quay | 5o sánh khuếch
yên cầu 30° ssi Độngcơ | —e| Tay quay Biến điều khiển
+ Saisd (Goc quay thee) ‘Tim hiệu phẩo bồi Cảm biến Eốc quay Cảm biển tóc quay Hình 1.17 Ví dụ về điều khiển mạch kín
Cơ cấu trợ động (Servomechanism) Thuật ngữ này thường gặp trong
các hệ cơ - điện tử điều khiển chuyển động Cơ cấu trợ động thường dùng để dẫn động các máy và thiết bị có độ chính xác chuyển động cao như robot, anteni
radar Thông thường, các biến điều khiển của hệ thông này là vị trí hoặc (và)
vận tốc hoặc (và) gia tốc của cơ cầu chấp hành Ví dụ: Cơ cấu trợ động trong hệ
thống điều khiển vị trí anten radar cho trên hình 1.18 Trong trường hợp này,
biển điều khiển là góc quay của anten Anten được dẫn động bằng một động cơ điện Động cơ điện được nổi với bộ điều khiển Người sử dụng lựa chọn hướng
Trang 20quay bang bang điều khiển và bộ điều khiên sẽ gửi lệnh đến động cơ điện để động cơ điện dẫn động anten quay một góc yêu cầu
Cảm biển
gộc quay
Bảng điều khiển
Hình 1.18 Cơ cầu trợ động trong hệ thông điều khiển góc quay anten
1-4 CÁC VÍ DỤ VE HE THONG DIEU KHIEN
Dé minh hoa rõ hơn các hệ thống điều khiển trong công nghiệp, ta xét
thêm một vài ví vụ điển hình dưới đây
Ví dụ 1.2 Hệ thông điều khiển tắc độ quay
Hình I.19 thể hiện sơ đồ hệ thống điều khiển tốc độ quay của động cơ
hơi nước được phát minh bởi Jame Watt ở thế kỷ 18 Lượng nhiên liệu cấp
vào động cơ được điều chỉnh theo sai số giữa tốc độ quay yêu cầu và tốc độ
quay thực tế,
Nếu tốc độ quay thực tế của động cơ tăng quá tốc độ quay yêu cầu làm
tăng tốc độ quay của quả văng, lực ii tâm tăng làm hai quả văng nâng lên làm đóng van điều chỉnh nhiên liệu, lượng nhiên liệu cấp vào động cơ giảm
làm giảm tốc độ quay của động cơ cho đến khi bằng tốc độ quay yêu cầu Ngược lại, khi tốc độ quay động cơ nhỏ hơn tốc độ yêu cầu, các quả văng hạ
xuống do lực li tâm giảm, lúc này van nhiên liệu mở làm tăng lượng nhiên
liệu cấp vào động cơ, tốc độ quay của động cơ tăng dân cho đến tốc độ quay yêu cầu,
Trang 21Trong hé théng điều khiển này, động cơ là đối tượng điều khiển, tốc độ quay yêu cầu là tốc độ quay cần đạt được của động cơ, nó chính là tín hiệu vào Tốc độ quay thực tế của động cơ là tín hiệu ra và cũng là biến cần điều
khiển Bộ điều khiển gồm cơ cấu quả văng và van tiết lưu để điều chỉnh
lượng nhiên liệu cấp vào động cơ Sai số giữa tốc độ quay thực tế của động cơ với tốc độ quay yêu cầu là sai số tín hiệu Tín hiệu điều khiến chính là lượng nhiên liệu cấp vào động cơ để điều chỉnh động cơ đạt được tốc độ quay yêu cầu Nếu tốc độ quay thực tế bằng tốc độ quay yêu cầu thì hệ không có sai số tín hiệu Tải ngoài tác dụng lên động cơ (đổi tượng điều
khiển) là nhiễu Đây là hệ SISO
Động cơ - [—| Tải
Van den chink
Hình 1.19 Điều khién tốc độ quay động cơ bằng cơ cầu quả văng
Ví dụ 1.3 Hệ thông điều khiển lái tự động của ô tô Tin hiệu > Cate] Be si Cuciu tai _ Rạm trình | |nmnri cho rue | (dường 8) thục Căm biển vị trí 'Hãnh trình Hành trình - (đường 4U) chú trước thực
Hình 1.20 Sơ đò khôi hệ thông điều khiển vị trí (lái) ô tô
Trang 22Ta xét vi dụ về điều khiển tự động hệ thống lái ô tô Hệ thống này có sơ „
để khối cho trên hình 1.20 Ở đây tín hiệu vào của hệ là quỹ đạo chuyên
động yêu cầu của ô tô Tín hiệu ra là quỹ đạo di chuyển thực của ô tô Theo
hành trình thực của ô tô, tín hiệu hôi tiếp từ cảm biến vị trí của ô tô gửi đến
khâu so sánh để đưa ra tín hiệu sai số Dựa vào tín hiệu sai số, bộ điều khiển
sẽ gửi tín hiệu điều khiển hợp lý đến cơ cấu lái tự động dé điều khiển xe
đúng theo quỹ đạo định trước Tín hiệu sai số là hiệu giữa tín hiệu vào và tín
hiệu ra, tín hiệu ra qua cảm biến vị trí phản hồi về khâu so sánh Hệ thông
điều khiển như vậy gọi là hệ thông điều khiển hồi tiếp âm Đây là hệ SISO
bởi vì hệ chỉ có một biến điều khiển là vị trí của xe, một tín hiệu vào là quỹ
đạo yêu cầu của xe, một tín hiệu ra là quỹ đạo hay đường đi thực của xe
Ví dụ 1.4 Hệ thông điều khiển số máy công cụ chuyển động theo phương š huyển độn theo phương x chuyển động then phường ý
Hình 1.21 Điều khiễn vị trí phôi và dao cat trong may NC
Điều khiến số (Numerical Control - NC) là loại kỹ thuật điều khiển
được sử dụng trong các máy công, cụ như máy tiện, phay, khoan Những
máy này có thể tự động gia công cắt gọt mà không cân công nhân đứng
máy Mỗi loại máy có một hệ trục riêng và có các tham số điều khiển riêng Hệ thống điều khiển vị trí của phôi và dao cắt trong máy công cụ NC có sơ
đề nguyên lý như hình 1.21 Máy công cụ NC điều khiển vị trí của phôi và dao cắt thông qua chuyến vị theo ba phương được dẫn động bởi ba động cơ servo riéng biệt: phương x, y của bàn gá, phương z của dao cắt Quy luật chuyên vị theo ba phương và quá trình gia công được lập trình sẵn và nạp
Trang 23Khi gia công cất gọt phôi, ta phải lập trình trước để tạo ra các thông số
cần thiết cho quá trình gia công như: tốc độ chạy dao, thời điểm thay đao, lượng di chuyển phôi va đao theo các phương Chương trình được nạp vào máy tính dé điều khiển quá trình gia công Trong hệ thống này: máy tính là bộ điều khiển, máy gia công cắt gọi là đối tượng điều khiển Đây là hệ thống điều khiến với các thao tác lệnh đã được lập trình sẵn, hệ thống chỉ thay đổi tác động điều khiển khi nạp chương trình điều khiển khác vào máy
Thông thường, bản vẽ chỉ tiết và các thông số gia công được đưa vào
chương trình máy tính Chương trình này chuyến dữ liệu đầu vào thành tín
hiệu số để bộ điều khiến có thẻ hiểu được, dữ liệu đầu vào và chương trình
tính có thể lưu trữ trong các thiết bị lưu trữ số như đĩa quang, usb hoặc gửi trực tiếp vào máy công cụ Các dữ liệu vả chương trình được đọc và xử lý bởi bộ điều khiển Với sự trợ giúp của máy tính điện tử trong quá trình thiết kế sản phẩm, ta gọi là CAD (computer-aided đesign), các công đoạn thiết kế bằng tay hầu như được đơn giản hóa nhiều Hiện nay, có nhiều chương trình máy tính dùng để đọc bản vẽ CAD, sau đó nó đưa lệnh tới bộ
điều khiển của máy để gia công theo đúng bản vẽ đó Quá trình bắt đầu từ
CAD (hiết kế bằng máy tính) đến khi kết thúc gia công chỉ tiết trên máy
NC được gọi là CAM (computer aided manufacturing) hay qua trinh san xuất với sự trợ giúp của máy tính Ưu điểm lớn của công nghệ này là một máy công cụ có thê tạo ra nhiều chỉ tiết khác nhau, công đoạn gia công này nếi tiếp công đoạn gia công kia Céng nghé CAD va CAM kết hợp với nhau thì gọi là CIM (computer integrated manufacturing), hay céng nghé san xuất với sự tích hợp máy tính Các thuật ngữ này thường gặp trong kỹ thuật tự động hóa sản xuất
Ví dụ 1.5 Hệ thống điều khiển tua bin - nỗi hơi công nghiệp
Hệ thống điều khiển tua bin - nỗi hơi công nghiệp được thể hiện trên
bình 1.22 Bộ điều khiển là máy tính cùng lúc phải thực hiện tác động điều
khiển để điều khiển ba thông số là nhiệt độ, lượng nhiên liệu, lượng không
khí cấp vào nội hơi thông qua các van điều chỉnh lưu lượng đặt ở đầu vào
của nồi hơi Tín hiệu ra từ nổi hơi là lượng hơi nước cung cấp để làm quay
Trang 24, có các sai số tín hiệu, máy tính sẽ đưa ra tín hiệu điều khiển hợp lý tác
động lên các van điều chỉnh của nổi hơi để đạt được các thông số yêu cầu cho trước áp YER nước cấu vào tua bia trục truyện nhiên liệu liêu, bộ phậu hat nước ra cấp vấn thn hai hot khícấp „ vào bộ điều tắc câm biển ldo brợng khí cảm biển câm biểu ấp suất "nhiệt độ máy tĩnh
nhiệt độ, áp suất, lượug khi yêu cầu
Hình 1.22 Hệ thống điều khiển tua bin - nồi hơi công nghiệp
1-5 BÀI TẬP
1.1 Vẽ sơ đồ khối thể hiện hệ thống hồi tiếp điều khiển tốc độ chuyên
động ô tô Với hệ thống này, tốc độ chuyển động của ô tô luôn duy trì ở một
tốc độ không đôi cho trước
1.2 Hìnn 1.23 thể hiện một hệ thống điều khiển mức nước trong thùng
do người điều khiển bằng tay, Có thể xem dây là hệ điều khiển hồi tiếp
Trang 251.3 Hình 1.24 và 1.25 thể hiện hệ thống điều khiển tốc độ quay của đĩa CD Hình 1.24 ứng với hệ thống điều khiển mạch hở Hình 1.25 ứng với hệ
Trang 26Chương 2
PHEP BIEN DOI LAPLACE
2-1 GIỚI THIỆU CHUNG
Phép biến đổi Laplace là cơng cụ tốn học mạnh trong việc phân tích va
thiết kế hệ thống điều khiển Thông qua phép biến đổi Laplace, ta có thể
chuyển được hầu hết các hàm biến thực sang hàm của toán tử phức, gọi là toán tử Laplace Hầu hết các mơ hình tốn của hệ thống điều khiển được mô
tả dưới dạng (hệ) phương trình ví phân, phép biến đổi Laplace cũng là một
cơng cụ tốn học mạnh để giải phương trình vi phân vi hầu hết các phương trình vi phân biến thực đều có thể chuyên thành phương trình biến phức ˆ Việc giải phương trình biến phức có nhiều thuận lợi hơn giải phương trình vi phân trên các biến thực Nếu biết nghiém cia ph yng trình phức, ta có
thể tìm nghiệm của phương trình vi phân biến thực tương ứng bằng phép biến déi Laplace ngược
Lợi thế của phép biến đổi Laplace là có thể xác định các đặc tính của hệ
dưới dạng đồ thị mà không cần phải
giải trực tiếp mô hình toán Lợi thế khác của phép biển đổi Laplace là ta có thể xác định cùng lúc đặc tính quá độ và đặc tính xác lập từ mơ hình tốn của hệ Vài nét về Laplace
Pierre - Simon Laplace, nhà
khoa học người Pháp Ông là học trò Pierre - Simon Laplace
, "¬ ae ak (1749 - 1827)
của nhà toán học, co hoc noi tiéng
d'Alembert & dai hoc Ecole Laplace
Trang 27đã công bố nhiều công trình khoa học đặc biệt giá trị Trong các công trình đó, phải ké dén céng trinh Mécanique Céleste về cơ nọc gồm năm tap, hai tap đầu xuất bả: vào năm 1799 Tập một nói về các định luật tông quát của tĩnh học, chuyển động của vật rắn và chất lỏng, tập hai trình bày các định luật chuyển động của khối tâm dưới gia tốc trọng trường Phương pháp toán học của Laplace sử dụng trong các công trình này là dùng phương trình vỉ phân để mô tả quy luật chuyên động của vẬI Các phương trình vi phân chuyển động được giải thông qua toán tử phức mà ngày nay gọi là toán từ Laplace Ông là viện sĩ viện hàn lâm khoa học Pháp Laplace mất vào sáng ngày 5 tháng 3 năm 1827 Để tưởng nhớ ông, trong cuộc hợp vào tháng 10 năm 1827, viện hàn lâm khoa học Pháp đã quyết định để khuyết vị trí viện sĩ của Laplace trong sáu tháng Sau này nhà khoa học Puissant được bầu vào vị trí nay 2-2 SÓ PHỨC VÀ HÀM BIÉN PHỨC Mục này nhắc lại các khái niệm cơ bản về số phức và hàm biến phức cùng các tính chất cơ bản của nó Số phức Số phức s gồm hai thành phần: phần thực và phần ảo, được xắc định theo biểu thức: s=o+j@ (2.1) Trong đó:
ơ: phần thực, ký hiệu: o = Re(s)
œ: phần ảo, ký hiệu: @ = Im(s)
=—1 hay j=v~L
Có hai cách biểu điễn số phức trong mặt phẳng phức:
Trong hệ trục tọa độ Descartes (hình 2.12), số phức s được biểu thị bằng một điểm với trục tung là trục ảo trục hoành là trục thực Hình chiếu của s
lên trục thực và trục ảo lần lượt là o va jo
Trang 28Trong hệ tọa độ cực, số phức s được biểu thị bằng một véc tơ, có chiều
dài r, góc cực Ø Góc 6 là góc lượng giác, chiều đương ngược chiều kim đồng hà, có gốc tính từ trục thực Im(s) im(s) J@ jo Hình 21a S Re(s} Hinh 2.1b Dạng giải tích của số phức trong hệ tọa độ cực có đạng:
s= |s| 20 hoặc s= |s| Zarg(s) hoặc s = re!? Chú ý: ° Reis} r=|s|=Vo?+@" 14 d6 lon của véc tơ 1, = arg (s) = tan (2) oO Số phức liên hợp Số phức 5 =ø—jœ được gọi là số phức liên hợp của số phức s Dưới đây là một số tính chất của số phức liên hợp:
Các phép toán trên số phức Cho hai số phức 8, =6,+j@, va
Trang 29Phép cộng hoặc trừ hai số phức: Sy +s; =(G, +ơ;}+ j(@, to,) (2.2) Phép nhân hai số phức: 8,8, ={6, + ja,)(o, + jo,) = 0,6, + ja,5, -@,0, + jo,6, (2.3) = (3,9, ~@¡0; ) + j(oo, + 50) $8, = nee! = rel") 2.4) Phép chía hai số phức: 8, _ 8 + Jo, _ (6 + ]e,)(ø; - Íe;) SO rjo, of tok - ĐỢ; +00; „0/0; —0;0, G;+0) g?+o? (25) ste" ~Ä Q0-9,) (2.6) Ham biến phức Hàm biến phức Một hàm G(s) của biến phức s được gọi là hàm biến phức, gồm có hai thành phần: phần thực và phần ảo G(s)=G, +jG, aon
Trong đó G,, Gy đều là các số thực Độ lớn của hàm phức G(s) được xác định theo biểu thức |G (s)|= JG? +G) và góc cực 8 hay arcgument cia
R 4 G
ham G(s) được xác định băng biểu thức 0=arg(G(s))= tan" (=) Góc cực là góc lượng giác có chiều dương quy ước ngược chiều kim đồng hồ, có
gốc tính từ trục thực Liên hợp của hàm phức G(s) là ö(s) =G, —jG, Hàm biến phức thường gặp ở các hệ điều khiển tuyến tính, thường là
hảm một biến
Trang 30Đạo hàm của hàm biến phức G@) tại điểm sọ được xác định theo biểu thức: - -G 1 G(s) = tm O48) S (50) = lim G(s+As)-G(s) = lim AG (2.8) ds —¬ S-S, As-O AS Asoo Ag v6i As = Ac + jAo Truong hgp As = Ac: 3G 4 6) = Ge, 2 ds 60 éo “Trường hợp As = jAw: 0G £G(s)2-j Se Se ds ao = du
Hàm giải tích được Hàm G(s) được gọi là giải tích được hay có thể biểu diễn dưới dạng giải tích nếu đạo hàm của nó tỒn tại tại sọ và tất cả các điểm lân cận sọ Tích phân của hàm biến phức G(s) được xác định theo biểu thức: fo(s)as= JG.ds+j Jo,ds+c (2.9) Với C là hằng số tích phân và là một số phức Ví dụ 2.1 Xét khâu bậc nhất có hàm truyền G(s) = = với s= jœ Tìm đặc tinh St
biên pha của khâu này
Trang 31Pha hay góc cực hay argument cla Gis) 1a:
arg(2 {je)) = tan”! (=) = tan | (-w)
Điểm cực - điểm không Xét Gs) là hàm một biến phức, sọ là một điểm
thuộc miễn của G() Biết rằng miền của G(s) là một miễn kín hữu hạn có tâm là sọ Vì vậy, G(s) không chi xác định tại so mà tại tất cả các điểm thuộc miền của G(s) Điểm s ứng với G(s) bằng không hoặc không xác định gọi là điểm kỳ dị (singular point) Như thế có hai loại điểm kỳ di: điểm không (zero) tng voi G(s) bằng không và điểm cực (pole) ứng với G(s) không xác định (bằng ©) (s+1)(s—2) Vị dụ, hàm G(s}=—————~— 7z i du, ham G(s) s(s’—4s+3)(s—5) 6 hai diém khéng 1a s, =—1 va s„ =2 Có bến điểm cực là s, =0, s; =l, S; =3, 5, =5 Tìm điểm cực và điểm không bằng MATLAB Xét hàm biến phức G(s) có đạng: Pabst bt
G(s)= = a Chế tte mau s”+a,§8””+ +a, (2.10)
Các lệnh trong MATLAB được thực hiện theo củ pháp sau: Định nghĩa tử số của hàm biến phức: tu=|bạ b¡ bn]; Định nghĩa mẫu số của hàm biển phức: mau={[Í ai 42 8n];
Tạo hàm biến phức s có dạng hàm truyền
G=tf(tu,man);
G(s)= Stat
Cú pháp tf là viết tit cla tir transfer function nghia 14 ham truyền
Trang 32Ví dụ 2.2
Xét hàm biến phức:
6s’ +1 me 6s? +1
— = s°+3s”+3s+l (s+1)
Viết chương trình MATLAB để tìm điểm cực, điểm không Biểu diễn
các điểm cực và điểm không trên mặt phẳng phức
Trang 33Pole-Zero Map Imaginary Axis T * i G2 a8 sa Đa Real Axis
Hình 2.2 Biểu diễn các diém cực và diém không trên mặt phẳng phức
Như thế, hàm truyền có hai điểm không là z, =— 1/64 ~~0.4082i va
Z, = 1/61 0.4082i và một điểm cực bội ba p=~—
Biểu diễn các điểm cực và điểm không trên mặt phẳng phức từ chương trình MATLAB ở trên được thể hiện trên hình 2.2 Trên hình vẽ nảy, các
điểm không ký hiệu bằng dấu O, các điểm cực ký hiệu bằng đấu X Trục
tung là trục ảo (Imaginary Axis), trục hoành là trục thực (Real Axis)
Trang 34Mặt khác khai triển Taylor của hàm e" ta có:
2 3
et slixte eg (d)
` 2! 3!
Tir (c) va (d) suy ra:
cos0+ jsin@ =e” (2.11)
Đây chính là quan hé Euler cần tìm
Bằng cách sử dụng quan hệ Euler, chúng ta có thể khai triển hàm sin và
cos theo ham mii Chú ý rằng e P là liên hợp phức của e'? Từ đó ta có:
e? =cos8+ jsin8 (2.12)
e”? =cosØ — jsin 0 (2.13)
Cộng và trừ hai phương trình trên cho nhau, ta được:
a lye je
sin6=- (e -e*®) (2.14)
` x * neh
cos8 =—(e® +e°* 3( 5) (2.15) 2.15
2-3, PHEP BIEN DOI LAPLACE
Phan nay giới thiệu định nghĩa phép biến đổi Laplace, cung cấp một số ví dụ về phép biến đổi Laplace của một số hàm thường gặp Định nghĩa Cho f (t) là, hàm của thời gian,t, với điều kiện RQ: =, 0, khi t<0, sla biến phức L là ký hiệu của phép biến đổi Lạplace đặt trước tích phân Laplace feat o
F(s) là biến đôi Laplace của hàm f(t)
Lúc này biến đỗi Laplace của hàm f{Ð được xác định theo biểu thức:
Trang 35L[f(9]=F()= )=E e “dt `" — I6)
Quá trình ngược lại là tim hàm Ất) từ hàm F(S) được gọi là phép biến đổi
Laplace ngược Ký hiệu L và được xác định theo biểu thức:
ctịm
L'[F(s)]= R0 ẩn JF (s)e*ds vớit>0 (2.17) của
Ở đây c là hằng số, được chọn lớn hơn phần thực của tít các điểm kỳ đị Vì
vậy phan tích phân là song song với trục jœ và cách trục này một lượng là c và
nằm về phía phải của tất cả các điểm kỳ dị
Phép biến đỗi Laplace của một số hàm cơ bản
Ta đi tìm phép biến đổi Laplace cia một số hàm co ban thường gặp trong lý
thuyết điều khiển tự động gồm: hàm mũ, hàm bước, hàm bậc nhất, hàm bậc hai, hàm điều hòa, hàm tịnh tiến, hàm xung, hàm xung giới hạn, ham Delta - Dirac
(hàm xung đơn vị)
Hàm hằng Xét hàm hằng:
0 khit<0 :
f()= A khit>0 NES” với:A là hằng số
Phép biến đổi Laplace cla ham hing:
L[f(t)]= fae* =a fe™ -â (2.18)
Ss
Là 0 +
Hàm mũ Xét hàm mũ:
0 khit<O oo ¿
10) [ hea khit>0 với A là hằng số
Phép biến đổi Laplace của hàm mỹ:
Lots ~(e+3)t AL
L[f(t)]= Jacne dt = Ale dt = —— (2.19)
Trang 36Hàm bậc nhất Xét hàm bậc nhất: it 3 f()=|) — RE vai A làhằng At khit20 số Phép biến đổi Laplace của hàm bậc nhất: “ * ~i = A L{f(t)]= fate*at =| at— [F()]= Jatenar=] ar] JAS -$k Sfeta=> (2.20) 020 ` Hàm bậc hai Xét hàm bậc hai: khit <0 5 ‘ f(t ()= lu khít>0 với A là hằng số se Phép biến đổi Laplace của hàm bậc hai: * 2A L/ f(t) ]= jAte“dt =— [f09]= Í = (2.21) 2.21 Hàm điều hòa Xét sin điều hòa: 0 khit<0 f(t)= ới A là hằng số
(1) [sino khit>0 ` & hàng số
Từ quan hệ Euler ta có thể viết lại:
+ - 1 jot ~ jot
siaot= 2e —e” ) Phép biến đổi Laplace của hàm sin điều hòa:
- A2
L[Asinøt|= |A(sinat)e “dt =— Ife -e 3" edt [Asnet]= fA(sinar)e*ar=>- f(e -e™
L[Asinot]=4—1 A_1 _ Ae 2js-jo 2js+jo s’+07 (2.22) ,
Trang 38Hàm xung don vj (Delta - Dirac) Xét ham xung don vj hay ham Delta -
Dirac có dạng:
0 khi tt,
t-t)=
(tte) en