SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÀ VINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG ĐỀ ÔN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THÔNG NĂM 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 : ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 4 2 9 2 4 4 x y x= − + + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho 2) Dùng đồ thị ( C ), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 4 2 8 0 (1)x x m− + = Câu 2 (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 3 3 log 8log 3 0− + =x x . 2) Tính tích phân I = 3 2 1 ln+ ∫ e x x dx x . 3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 2 2 ( ) 4 5 + = − x f x e x x trên đoạn 1 3 ; 2 2 . Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AC a = , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, tính thể tích của khối chóp G.ABC theo a. II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương trình chuẩn 4a,5a; phần cho chương trình nâng cao 4b,5b). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; -5) và đường thẳng (d) có phương trình: x 1 y 1 z 2 1 2 − + = = − 1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d). 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và O. Câu 5a (1,0 điểm). Giải phương trình 2 ( 2) 2( 2) 5 0+ + + + =z z trên tập số phức. 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng (d) có phương trình: (S): 2 2 2 x y z 8x 6y 4z 15 0+ + − + − + = và (d): x 2 y 2 z 3 2 1 + + = = − 1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng (d). 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d). Câu 5b (1,0 điểm). Giải phương trình ( ) 2 z 4 2i z 7 4i 0− − + − = trên tập số phức. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 1 GV: BÙI VĂN PHÚC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ ƠN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010 – 2011 TRÀ VINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng GV: BÙI VĂN PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I. PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 4 2 9 2 4 4 x y x= − + + . 2.0 1. Tập xác định: D = ¡ 2. Sự biến thiên: Chiều biến thiên: • 3 y' x 4x= − + x 2 y' 0 x 0 = ± = ⇔ = + Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 2)−∞ − và (0;2), nghịch biến trên từng khoảng (-2;0) và (2; )+∞ + Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 = ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) 4= . + Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2= − ; giá trị cực tiểu của hàm số là y( 2) 0− = . + Giới hạn: x lim y →−∞ = −∞ và x lim y →+∞ = −∞ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 3. Đồ thị: + Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm 9 0; 4 ÷ . + Giao điểm của đồ thị với trục hoành là các điểm ( ) ( ) 3;0 ; 3;0− . + Vẽ đồ thị: 0.5 2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2 8 0 (1)x x m− + = 1.0 • Ta có : 4 4 2 2 9 9 8 0 2 4 4 4 x m x x m x + − + = ⇔ − + + = . • Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 9 2 4 4 x y x= − + + và đường thẳng m 9 y 4 + = . • Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) như sau: + m > 16 : Phương trình (1) vô nghiệm + m 16 m 0 = < : Phương trình (1) có 2 nghiệm + m 0= : Phương trình (1) có 3 nghiệm. + 0 m 16 < < : Phương trình (1) có 4 nghiệm. 0.25 0.25 0.5 Câu 2 1 Giải phương trình 2 3 3 log 8log 3 0− + =x x (1) 1.0 Điều kiện: x 0> • Khi đó: 2 2 3 3 3 3 log 8log 3 0 log 4log 3 0− + = ⇔ − + =x x x x (2) • Đặt 3 t log x= , phương trình (2) trở thành: 2 t 1 t 4t 3 0 t 3 = − + = ⇔ = • Với t 1= thì 3 log x 1 x 3= ⇔ = Với t 3= thì 3 log x 3 x 27= ⇔ = • Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là { } S 3;27= . 0.25 0.25 0.25 0.25 3 2 Tính tích phân I = 3 2 1 ln+ ∫ e x x dx x 1.0 • Ta có: 3 2 2 1 1 1 ln 1 ln + = = + ∫ ∫ ∫ e e e x x I dx xdx xdx x x • e e 2 2 1 1 x e 1 xdx 2 2 2 = = − ∫ • Đặt 2 1 u ln x du dx x 1 1 dv dx v x x = = ⇒ = = − Do đó: e e e e 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ln xdx ln x dx 1 1 x x x e x e e e = − + = − + − = − − + = − ∫ ∫ • Vậy 2 e 2 1 I 2 e 2 = − + . 0.25 0.25 0.25 0.25 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 3 2 2 ( ) 4 5 + = − x f x e x x trên đoạn 1 3 ; 2 2 . 1.0 • Trên đoạn 1 3 D ; 2 2 = ta có: ( ) ( ) ( ) 3x 2 2 3x 2 3x 2 2 y' 3e . 4x 5x 8x 5 .e e . 12x 7x 5 + + + = − + − = − − • 2 x 1 D 5 y' 0 12x 7x 5 0 x D 12 = ∈ = ⇔ − − = ⇔ = − ∉ • So sánh ba giá trị: ( ) 7 5 13 1 3 f e 2 2 f 1 e 3 3 f 3 2 2 = − ÷ = − = ÷ Ta suy ra được: 13 x D 3 maxf (x) e 2 ∈ = và 5 x D min f(x) e ∈ = − . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 1.0 4 • Do SA (ABC)⊥ nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). Suy ra ( ) ( ) · 0 SC;(ABC) SC;AC SCA 60= = = . • Xét hai tam giác vuông SAC và ABC ta suy ra được: 0 SA AC.t an60 a 3 AC a 2 AB BC 2 2 = = = = = • Do G là trọng tâm tam giác SAB nên: ( ) ( ) 1 1 a 3 d G;AB d S;AB SA 3 3 3 = = = • Vậy thể tích khối chóp G.ABC là: ( ) ( ) 3 2 ABC 1 1 1 a 3 V S .d G;ABC . AB .d G;AB 3 3 2 36 ∆ = = = . 0.25 0.25 0.25 0.25 II. PHẦN RIÊNG 3.0 Câu 4a 1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d). 1.0 • Đường thẳng (d) đi qua ( ) 0 M 1; 1;0− và có VTCP là: ( ) a 2; 1;2= − r • Do mặt phẳng (P) đi qua điểm ( ) A 1; 2; 5− − và vuông góc với (d) nên VTPT của (P) là ( ) n a 2; 1;2= = − r r • Suy ra phương trình của mặt phẳng (P): ( ) ( ) ( ) 2 x 1 1 y 2 2 z 5 0 2x y 2z 6 0− − + + + = ⇔ − + + = • Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ phương trình: ( ) 2x y 2z 6 x 1 x 2y 1 y 0 H 1;0; 2 2y z 2 z 2 − + = − = − + = − ⇔ = ⇒ − − + = − = − . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d) và đi qua hai điểm A và O. 1.0 • Phương trình tham số của (d): ( ) x 1 2t y 1 t t z 2t = + = − − ∈ = ¡ . Do tâm I của mặt cầu (S) thuộc (d) nên ( ) I 1 2t; 1 t;2t+ − − • Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, O nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IO IA IO IA 1 2t 1 t 2t 2t 1 t 2t 5 1 4t 4t 1 2t t 4t 4t 1 2t t 4t 20t 25 t 2 = ⇔ = ⇔ + + − − + = + − + + ⇔ + + + + + + = + − + + + + ⇔ = − • Suy ra mặt cầu (S) có tâm ( ) I 3;1; 4− − , bán kính R IO 9 1 16 26= = + + = • Vậy phương trình của (S) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 3 y 1 z 4 26+ + − + + = . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5a Giải phương trình 2 ( 2) 2( 2) 5 0+ + + + =z z trên tập số phức. 1.0 • Ta có: 2 2 ( 2) 2( 2) 5 0 6 13 0+ + + + = ⇔ + + =z z z z (1) • Phương trình (1) có: ( ) 2 ' 9 13 4 2i∆ = − = − = • Do đó phương trình (1) có hai nghiệm là: 1 z 3 2i= − − và 1 z 3 2i= − + . 0.25 0.25 0.5 Câu 4b 1 Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến 1.0 5 đường thẳng d • Mặt cầu (S) có tâm ( ) I 4; 3;2− , bán kính R 16 9 4 15 14= + + − = • Do đường thẳng (d) đi qua điểm ( ) 0 M 2; 2;0− − và có VTCT ( ) a 3;2; 1= − r nên ( ) 0 M I;a d I,(d) a = uuuur r r • ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 2 6 6 1 M I 6; 1;2 M I;a ; ; 3;12;15 a 3;2; 1 2 1 1 3 3 2 − − = − ⇒ = = − ÷ = − − − uuuur uuuur r r • Do đó: ( ) 378 378 d I,(d) 27 3 3 14 14 = = = = . 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d). 1.0 • Do mặt phẳng (P) vuông góc (d) nên VTPT của (P) là ( ) n a 3;2; 1= = − r r • Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc (d) có dạng: 3x 2y z D 0+ − + = • Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: 4 D D 10 d(I,(P)) R 14 4 D 14 D 18 14 + = = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − • Vậy có hai mặt phẳng thỏa đề bài là: 3x 2y z 10 0+ − + = và 3x 2y z 18 0+ − − = . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5b Giải phương trình ( ) 2 z 4 2i z 7 4i 0− − + − = trên tập số phức. 1.0 • Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 i 7 4i 3 4i 7 4i 4 2i∆ = − − − = − − + = − = • Do đó phương trình có hai nghiệm là: 1 z 2 i 2i 2 i= − + − = − − và 2 z 2 i 2i 2 3i= − + + = − + . 0.5 0.5 Hết Giáo viên: Bùi Văn Phúc 6 . 2 1 1 1 ln 1 ln + = = + ∫ ∫ ∫ e e e x x I dx xdx xdx x x • e e 2 2 1 1 x e 1 xdx 2 2 2 = = − ∫ • Đặt 2 1 u ln x du dx x 1 1 dv dx v x x = = ⇒ = = − Do đó: e e e e 2 2 1 1 1 1 1. VINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG ĐỀ ÔN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THÔNG NĂM 2 010 - 2 011 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 15 0 phút, không kể thời gian giao đề I - PHẦN CHUNG. dx v x x = = ⇒ = = − Do đó: e e e e 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ln xdx ln x dx 1 1 x x x e x e e e = − + = − + − = − − + = − ∫ ∫ • Vậy 2 e 2 1 I 2 e 2 = − + . 0.25 0.25 0.25 0.25 3 Tìm