TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH SÔNG LÔ ĐỀ CHÍNH THỨC Đ/c: Đồng Thịnh –Sông Lô – V.Phúc ĐT : 0987.817.908; 0982.315.320 http://laisac.page.tl ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN III NĂM 2011 Môn thi : TOÁN - khối A. Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số 2 1 x y x = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A với A(2;0). Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 π += + + x xx x x 2. Giải bất phương trình : 2 2 35 5 4 24x x x + < − + + Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân : 2 4 4 2 4 sin cos (tan 2 tan 5) xdx x x x π π − − + ∫ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có ).0(',1 >== mmCCAB Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng 'AB và 'BC bằng 0 60 . Câu V (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : 2 2 10x 8 4 (2 1). 1x m x x+ + = + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mp toạ độ (Oxy) cho 2 đường thẳng: (d 1 ): 7 17 0x y − + = , (d 2 ): 5 0x y + − = . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d 1 ),(d 2 ) một tam giác cân tại giao điểm của (d 1 ),(d 2 ). 2. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Câu VII.a (1,0 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): 2 2 2 4 8 0x y x y+ + − − = .Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C)và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C)sao cho tam giác ABC vuông ở B. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là 2 2 2 ( ) : 4 2 6 5 0, ( ) : 2 2 16 0S x y z x y z P x y z+ + − + − + = + − + = . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng. Câu VII.b (1 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh số báo danh 1/4 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH SÔNG LÔ Đ/c: Đồng Thịnh –Sông Lô – V.Phúc ĐT : 0987.817.908; 0982.315.320 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN III NĂM 2011 Môn thi : TOÁN - khối A. Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề Câu Ý Nội dung Điểm I 2 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm) -Tập xác định: R\{1} -Sự biến thiên: ( ) 2 2 ' 0 1 1 y x x − = < ∀ ≠ − . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;1 −∞ và ( ) 1; +∞ 0.25 - ( ) ( ) 1 1 lim ; lim 1 x x y y x − + → → = −∞ = +∞ → = là tiệm cận đứng - lim lim 2 2 x x y y y →−∞ →+∞ = = → = là tiệm cận ngang 0.25 -Bảng biến thiên - ∞ + ∞ 2 2 y y' x - - + ∞ 1 - ∞ 0.25 -Đồ thị: Học sinh tự vẽ. Yêu cầu vẽ đồ thị cân đối, đảm bảo tính đối xứng của 2 nhánh qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Thể hiện đúng giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. 0.25 2 Tìm toạ độ hai điểm B, C… 1,0 Ta có 2 ( ) : 2 1 C y x = + − ; Gọi 2 2 ( ;2 ), ( ;2 ), 1 1 B b C c b c + + − − với ( b < 1 < c). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox, ta có · · · · · · ; 90AB AC CAK BAH CAK ACK BAH ACK = + = = + ⇒ = và · · 0 90 AH CK BHA CKA ABH CAK HB AK = = = ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = H K B A C 0,5 Hay 2 2 2 1 1 2 3 2 2 1 b b c c c b − = + = − − ⇔ = + = − − .Vậy ( 1;1), (3;3)B C− . 0,5 II 2,0 1 Giải phương trình … 1,0 §iÒu kiÖn: .0cossin,0sin ≠+≠ xxx PT ⇔ 2 cos 2sin cos cos 2cos 2cos 0 0 cos sin( ) sin 2 0 sin cos sin cos 4 2 sin 2 sin x x x x x x x x x x x x x x x π + − = ⇔ − = ⇔ + − = + + ÷ 0.5 2/4 +) ., 2 0cos +== kkxx +) 2 2 2 4 4 sin 2 sin( ) , Z 2 4 2 2 4 3 4 x m x x m x x m n n x x x n = + = + + = + = + = + 2 4 3 t x = + 0,25 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là kx += 2 ; .,, 3 2 4 += tk t x 0.25 2 Gii bt phng trỡnh. 1,0 BPT tng ng: 2 2 2 2 2 2 11 35 24 5 4 5 4 11 (5 4)( 35 24) 35 24 x x x x x x x x x + + < < < + + + + + + 0.25 a)Nu x 4 5 khụng tha món BPT 0.25 b)Nu x > 4/5: Hm s 2 2 (5 4)( 35 24)y x x x= + + + vi x > 4/5 y = 2 2 2 2 1 1 5( 35 24) (5 4)( ) 35 24 x x x x x + + + + + + + >0 mi x>4/5 Vy HSB. +Nu 4/5<x 1 thỡ y(x) 11 +Nu x>1 thỡ y(x)>11 Vy nghim BPT x>1 0.5 III Tớnh tớch phõn 1,0 2 4 4 2 4 sin cos (tan 2 tan 5) xdx I x x x = + . t 2 tan 1 dt t x dx t = = + . Ta co 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ln 3 2 5 3 2 5 t dt dt I t t t t = = + + + 0.5 Tinh 1 1 2 1 2 5 dt I t t = + . t 0 1 4 1 1 tan 2 2 8 t u I du = = = . Võy 2 3 2 ln 3 8 I = + . 0,5 IV 1,0 Hỡnh V Kẻ // ' ( ' ')BD AB D A B 0 60)',()','( == BCBDBCAB 0 60' = DBC hoặc .120' 0 = DBC 0,25 Nếu 0 60' = DBC . Vì lăng trụ đều nên ' ( ' ' '),BB A B C áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 1' 2 +== mBCBD và .3' = DC Kết hợp 0 60' = DBC ta suy ra 'BDC đều. Khi ú .231 2 ==+ mm 0,5 Nếu 0 120' = DBC . áp dụng định lý cosin cho 'BDC suy ra 0 = m (loại). Vậy .2 = m 0,25 V Tỡm m phng trỡnh 1,0 3/4 C C B B A m D 3 1 1 0 120 A 2 2 2 1 0 8x 4 2(2 1) 2( 1)x x x+ + = + + + (3) ⇔ 2 2 2 2 1 2 1 2 2 0 1 1 x x m x x + +æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ ç è ø è ø + + . 0,25 Đặt 2 2 1 1 x t x + = + Điều kiện : –2< t 5£ . Rút m ta có: m= 2 2 2t t + . 0,25 Lập bảng biên thiên được đáp số 12 4 5 m< £ hoặc –5 < 4m < - 0,5 VI a 2,0 1 Viết phương trình đường thẳng 1,00 Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là: 1 2 2 2 2 2 3 13 0 ( ) 7 17 5 3 4 0 ( ) 1 ( 7) 1 1 x y x y x y x y + − = ∆ − + + − = ⇔ − − = ∆ + − + 0,5 PT đường cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 2 ,∆ ∆ nên ta có hai đường thẳng thoả mãn 3 3 0x y + − = và 3 1 0x y − + = 0,5 2 Tìm toạ độ điểm D… 1,00 Ta có ( ) 1; 4; 3AB = − − − uuur Phương trình đường thẳng AB: 1 5 4 4 3 x t y t z t = − = − = − 0,25 Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB 0,25 Gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) ( ;4 3;3 3)DC a a a ⇒ = − − uuur . Vì AB DC ⊥ uuur uuur =>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21 26 a = . Tọa độ điểm 5 49 41 ; ; 26 26 26 D ÷ 0.5 VII a Giải phương trình trên tập số phức 1,00 Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho z 2 và đặt 2 3 6z z t z + + = , Dẫn tới phương trình : t 2 +2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3. 0,5 • Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z ⇔ z 2 +2z+6 = 0 ⇔ z = -1± 5 i 0,25 • Với t=-3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3z ⇔ z 2 +6z+6 = 0⇔ z = -3 ± 3 0,25 VI b 2,0 1 Tìm toạ độ điểm C 1,00 Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 0; 2 2 4 8 0 1; 3 5 2 0 y x x y x y y x x y = = + + − − = ⇔ = − = − − − = .Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(-3;-1). 0,5 Vì · 0 90ABC = nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4). 0,5 2 Tìm toạ độ các điểm M, N 1,0 Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): ( ) ( ) ( ) 2.2 2. 1 3 16 , 5 3 d d I P d R + − − + = = = ⇒ > . 0,25 4/4 Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2. Trong trường hợp này, M ở vị trí M 0 và N ở vị trí N 0 . Dễ thấy N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M 0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với mặt cầu (S). 0,25 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N 0 là giao điểm của ∆ và (P). Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là ( ) 2;2; 1 P n = − r và qua I nên có phương trình là ( ) 2 2 1 2 3 x t y t t z t = + = − + ∈ = − ¡ . 0,25 Tọa độ của N 0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: ( ) ( ) ( ) 15 5 2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0 9 3 t t t t t + + − + − − + = ⇔ + = ⇔ = − = − .Suy ra 0 4 13 14 ; ; 3 3 3 N − − ÷ . Ta có 0 0 3 . 5 IM IN = uuuur uuur Suy ra M 0 (0;-3;4) 0,25 VII b Giải phương trình trên rập số phức 1,00 . z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 ⇔ (z 4 +1)-(z 3 -z)+ 2 2 z =0. 0,5 Chia cả hai vế cho z 2 , ta được : (z 2 + 2 1 z ) –(z- 1 z ) + 1 2 =0 ⇔ 2 5 0, 2 w w - + = (với 1 z z w = - ) ⇔ 1 3 , 2 2 i w = + hoặc 1 3 2 2 i w = - + Phương trình : z- 1 z = 1 2 + 3 2 i cho nghiệm z 1 =1+i ; z 2 =- 1 2 (1-i) + Phương trình : z- 1 z = 1 2 - 3 2 i cho nghiêm z 3 =- 1 2 (1+i) ; z 4 = 1-i 0,5 5/4 . LUYỆN THI ĐH SÔNG LÔ ĐỀ CHÍNH THỨC Đ/c: Đồng Thịnh –Sông Lô – V .Phúc ĐT : 0987.817.908; 0982 .31 5 .32 0 http://laisac.page.tl ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN III NĂM 2011 Môn thi : TOÁN - khối. : 0987.817.908; 0982 .31 5 .32 0 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN III NĂM 2011 Môn thi : TOÁN - khối A. Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề Câu Ý Nội dung Điểm I. đặt 2 3 6z z t z + + = , Dẫn tới phương trình : t 2 +2t -3 = 0 ⇔t=1 hoặc t= -3 . 0,5 • Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z ⇔ z 2 +2z+6 = 0 ⇔ z = -1 ± 5 i 0,25 • Với t= -3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3 z ⇔ z 2 +6z+6