BÀI TẬP Bài 1 Cho một số tự nhiên có 2 chữ số, ta lập một số mới bằng cách viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của số đã cho. a) Chứng tỏ rằng: Hiệu của số mới và số đã cho chia hết cho 45. b) Tìm số đã cho biết số mới gấp 9 lần số đã cho. Bài 2 Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 4 4 4 4 x x x x A x x x x + − − − = − − − + − Bài 3 : Cho các số dương a, b, x thoả mãn 2 2 1 ab x b = + Xét biểu thức 1 3 a x a x P b a x a x + + − = + + − − a). Chứng minh P luôn xác định. b). Rút gọn P. Bài 4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2007x y+ = Bài 5 Cho tam giác ABC (AC>AB). Lấy các điểm D, E tuỳ ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD=CE. Gọi K là giao điểm của DE với BC. Chứng minh rằng tỉ số KE KD không đổi. Bài 6 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng m đi qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D. Chứng minh rằng khi m quay quanh A ( thoả mãn m không trùng với AB) thì ˆ CBD không đổi. Trang 1 HƯỚNG DẪN BÀI Ý NỘI DUNG 1 a (1 đ) Gọi số đã cho là ab thì số mới sau khi thêm 0 vào giữa hai chữ số là 0a b 0 9;0 0 9a≤ ≤ < ≤ . Hiệu của số mới và số đã cho là: 0a b ab− = 0 100 (10 ) 90 2.45. 45a b ab a b a b a a− = + − + = = M . Vậy hiệu của số mới và số đã cho chia hết cho 45. b (1,5) Vì số mới gấp 9 lần số đã cho và ; ;0 9;0 0 9a b N a∈ ≤ ≤ < ≤ nên ta có : : 0 9. 100 9(10 ) 100 90 9 110 8 5 4 4 5 4, 5 a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b = ⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ = ⇔ = ⇒ = ⇒ = = Vậy số đã cho là 45. 2 (1) Rút gọn: 2 2 2 2 4 4 4 4 x x x x A x x x x + − − − = − − − + − Điều kiện : 2; 2x x≤ − ≥ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − − + − − − = − = − − + − − − + − + − + − − − − + − = − + − = = − 3 a (1) 1 3 a x a x P b a x a x + + − = + + − − với 2 2 1 ab x b = + Ta có: a>0, b>0, x>0 0a x⇒ + > (1) Xét ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 1 1 1 a b ab a b ab a x a b b b + − − − = − = = ≥ + + + (2) Ta có a+x>a-x 0 0a x a x a x a x+ > − ≥ ⇒ + − − ≠ (3) Từ (1), (2), (3) suy ra P luôn xác định. b (1) Rút gọn 1 3 a x a x P b a x a x + + − = + + − − Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 a b ab a b ab a a x a a x b b b b b + + + + = + = = ⇒ + = + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 a b ab a b ab a a x a a x b b b b b + − − − = − = = ⇒ − = − + + + + Trang 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 a a b b b b b b P b b b b a a b b b b + + − + + − + + ⇒ = + = + + − − + − − + + * Nếu 0<b<1 thì 2 1 4 2 3 3 P b b b = + = * Nếu 1b ≥ thì 2 1 3 1 3 3 b P b b b + = + = 4 1 Nghiệm nguyên dương của phương trình 2007x y+ = 2007 3 223x y x y+ = ⇔ + = Vì x, y nguyên dương nên vai trò như nhau. Do đó ;x y có dạng: 223x a= và 223y b= 223 223 3 223a b⇒ + = Với a+b=3 suy ra a=1; b=2 hoặc a=2; b=1. Các cặp ngiệm nguyên dương cần tìm là: (223;892); (892;223) 5 (1,5) Cách 2. Từ D kẻ / / ( )DP AC P BC∈ Theo định lí Ta-let ta có : (1) KE EC KE BD KD DP KD DP = ⇒ = Lại có: (2) BD DP DB AB AB AC DP AC = ⇒ = Từ (1) và (2) KE AB KD AC ⇒ = AB và AC có độ dài không đổi nên tỷ số AB AC không đổi. Điều đó chứng tỏ tỷ số KE KD không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E. 6 (2) Vẽ hình Trong đường tròn (O), có ˆ ACB là góc nội tiếp, ˆ AOB là góc ở tâm cùng chắn cung AB nên 1 ˆ ˆ 2 ACB AOB= ˆ ˆ 'ACB O OB⇒ = (1) Tương tự trong đường tròn (O’) ta có 1 ˆ ˆ ' 2 ADB AO B= ˆ ˆ 'ADB OO B⇒ = (2) Từ (1) và (2) suy ra ˆ ˆ ˆ ˆ ' 'ACB ADB O OB OO B+ = + . Mà 0 ˆ ˆ ˆ 180ACB ADB CBD+ = − và 0 ˆ ˆ ˆ ' ' 180 'O OB OO B OBO+ = − ( Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180 0 ) ˆ ˆ 'CBD OBO⇒ = ˆ 'OBO không đổi nên ˆ CBD không đổi. Trang 3 P K D E C B A D A B O' O C . 45. 2 (1) Rút gọn: 2 2 2 2 4 4 4 4 x x x x A x x x x + − − − = − − − + − Điều kiện : 2; 2x x≤ − ≥ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 2 4. đó ;x y có dạng: 22 3x a= và 22 3y b= 22 3 22 3 3 22 3a b⇒ + = Với a+b=3 suy ra a=1; b =2 hoặc a =2; b=1. Các cặp ngiệm nguyên dương cần tìm là: (22 3;8 92) ; (8 92; 223 ) 5 (1,5) Cách 2. Từ D kẻ / / (. + + + = + = = ⇒ + = + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 a b ab a b ab a a x a a x b b b b b + − − − = − = = ⇒ − = − + + + + Trang 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 a