TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

TRNG THPT CHU VN AN TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN TRNG THPT CHU VN AN T TỐN T TỐNT TỐN T TỐN GV: Dương Phước Sang GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang GV: Dương Phước Sang Ôn tập Tốt nghiệp www.VNMATH.com www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An                  1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Tập xác định: D = ℝ 2 Tính y ′ 3 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm 0 x (nếu có). 4 Tính hai giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ 5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. 7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba). 8 Lập bảng giá trị. 9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét. 3 2 ( 0) y ax bx cx d a= + + + ≠ Số nghiệm của phương trình 0y ′ = 0a > 0a < 0y ′ = có 2 nghiệm phân biệt 0y ′ = có nghiệm kép 0y ′ = vô nghiệm Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 4 2 ( 0) y ax bx c a= + + ≠ Số nghiệm của phương trình 0y ′ = 0a > 0a < 0y ′ = có 3 nghiệm phân biệt 0y ′ = có 1 nghiệm duy nhất Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M 0 ) 1 Chỉ rõ 0 x và 0 y (hoành độ & tung độ của điểm M 0 ) 2 Tính 0 ( )f x ′ 3 Công thức: 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k) 1 Lập luận để có được 0 ( )f x k ′ = (*) 2 Thay 0 ( )y x ′ vào (*) để tìm 0 x 3 Có 0 x , tìm 0 y và dùng công thức 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = −  Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc k = a  Tiếp tuyến vuông góc với ( 0)y ax b a= + ≠ có hệ số góc 1 a k = − d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x) 1 Đưa phương trình về dạng: ( ) ( )f x BT m= 2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị ( ) : ( )C y f x= và đường thẳng : ( )d y BT m= . 3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An  Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề. e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d: ( )f x ax b= + (*) 2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*) 3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 1 : Cho hàm số 3 2 6 9 1y x x x= − + + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung. c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: 3 2 6 9 0x x x m− + + = Bài giải Câu a: Hàm số 3 2 6 9 1y x x x= − + +  Tập xác định: D = R  Đạo hàm: 2 3 12 9y x x ′ = − +  Cho 2 0 3 12 9 0 1y x x x ′ = ⇔ − + = ⇔ = hoặc 3x =  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞  Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;5)D , điểm cực tiểu (3;1)T  Cho 6 12. 0 2 3y x y x y ′′ ′′ = − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn (2;3)I  Bảng biến thiên: (chú ý: do a > 0) x −∞ 1 3 +∞ y ′ + 0 – 0 + y 5 + ∞ – ∞ 1 m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt… … … …. …. www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán  Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 1 5 3 1 5  Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm (2;3)I như hình vẽ bên đây: Câu b: Cho 0 (0) 1x y= ⇒ = . Giao điểm của ( )C với trục tung là: (0;1)A  (0) 9f ′ =  Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại A là: 1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = + Câu c: Ta có, 3 2 3 2 6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = − 3 2 6 9 1 1x x x m⇔ − + + = − (*)  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị ( )C và đường thẳng : 1d y m= − cắt nhau tại 1 điểm duy nhất 1 5 4 1 1 0 m m m m   − > < −   ⇔ ⇔   − < >     Bài 2 : Cho hàm số 2 3 3 2y x x= − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C với trục hoành. c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 3 2 4 6 3 0x x a− − = Bài giải Câu a: Hàm số 2 3 3 2y x x= −  Tập xác định: D = ℝ  Đạo hàm: 2 6 6y x x ′ = −  Cho 2 0 6 6 0 0y x x x ′ = ⇔ − = ⇔ = hoặc 1x =  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)  Bảng biến thiên: (chú ý: do a < 0) x −∞ 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – y +∞ 1 0 – ∞ www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞ Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O  Cho 1 1 2 2 6 12 . 0y x y x y ′′ ′′ = − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn 1 1 2 2 ( ; )I  Bảng giá trị: x 1 2 − 0 1 2 1 1 2 y 1 0 1 2 1 0  Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng qua điểm 1 1 2 2 ( ; )I như hình vẽ bên đây: Câu b: Cho 2 3 0 3 2 0y x x= ⇔ − = 3 2 0x x  =  ⇔  =   Giao điểm của ( )C với trục hoành là: (0;0)O và 3 2 ( ;0)B  Tại (0;0)O : (0) 0f ′ = , phương trình tiếp tuyến là: 0y =  Tại 3 2 ( ;0)B : 3 9 2 2 ( )f ′ = − , phương trình tiếp tuyến là: 27 9 3 9 2 2 2 4 0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − + Câu c: Ta có, 3 2 2 3 2 3 4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ − 3 2 a= − (*)  Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng 3 2 :d y a= − , do đó ta có bảng kết quả sau đây: a 3 2 a− Số giao điểm của ( )C và d Số nghiệm của phương trình (*) 2 3 a < − 3 2 1a− > 1 1 2 3 a = − 3 2 1a− = 2 2 2 3 0a− < < 3 2 0 1a< − < 3 3 0a = 3 2 0a− = 2 2 0a > 3 2 0a− < 1 1 www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3 2 3 3 2 x x x y + + = b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 2 : y x∆ = c) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng 3 2 2y x= + Bài giải Câu a: 3 2 3 3 2 x x x y + + =  Tập xác định: D = ℝ  Đạo hàm 2 3 6 3 0, 2 x x y x + + ′ = ≥ ∀ ∈ ℝ do đó hàm số luôn đồng biến trên ℝ và không đạt cực trị.  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞  Bảng biến thiên:  1 2 3 3 0 1y x x y ′′ = + = ⇔ = − ⇒ = − Điểm uốn 1 2 ( 1; )I − −  Bảng giá trị: x 3 − 2− 1− 0 1 y 9 2 − 1− 1 2 − 0 7 2  Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm 1 2 ( 1; )I − − Câu b: Tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng 3 2 : y x∆ = có hệ số góc 3 0 2 ( )k f x ′ = = 2 0 0 3 6 3 2 x x+ + ⇔ = 3 2 2 0 0 0 0 0 3 6 0 2 x x x x  =  ⇔ + = ⇔  = −    Với 0 0x = thì 0 (0) 0y y= = , tiếp tuyến tương ứng là 3 3 2 2 0 ( 0)y x y x− = − ⇔ = (trùng với ∆ ) x −∞ 1− +∞ y ′ + 0 + y +∞ –∞ 1 2 − www.VNMATH.com Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An  Với 0 2x = − thì 0 ( 2) 1y y= − = − , tiếp tuyến tương ứng là 3 3 2 2 1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = + (song song với ∆ )  Vậy, tiếp tuyến thoả đề là 3 2 2y x= + Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và 3 2 2y x= + là nghiệm phương trình 3 2 3 3 2 x x x+ + = 3 2 3 2 3 3 3 4 2 x x x x x+ ⇔ + + = + 3 2 2 1 3 4 0 ( 1)( 4 4) 0 2 x x x x x x x  =  ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔  = −    7 2 1x y= ⇒ = và 2 1x y= − ⇒ = −  Vậy, ( )C và 3 2 : 2d y x= + cắt nhau tại 2 điểm: ( ) 7 2 1;A và ( 2; 1)B − − Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 2 2 3y x x = − − b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ x là nghiệm của phương trình ( ) 20f x ′′ = c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều hơn hai nghiệm: 4 2 2 0x x m− + = Bài giải Câu a:Hàm số 4 2 2 3y x x= − −  Tập xác định: D = ℝ  3 4 4y x x ′ = −  Cho 3 0 4 4 0 0; 1y x x x x ′ = ⇔ − = ⇔ = = ±  Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞  Bảng biến thiên: x –∞ –1 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ 3 − +∞ –4 –4  Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1). www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D − và hai điểm cực tiểu 1 2 ( 1; 4), (1; 4)T T− − −  Bảng giá trị: x 2− –1 0 1 2 y –3 –4 –3 –4 –3  Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua trục tung như hình vẽ Câu b:Ta có, 2 2 2 12 4 20 12 24 2 2y x x x x ′′ = − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±  Đáp số: 4 2 11y x= − và 4 2 11y x= − − (học sinh tự giải) Câu c:Ta có, 4 2 4 2 2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − − (*)  Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi ( )C và : 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm) 3 3 0 0 1 3 4 1 m m m m m     − − ≤ − ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <     − − > − <       Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 2 4 3y x x= − + − b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: 4 2 4 0x x m− + = Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: HS tự giải để có được đồ thị: Câu b: Biến đổi phương trình ta được:  4 2 4 2 4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −  Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho m m – 3 Số giao điểm của ( )C và d Số nghiệm của phương trình (*) m > 4 m – 3 > 1 0 0 m = 4 m – 3 = 1 2 2 0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4 m = 0 m – 3 = – 3 3 3 m < 0 m – 3 < – 3 2 2 www.VNMATH.com [...]... a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hồnh độ bằng − 2 c) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24 d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm x 4 − 2x 2 + m = 0 Tài liệu tham khảo - 10 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com Bài 17 : Cho hàm số y = x 4 + 2x 2 − 3 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị... sự biến thi n và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có hồnh độ bằng 1 c) Viết pttt với (C ) tại điểm trên (C ) có tung độ bằng − 3 2 d) Viết pttt với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng −5 4 e) Xác định toạ độ giao điểm của (C ) và y = −3x + 2 Tài liệu tham khảo - 16 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com 2 có đồ thị là (C ) x +1 a) Khảo sát sự biến thi n và... suy ra x = − là TCĐ − + c x →(−d ) x →(−d ) c c 5 Vẽ bảng biến thi n của hàm số 6 Lập bảng giá trị 7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét y= ax + b (c ≠ 0, ad − cb ≠ 0) cx + d y′ > 0 y′ < 0 Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt ln đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận Tài liệu tham khảo - 12 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com b) Viết phương trình tiếp tuyến... thị (C ) của hàm số y = 2−x b) Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến song song với d : y = −x c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt Tài liệu tham khảo - 14 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com x −3 x −3 = Tập xác định: D = ℝ \ {2} 2−x −x + 2 −1 Đạo hàm: y ′ = < 0, ∀x ≠ 2 , do đó hàm số nghịch biến (2 − x )2 trên các khoảng (−∞;2) , (2; +∞) và... khoảng xác định cx + d ⇔ y ′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − cb > 0 (khơng có dấu “=”) ax + b nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số y = cx + d ⇔ y ′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − cb < 0 (khơng có dấu “=”) Tài liệu tham khảo - 18 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com VÍ DỤ MINH HOẠ Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x 3 − 8x 2 + 16x − 9 trên đoạn [1;3] b) y = x 2 − 4 ln(1 − x ) trên... chỉ khi m 2 − 12m + 11 = 0  f ′(2) = 0 m ∈ {1;11}      ⇔ ⇔ ⇔ m = 11  ′′   f (2) < 0 12 − 6m < 0 m > 2        Vậy với m = 11 thì hàm số (*) đạt cực đại tại x 0 = 2 Tài liệu tham khảo - 20 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com Bài 38 : Chứng minh rằng nếu y = Hàm số y = sin x e x sin x ex Bài giải thì y ′′ + 2y ′ + 2y = 0 = e −x sin x có tập xác định D = ℝ −x y ′ = (e )′ sin... 1 2 Bài 45 : Chứng minh rằng a) Nếu y = e x (cos 2x + sin 2x ) thì y ′′ − 2y ′ + 5y = 0 b) Nếu y = e 4x + 2e −x thì y ′′′ − 13y ′ = 12y ln x c) Nếu y = thì y + 3xy ′ + x 2y ′′ = 0 x Tài liệu tham khảo - 22 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com Ph n II PH NG TRÌNH - B T PH NG TRÌNH M! & LƠGARIT 1 Phương trình mũ (đơn giản) Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với a > 0, b > 0 và m, n ∈ ℝ ta có... α vào trong: α loga f (x ) thành loga  f (x ) Nhập loga f (x ) + loga g(x ) thành loga  f (x ).g(x )  f (x )  Nhập loga f (x ) − loga g(x ) thành loga    g (x )  Tài liệu tham khảo - 24 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com c) Phương pháp đặt ẩn số phụ: 0 Biến đổi phương trình theo loga f (x ) , chẳng hạn: 2 m loga f (x ) + n loga f (x ) + p = 0 1 Đặt t = loga f (x ) và thay... 1) = 1 ⇔ (x − 4)(x − 1) = 2 ⇔ (x − 4)(x − 1) = 4 ⇔ x 2 − 5x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 5 So với điều kiện x > 4 ta chỉ nhận nghiệm x = 5 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 5 Tài liệu tham khảo - 26 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn www.VNMATH.com Câu b: log5 x + log25 x = log0,2 1 3 (2) Với điều kiện x > 0, (2) ⇔ log5 x + log 2 x = log 5 −1 5−1 ( 3) 3 Đáp số: x = 3 Câu c: log 2 x + 2 log4 x 2 +... + 0 – 0 + t − 3t + 2 2x > 1   x > 0 t > 1      Như vậy,  hay  x ⇔ ⇔ 0 . nghiệm Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 4 2 ( 0) y ax bx c a= + +. www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán Bài 11 : Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − − (*) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( )C của hàm số www.VNMATH.com  01688559752 dpsang@gmail.com Tài liệu tham khảo - 12 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số ( 0, 0)c ad