GA BD TOAN 6

Bài 1 : CHNG MINH MT S KHễNG PHI L S CHNH PHNG Trong chng trỡnh Toỏn lp 6, cỏc em ó c hc v cỏc bi toỏn liờn quan ti phộp chia ht ca mt s t nhiờn cho mt s t nhiờn khỏc 0 v c bit l c gii thiu v s chớnh phng, ú l s t nhiờn bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn (chng hn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; ). Kt hp cỏc kin thc trờn, cỏc em cú th gii quyt bi toỏn : Chng minh mt s khụng phi l s chớnh phng. õy cng l mt cỏch cng c cỏc kin thc m cỏc em ó c hc. Nhng bi toỏn ny s lm tng thờm lũng say mờ mụn toỏn cho cỏc em. 1. Nhỡn ch s tn cựng Vỡ s chớnh phng bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn nờn cú th thy ngay s chớnh phng phi cú ch s tn cựng l mt trong cỏc ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. T ú cỏc em cú th gii c bi toỏn kiu sau õy : Bi toỏn 1 : Chng minh s : n = 2004 2 + 2003 2 + 2002 2 - 2001 2 khụng phi l s chớnh phng. Li gii : D dng thy ch s tn cựng ca cỏc s 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ln lt l 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do ú s n cú ch s tn cựng l 8 nờn n khụng phi l s chớnh phng. Chỳ ý : Nhiu khi s ó cho cú ch s tn cựng l mt trong cỏc s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhng vn khụng phi l s chớnh phng. Khi ú cỏc bn phi lu ý thờm mt chỳt na : Nu s chớnh phng chia ht cho s nguyờn t p thỡ phi chia ht cho p 2 . Bi toỏn 2 : Chng minh s 1234567890 khụng phi l s chớnh phng. Li gii : Thy ngay s 1234567890 chia ht cho 5 (vỡ ch s tn cựng l 0) nhng khụng chia ht cho 25 (vỡ hai ch s tn cựng l 90). Do ú s 1234567890 khụng phi l s chớnh phng. Chỳ ý : Cú th lý lun 1234567890 chia ht cho 2 (vỡ ch s tn cựng l 0), nhng khụng chia ht cho 4 (vỡ hai ch s tn cựng l 90) nờn 1234567890 khụng l s chớnh phng. Bi toỏn 3 : Chng minh rng nu mt s cú tng cỏc ch s l 2004 thỡ s ú khụng phi l s chớnh phng. Li gii : Ta thy tng cỏc ch s ca s 2004 l 6 nờn 2004 chia ht cho 3 m khụng chia ht 9 nờn s cú tng cỏc ch s l 2004 cng chia ht cho 3 m khụng chia ht cho 9, do ú s ny khụng phi l s chớnh phng. 2. Dựng tớnh cht ca s d Chng hn cỏc em gp bi toỏn sau õy : Bi toỏn 4 : Chng minh mt s cú tng cỏc ch s l 2006 khụng phi l s chớnh phng. Chc chn cỏc em s d b choỏng. Vy bi toỏn ny ta s phi ngh ti iu gỡ ? Vỡ cho gi thit v tng cỏc ch s nờn chc chn cỏc em phi ngh ti phộp chia cho 3 hoc cho 9. Nhng li khụng gp iu kỡ diu nh bi toỏn 3. Th thỡ ta núi c iu gỡ v s ny ? Chc chn s ny chia cho 3 phi d 2. T ú ta cú li gii. Li gii : Vỡ s chớnh phng khi chia cho 3 ch cú s d l 0 hoc 1 m thụi (coi nh bi tp cỏc em t chng minh !). Do tng cỏc ch s ca s ú l 2006 nờn s ú chia cho 3 d 2. Chng t s ó cho khụng phi l s chớnh phng. Tng t cỏc em cú th t gii quyt c 2 bi toỏn : Bi toỏn 5 : Chng minh tng cỏc s t nhiờn liờn tip t 1 n 2005 khụng phi l s chớnh phng. Bi toỏn 6 : Chng minh s : n = 2004 4 + 2004 3 + 2004 2 + 23 khụng l s chớnh phng. Bõy gi cỏc em theo dừi bi toỏn sau ngh ti mt tỡnh hung mi. Bi toỏn 7 : Chng minh s : n = 4 4 + 44 44 + 444 444 + 4444 4444 + 15 khụng l s chớnh phng. Nhn xột : Nu xột n chia cho 3, cỏc em s thy s d ca phộp chia s l 1, th l khụng bt chc c cỏch gii ca cỏc bi toỏn 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nu xột ch s tn cựng cỏc em s thy ch s tn cựng ca n l 9 nờn khụng lm tng t c nh cỏc bi toỏn 1 ; 2. S d ca phộp chia n cho 4 l d thy nht, ú chớnh l 3. Mt s chớnh phng khi chia cho 4 s cho s d nh th no nh ? Cỏc em cú th t chng minh v c kt qu : s d ú ch cú th l 0 hoc 1. Nh vy l cỏc em ó gii xong bi toỏn 7. BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 1 3. Kp s gia hai s chớnh phng liờn tip Cỏc em cú th thy rng : Nu n l s t nhiờn v s t nhiờn k tha món n 2 < k < (n + 1) 2 thỡ k khụng l s chớnh phng. T ú cỏc em cú th xột c cỏc bi toỏn sau : Bi toỏn 8 : Chng minh s 4014025 khụng l s chớnh phng. Nhn xột : S ny cú hai ch s tn cựng l 25, chia cho 3 d 1, chia cho 4 cng d 1. Th l tt c cỏc cỏch lm trc u khụng vn dng c. Cỏc em cú th thy li gii theo mt hng khỏc. Li gii : Ta cú 2003 2 = 4012009 ; 2004 2 = 4016016 nờn 2003 2 < 4014025 < 2004 2 . Chng t 4014025 khụng l s chớnh phng. Bi toỏn 9 : Chng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng l s chớnh phng vi mi s t nhiờn n khỏc 0. Nhn xột : i vi cỏc em ó lm quen vi dng biu thc ny thỡ cú th nhn ra A + 1 l s chớnh phng (õy l bi toỏn quen thuc vi lp 8). Cỏc em lp 6, lp 7 cng cú th chu khú c li gii. Li gii : Ta cú : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n 2 + 3n +1) 2 . Mt khỏc : (n 2 + 3n) 2 < (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) = A. iu ny hin nhiờn ỳng vỡ n 1. Chng t : (n 2 + 3n) 2 < A < A + 1 = (n 2 + 3n +1) 2 . => A khụng l s chớnh phng. Cỏc em cú th rốn luyn bng cỏch th gii bi toỏn sau : Bi toỏn 10 : Hóy tỡm s t nhiờn n sao cho A = n 4 - 2n 3 + 3n 2 - 2n l s chớnh phng. Gi ý : Ngh n (n 2 - n + 1) 2 . Bi toỏn 11 : Chng minh s 23 5 + 23 12 + 23 2003 khụng l s chớnh phng. Gi ý : Ngh n phộp chia cho 3 hoc phộp chia cho 4. Bi toỏn 12 : Cú 1000 mnh bỡa hỡnh ch nht, trờn mi mnh bỡa c ghi mt s trong cỏc s t 2 n 1001 sao cho khụng cú hai mnh no ghi s ging nhau. Chng minh rng : Khụng th ghộp tt c cỏc mnh bỡa ny lin nhau c mt s chớnh phng. Bi toỏn 13 : Chng minh rng : Tng cỏc bỡnh phng ca bn s t nhiờn liờn tip khụng th l s chớnh phng. Gi ý : Ngh ti phộp chia cho 4. Bi toỏn 14 : Chng minh rng s 333 333 + 555 555 + 777 777 khụng l s chớnh phng. Gi ý : Ngh n phộp chia cho mt chc (?) Bi toỏn 15 : Lỳc u cú hai mnh bỡa, mt cu bộ tinh nghch c cm mt mnh bỡa lờn li xộ ra lm bn mnh. Cu ta mong rng c lm nh vy n mt lỳc no ú s c s mnh bỡa l mt s chớnh phng. Cu ta cú thc hin c mong mun ú khụng ? kt thỳc bi vit ny, tụi mun chỳc cỏc em hc tht gii mụn toỏn ngay t u bc THCS v cho tụi c núi riờng vi cỏc quý thy cụ : nguyờn tc chung chng minh mt s t nhiờn khụng l s chớnh phng, ú l da vo mt trong cỏc iu kin cn mt s l s chớnh phng (m nh cỏc quý thy cụ ó bit : mi iu kin cn trờn i l dựng ph nh !). T ú cỏc quý thy cụ cú th sỏng to thờm nhiu bi toỏn thỳ v khỏc. Bài 2 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Cỏc bn ó c gii thiu cỏc phng phỏp chng minh mt s khụng phi l s chớnh phng trong TTT2 s 9. Bi vit ny, tụi mun gii thiu vi cỏc bn bi toỏn chng minh mt s l s chớnh phng. Phng phỏp 1 : Da vo nh ngha. BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 2 Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải quyết các bài toán. Bài toán 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì a n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Lời giải : Ta có : a n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n 2 + 3n) (n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3n) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 Với n là số tự nhiên thì n 2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a n là số chính phương. Bài toán 2 : Chứng minh số : là số chính phương. Lời giải : Ta có : Vậy : là số chính phương. Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt. Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”. Bài toán 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m 2 + m = 4n 2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương. Lời giải : Ta có : 3m 2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m 2 - n2) + (m - n) = m 2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m 2 (*) Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d. Mặt khác, từ (*) ta có : m 2 chia hết cho d 2 => m chia hết cho d. Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1. Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Cuối cùng xin gửi tới các bạn một số bài toán thú vị về số chính phương : BDHSG-chuyeân ñeà 1 soá hoïc 3 1) Chng minh cỏc s sau õy l s chớnh phng : 2) Cho cỏc s nguyờn dng a, b, c ụi mt nguyờn t cựng nhau, tha món : 1/a + 1/b = 1/c. Hóy cho bit a + b cú l s chớnh phng hay khụng ? 3) Chng minh rng, vi mi s t nhiờn n thỡ 3 n + 4 khụng l s chớnh phng. 4) Tỡm s t nhiờn n n 2 + 2n + 2004 l s chớnh phng. 5) Chng minh : Nu : v n l hai s t nhiờn thỡ a l s chớnh phng. Bài 3 : TèM CH S TN CNG Tỡm ch s tn cựng ca mt s t nhiờn l dng toỏn hay. a s cỏc ti liu v dng toỏn ny u s dng khỏi nim ng d, mt khỏi nim tru tng v khụng cú trong chng trỡnh. Vỡ th cú khụng ớt hc sinh, c bit l cỏc bn lp 6 v lp 7 khú cú th hiu v tip thu c. Qua bi vit ny, tụi xin trỡnh by vi cỏc bn mt s tớnh cht v phng phỏp gii bi toỏn tỡm ch s tn cựng, ch s dng kin thc THCS. Chỳng ta xut phỏt t tớnh cht sau : Tớnh cht 1 : a) Cỏc s cú ch s tn cựng l 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn ly tha bc bt kỡ thỡ ch s tn cựng vn khụng thay i. b) Cỏc s cú ch s tn cựng l 4, 9 khi nõng lờn ly tha bc l thỡ ch s tn cựng vn khụng thay i. c) Cỏc s cú ch s tn cựng l 3, 7, 9 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n thuc N) thỡ ch s tn cựng l 1. d) Cỏc s cú ch s tn cựng l 2, 4, 8 khi nõng lờn ly tha bc 4n (n thuc N) thỡ ch s tn cựng l 6. Vic chng minh tớnh cht trờn khụng khú, xin dnh cho bn c. Nh vy, mun tỡm ch s tn cựng ca s t nhiờn x = a m , trc ht ta xỏc nh ch s tn cựng ca a. - Nu ch s tn cựng ca a l 0, 1, 5, 6 thỡ x cng cú ch s tn cựng l 0, 1, 5, 6. - Nu ch s tn cựng ca a l 3, 7, 9, vỡ a m = a 4n + r = a 4n .a r vi r = 0, 1, 2, 3 nờn t tớnh cht 1c => ch s tn cựng ca x chớnh l ch s tn cựng ca a r . - Nu ch s tn cựng ca a l 2, 4, 8, cng nh trng hp trờn, t tớnh cht 1d => ch s tn cựng ca x chớnh l ch s tn cựng ca 6.a r . BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 4 Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : a) 7 99 b) 14 1414 c) 4 567 Lời giải : a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 9 9 - 1 = (9 - 1)(9 8 + 9 7 + … + 9 + 1) chia hết cho 4 => 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 7 99 = 7 4k + 1 = 7 4k .7 Do 7 4k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 7 99 có chữ số tận cùng là 7. b) Dễ thấy 14 14 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14 1414 = 14 4k có chữ số tận cùng là 6. c) Ta có 5 67 - 1 chia hết cho 4 => 5 67 = 4k + 1 (k thuộc N) => 4 567 = 4 4k + 1 = 4 4k .4, theo tính chất 1d, 4 4k có chữ số tận cùng là 6 nên 4 567 có chữ số tận cùng là 4. Tính chất sau được => từ tính chất 1. Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2 1 + 3 5 + 4 9 + … + 2004 8009 . Lời giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n - 2) + 1 , n thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. Tính chất 3 : a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2 3 + 3 7 + 4 11 + … + 2004 8011 . Lời giải : Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n - 2) + 3 , n thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất 3 thì 2 3 có chữ số tận cùng là 8 ; 3 7 có chữ số tận cùng là 7 ; 4 11 có chữ số tận cùng là 4 ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. * Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 1995 2000 . Lời giải : 1995 2000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n 2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? Ta có n 2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n 2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n 2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n 2 + n + 1 không chia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 1995 2000 . Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có thể giải được bài toán sau : Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương : a) M = 19 k + 5 k + 1995 k + 1996 k (với k chẵn) b) N = 2004 2004k + 2003 BDHSG-chuyeân ñeà 1 soá hoïc 5 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : p 8n +3.p 4n - 4 chia hết cho 5. * Các bạn hãy giải các bài tập sau : Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia : a) 2 1 + 3 5 + 4 9 + … + 2003 8005 cho 5 b) 2 3 + 3 7 + 4 11 + … + 2003 8007 cho 5 Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : X = 2 2 + 3 6 + 4 10 + … + 2004 8010 Y = 2 8 + 3 12 + 4 16 + … + 2004 8016 Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : U = 2 1 + 3 5 + 4 9 + … + 2005 8013 V = 2 3 + 3 7 + 4 11 + … + 2005 8015 Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19 x + 5 y + 1980z = 1975 430 + 2004. * Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. * Tìm hai chữ số tận cùng Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau : Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a m ∶ 2 m . Gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 ∶ 25. Viết m = p n + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q ∶ 4 ta có : x = a m = a q (a pn - 1) + a q . Vì a n - 1 ∶ 25 => a pn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên a q (a pn - 1) ∶ 100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 ∶ 100. Viết m = u n + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : x = a m = a v (a un - 1) + a v . Vì a n - 1 ∶ 100 => a un - 1 ∶ 100. Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a v . Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của a v . Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của a q và a v . Bài toán 7 : Tìm hai chữ số tận cùng của các số : a) a 2003 b) 7 99 Lời giải : a) Do 2 2003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2 n - 1 ∶ 25. Ta có 2 10 = 1024 => 2 10 + 1 = 1025 ∶ 25 => 2 20 - 1 = (2 10 + 1)(2 10 - 1) ∶ 25 => 2 3 (2 20 - 1) ∶ 100. Mặt khác : 2 2003 = 2 3 (2 2000 - 1) + 2 3 = 2 3 ((2 20 ) 100 - 1) + 2 3 = 100k + 8 (k Є N). Vậy hai chữ số tận cùng của 2 2003 là 08. b) Do 7 99 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7 n - 1 ∶ 100. Ta có 7 4 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100. Mặt khác : 9 9 - 1 ∶ 4 => 9 9 = 4k + 1 (k Є N) Vậy 7 99 = 7 4k + 1 = 7(7 4k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài toán 8 : Tìm số dư của phép chia 3 517 cho 25. BDHSG-chuyeân ñeà 1 soá hoïc 6 Li gii : Trc ht ta tỡm hai ch s tn cựng ca 3 517 . Do s ny l nờn theo trng hp 2, ta phi tỡm s t nhiờn n nh nht sao cho 3 n - 1 100. Ta cú 3 10 = 9 5 = 59049 => 3 10 + 1 50 => 3 20 - 1 = (3 10 + 1) (3 10 - 1) 100. Mt khỏc : 5 16 - 1 4 => 5(5 16 - 1) 20 => 5 17 = 5(5 16 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3 517 = 3 20k + 5 = 3 5 (3 20k - 1) + 3 5 = 3 5 (3 20k - 1) + 243, cú hai ch s tn cựng l 43. Vy s d ca phộp chia 3 517 cho 25 l 18. Trong trng hp s ó cho chia ht cho 4 thỡ ta cú th tỡm theo cỏch giỏn tip. Trc tiờn, ta tỡm s d ca phộp chia s ú cho 25, t ú suy ra cỏc kh nng ca hai ch s tn cựng. Cui cựng, da vo gi thit chia ht cho 4 chn giỏ tr ỳng. Cỏc thớ d trờn cho thy rng, nu a = 2 hoc a = 3 thỡ n = 20 ; nu a = 7 thỡ n = 4. Mt cõu hi t ra l : Nu a bt kỡ thỡ n nh nht l bao nhiờu ? Ta cú tớnh cht sau õy (bn c t chng minh). Tớnh cht 4 : Nu a N v (a, 5) = 1 thỡ a 20 - 1 25. Bi toỏn 9 : Tỡm hai ch s tn cựng ca cỏc tng : a) S 1 = 1 2002 + 2 2002 + 3 2002 + + 2004 2002 b) S 2 = 1 2003 + 2 2003 + 3 2003 + + 2004 2003 Li gii : a) D thy, nu a chn thỡ a 2 chia ht cho 4 ; nu a l thỡ a 100 - 1 chia ht cho 4 ; nu a chia ht cho 5 thỡ a 2 chia ht cho 25. Mt khỏc, t tớnh cht 4 ta suy ra vi mi a N v (a, 5) = 1 ta cú a100 - 1 25. Vy vi mi a N ta cú a 2 (a 100 - 1) 100. Do ú S 1 = 1 2002 + 2 2 (2 2000 - 1) + + 2004 2 (2004 2000 - 1) + 2 2 + 3 2 + + 2004 2 . Vỡ th hai ch s tn cựng ca tng S 1 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca tng 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 2004 2 . ỏp dng cụng thc : 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>1 2 + 2 2 + + 2004 2 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tn cựng l 30. Vy hai ch s tn cựng ca tng S 1 l 30. b) Hon ton tng t nh cõu a, S 2 = 1 2003 + 2 3 (2 2000 - 1) + + 2004 3 (2004 2000 - 1) + 2 3 + 3 3 + 2004 3 . Vỡ th, hai ch s tn cựng ca tng S 2 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 2004 3 . ỏp dng cụng thc : => 1 3 + 2 3 + + 2004 3 = (2005 x 1002) 2 = 4036121180100, tn cựng l 00. Vy hai ch s tn cựng ca tng S 2 l 00. Tr li bi toỏn 5 (TTT2 s 15), ta thy rng cú th s dng vic tỡm ch s tn cựng nhn bit mt s khụng phi l s chớnh phng. Ta cng cú th nhn bit iu ú thụng qua vic tỡm hai ch s tn cựng. Ta cú tớnh cht sau õy (bn c t chng minh). Tớnh cht 5 : S t nhiờn A khụng phi l s chớnh phng nu : + A cú ch s tn cựng l 2, 3, 7, 8 ; + A cú ch s tn cựng l 6 m ch s hng chc l ch s chn ; + A cú ch s hng n v khỏc 6 m ch s hng chc l l ; + A cú ch s hng n v l 5 m ch s hng chc khỏc 2 ; + A cú hai ch s tn cựng l l. Bi toỏn 10 : Cho n N v n - 1 khụng chia ht cho 4. Chng minh rng 7 n + 2 khụng th l s chớnh phng. Li gii : Do n - 1 khụng chia ht cho 4 nờn n = 4k + r (r {0, 2, 3}). Ta cú 7 4 - 1 = 2400 100. Ta vit 7 n + 2 = 7 4k + r + 2 = 7 r (7 4k - 1) + 7 r + 2. Vy hai ch s tn cựng ca 7 n + 2 cng chớnh l hai ch s tn cựng ca 7 r + 2 (r = 0, 2, 3) nờn ch cú th l 03, 51, 45. Theo tớnh cht 5 thỡ rừ rng 7 n + 2 khụng th l s chớnh phng khi n khụng chia ht cho 4. BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 7 * Tìm ba chữ số tận cùng Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m như sau : Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = a m chia hết cho 2 m . Gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 chia hết cho 125. Viết m = p n + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để a q chia hết cho 8 ta có : x = a m = a q (a pn - 1) + a q . Vì a n - 1 chia hết cho 125 => a pn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 nên a q (a pn - 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a q . Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của a q . Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 chia hết cho 1000. Viết m = u n + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : x = a m = a v (a un - 1) + a v . Vì a n - 1 chia hết cho 1000 => a un - 1 chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của a m cũng chính là ba chữ số tận cùng của a v . Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của a v . Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6 : Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a 100 - 1 chia hết cho 125. Chứng minh : Do a 20 - 1 chia hết cho 25 nên a 20 , a 40 , a 60 , a 80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 => a 20 + a 40 + a 60 + a 80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a 100 - 1 = (a 20 - 1)( a 80 + a 60 + a 40 + a 20 + 1) chia hết cho 125. Bài toán 11 : Tìm ba chữ số tận cùng của 123 101 . Lời giải : Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123 100 - 1 chia hết cho 125 (1). Mặt khác : 123 100 - 1 = (123 25 - 1)(123 25 + 1)(123 50 + 1) => 123 100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123 100 - 1 chi hết cho 1000 => 123 101 = 123(123 100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N). Vậy 123 101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài toán 12 : Tìm ba chữ số tận cùng của 3 399 98 . Lời giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9 100 - 1 chi hết cho 125 (1). Tương tự bài 11, ta có 9 100 - 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9 100 - 1 chia hết cho 1000 => 3 399 98 = 9 199 9 = 9 100p + 99 = 9 99 (9 100p - 1) + 9 99 = 1000q + 9 99 (p, q Є N). Vậy ba chữ số tận cùng của 3 399 98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 9 99 . Lại vì 9 100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9 100 là 001 mà 9 99 = 9 100 : 9 => ba chữ số tận cùng của 9 99 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9 99 là 9, sau đó dựa vào phép nhân để xác định ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3 399 98 là 889. Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giá trị đúng. Bài toán 13 : Tìm ba chữ số tận cùng của 2004 200 . Lời giải : do (2004, 5) = 1 (tính chất 6) => 2004 100 chia cho 125 dư 1 => 2004 200 = (2004 100 ) 2 chia cho 125 dư 1 BDHSG-chuyeân ñeà 1 soá hoïc 8 => 2004 200 ch cú th tn cựng l 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004 200 chia ht cho 8 nờn ch cú th tn cựng l 376. T phng phỏp tỡm hai v ba ch s tn cựng ó trỡnh by, chỳng ta cú th m rng tỡm nhiu hn ba ch s tn cựng ca mt s t nhiờn. Sau õy l mt s bi tp vn dng : Bi 1 : Chng minh 1 n + 2 n + 3 n + 4 n chia ht cho 5 khi v ch khi n khụng chia ht cho 4. Bi 2 : Chng minh 9 20002003 , 7 20002003 cú ch s tn cựng ging nhau. Bi 3 : Tỡm hai ch s tn cựng ca : a) 3 999 b) 11 1213 Bi 4 : Tỡm hai ch s tn cựng ca : S = 2 3 + 2 23 + + 2 40023 Bi 5 : Tỡm ba ch s tn cựng ca : S = 1 2004 + 2 2004 + + 2003 2004 Bi 6 : Cho (a, 10) = 1. Chng minh rng ba ch s tn cựng ca a 101 cng bng ba ch s tn cựng ca a. Bi 7 : Cho A l mt s chn khụng chia ht cho 10. Hóy tỡm ba ch s tn cựng ca A 200 . Bi 8 : Tỡm ba ch s tn cựng ca s : 1993 19941995 2000 Bi 9 : Tỡm sỏu ch s tn cựng ca 5 21 . Bài 4 : MT DNG TON V CLN V BCNN Trong chng trỡnh s hc lp 6, sau khi hc cỏc khỏi nim c chung ln nht (CLN) v bi chung nh nht (BCNN), cỏc bn s gp dng toỏn tỡm hai s nguyờn dng khi bit mt s yu t trong ú cú cỏc d kin v CLN v BCNN. Phng phỏp chung gii : 1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu t ó cho tỡm hai s. 2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b, ú l : ab = (a, b).[a, b], trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. Vic chng minh h thc ny khụng khú : Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 (*) T (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Chỳng ta hóy xột mt s vớ d minh ha. Bi toỏn 1 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16. Li gii : Do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b. T (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m n do a b) vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1. Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80. Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc (**) gii bi toỏn ny : ab = (a, b).[a, b] => mn.16 2 = 240.16 suyy ra mn = 15. Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6. Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 ; m n. Vỡ vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n = 3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18. Bi toỏn 3 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60. Li gii : T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tỡm c (a, b) = 3, bi toỏn c a v dng bi toỏn 2. Kt qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15. BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 9 Chỳ ý : Ta cú th tớnh (a, b) mt cỏch trc tip t nh ngha CLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab = mnd 2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5. Li gii : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1. Vỡ vy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tng ng vi m = 13 v n = 5 hay a = 65 v b = 25. Chỳ ý : phõn s tng ng vi 2,6 phi chn l phõn s ti gin do (m, n) = 1. Bi toỏn 5 : Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140. Li gii : t (a, b) = d. Vỡ , a/b = 4/5 , mt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d. Lu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. Bi toỏn 6 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16. Li gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b. Ta cú : a = 16m ; b = 16n vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 ; m n. Vỡ vy : a + b = 128 tng ng 16(m + n) = 128 tng ng m + n = 8 Tng ng vi m = 1, n = 7 hoc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoc a = 48, b = 80 Bi toỏn 7 : Tỡm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72. Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1. Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b => m n. Do ú : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d l c chung ca 42 v 72 => d thuc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Ln lt thay cỏc giỏ tr ca d vo (1) v (2) tớnh m, n ta thy ch cú trng hp d = 6 => m + n = 7 v mn = 12 => m = 3 v n = 4 . (tha món cỏc iu kin ca m, n). Vy d = 6 v a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bi toỏn 8 : Tỡm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140. Li gii : Gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1. Do ú : a - b = d(m - n) = 7 (1) [a, b] = mnd = 140 (2) => d l c chung ca 7 v 140 => d thuc {1 ; 7}. Thay ln lt cỏc giỏ tr ca d vo (1) v (2) tớnh m, n ta c kt qu duy nht : d = 7 => m - n = 1 v mn = 20 => m = 5, n = 4 Vy d = 7 v a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . Bi toỏn 9: a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản nN ; b) Cho phân số 2 n 4 A n 5 + = + (nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1. Vậy phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản. b) Ta có 29 A n 5 n 5 = - + + . Để A cha tối giản thì phân số 29 n 5+ phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2;; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690. Bi tp t gii : BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 10 [...]... xuống dưới 4 được khơng ? Xin mời các bạn hãy giải trí bài tốn này bằng một phương án tuyệt vời nào đó (Nhớ là chỉ hỏi một thần và chính vị đó trả lời) Bµi 8 : BDHSG-chuyên đề 1 số học 15 BDHSG-chuyên đề 1 số học 16 BDHSG-chuyên đề 1 số học 17 BDHSG-chuyên đề 1 số học 18 ... đến cuối bài viết) lấy 17 điểm Chứng minh rằng trong 17 điểm đó có ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng khơng vượt q 1 Lời giải : Chia tam giác đều có cạnh bằng 4 thành 16 tam giác đều có cạnh bằng 1 (hình 1) Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất một tam giác đều cạnh bằng 1 có chứa ít nhất 2 điểm trong số 17 điểm đã cho Khoảng cách giữa hai điểm đó ln khơng vượt q 1 (đpcm) Bài... ít nhất một điểm ngun khác nữa Bài 3 : Tờ giấy hình vng có cạnh bé nhất là bao nhiêu để có thể cắt ra được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 BDHSG-chuyên đề 1 số học 13 Bài 4 : Trên một tờ giấy kẻ ơ vng, chọn 101 ơ bất kì Chứng minh rằng trong 101 ơ đó có ít nhất 26 ơ khơng có điểm chung Bµi 7 : BÀN LUẬN VỀ BÀI TỐN "BA VỊ THẦN" Chúng ta đều đã biết bài tốn thú vị : “Ba vị thần” sau : Ngày xưa, trong một... có dạng 1 ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự bài tốn 2 ta được : hay 11 100 0 chia hết cho 2003 (đpcm) Một số bài tốn tự giải : BDHSG-chuyên đề 1 số học 11 Bài tốn 5 : Chứng minh rằng mọi số ngun tố p ta có thể tìm được một số được viết bởi hai chữ số chia hết cho p Bài tốn 6 : Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên khơng chia hết cho 2 và 5 thì tồn tại bội của nó có dạng : 111 1 Bài tốn 7 : Chứng minh... 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, có ít nhất một hình vng nhỏ chứa ít nhất 3 điểm (3 = 2 + 1) trong số 51 điểm đã cho Hình vng cạnh bằng có bán kính đường tròn ngoại tiếp là : BDHSG-chuyên đề 1 số học 12 Vậy bài tốn được chứng minh Hình tròn này chính là hình tròn bán kính bằng 1, chứa hình vng ta đã chỉ ra ở trên Bài tốn 3 : Trong mặt phẳng cho 2003 điểm sao cho cứ 3 điểm bất... Chứng minh rằng nếu các số ngun m và n ngun tố cùng nhau thì tìm được số tự nhiên k sao cho mk - 1 chia hết cho n Các bạn hãy đón đọc số sau : Ngun lí Đi-rích-lê với những bài tốn hình học thú vị Bµi 6 : NGUN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ & NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ Ngun lí có thể mở rộng như sau : Nếu có m vật đặt vào n cái ngăn kéo và m > k.n thì có ít nhất một ngăn kéo chứa ít nhất k + 1 vật Với mở rộng này,... vị thần Nếu gặp may (do sự trả lời ngờ nghệch) thì chỉ cần sau 2 câu hỏi nhà hiền triết cũng đủ để xác định 3 vị thần Các bạn tự tìm xem trường hợp đó các câu trả lời của các vị thần là như thế nào nhé BDHSG-chuyên đề 1 số học 14 Bài tốn cổ này thật là hay và dí dỏm, nhưng nếu các vị thần trả lời theo các phương án “khơn ngoan” nhất thì có cách nào để xác định được 3 vị thần sau 1 số ít nhất câu hỏi...1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45 2/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống nhau 3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất cả các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của hai số ln chia hết cho số còn lại Bµi 5 : NGUN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ . = 6m.6n = 36mn => ab = 2 16 tng ng mn = 6 tng ng m = 1, n = 6 hoc m = 2, n = 3 tng ng vi a = 6, b = 36 hocc l a = 12, b = 18. Bi toỏn 3 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2;; 69 } Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69 ) 5 .69 = 69 690. Bi tp t gii : BDHSG-chuyeõn ủe 1 soỏ hoùc 10 1/. chất 6) => 2004 100 chia cho 125 dư 1 => 2004 200 = (2004 100 ) 2 chia cho 125 dư 1 BDHSG-chuyeân ñeà 1 soá hoïc 8 => 2004 200 ch cú th tn cựng l 1 26, 251, 3 76, 501, 62 6, 751, 8 76.