Xây dựng chương trình tự động rút gọn Reducts từ hệ quyết định trong tập thô

Một ưu điểm của lý thuyết tập thô đối vớihướng tiếp cận xác suất Bayes là không cần giả định về sự độc lập của các thuộctính cũng như không cần bất kỳ kiến thức nền nào về dữ liệu Trong

Chính vì lý do trên nên sau khi học xong môn Khai phá dữ liệu và kho dữliệu, em đã chọn đề tài “Xây dựng chương trình tự động rút gọn Reducts từ hệquyết định trong tập thô” Trong phạm vi bài thu hoạch này em xin trình bày tómtắt những kiến thức đã học được về lý thuyết tập thô và viết một chương trình tựđộng rút gọn Reducts từ hệ quyết định trong tập thô bằng ngôn ngữ C#.

Qua đây, em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đỗ Phúc đã tận tình hướngdẫn em môn học bổ ích và đầy ý nghĩa này Em xin cảm ơn các bạn cùng khoá vàcác anh chị khoá trước đã giúp đỡ em tìm tài liệu và góp ư cho em hoàn thành tốtbài thu hoạch này!

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN 2

MỤC LỤC 3

NỘI DUNG 4

PHẦN I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ TẬP THÔ 4

I.1 Giới thiệu về lý thuyết tập thô 4

I.2 Hệ thông tin / quyết định 5

I.3 Quan hệ bất khả phân biệt 7

I.4 Xấp xỉ tập hợp 9

I.5 Rút gọn (Reducts) 13

PHẦN II: CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG 30

RÚT GỌN REDUCTS TỪ HỆ QUYẾT ĐỊNH 30

II.1 Cài đặt chương trình 30

II.2 Phụ lục 39

PHẦN III: THỬ NGHIỆM CHƯƠNG TRÌNH 43

III.1 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 2 phần ma trận phân biệt 43

III.2 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 3 phần ma trận phân biệt 44

III.3 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 4 phần ma trận phân biệt 46

III.4 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 5 phần ma trận phân biệt 48

III.5 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 6 phần ma trận phân biệt 50

III.6 Kết quả thực thi chương trình Ví dụ 7 phần ma trận phân biệt 52

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

Lý thuyết tập thô dựa trên giả thuyết rằng để định nghĩa một tập hợp, chúng tacần phải có thông tin về mọi đối tượng trong tập vũ trụ.

Chắc chắn là hầu hết cơ sở dữ liệu được sử dụng cho việc khai thác dữ liệuđều không hoàn thiện về dữ liệu, ví dụ như nhiễu, các giá trị không xác định hoặclỗi do các thiết bị đo đạc không chính xác Lý thuyết tập thô phát huy tác dụng chocác trường hợp như vậy vì tập thô là công cụ nhằm giải quyết sự gần đúng và cáctrường hợp quyết định không chắc chắn Một ưu điểm của lý thuyết tập thô đối vớihướng tiếp cận xác suất Bayes là không cần giả định về sự độc lập của các thuộctính cũng như không cần bất kỳ kiến thức nền nào về dữ liệu

Trong phần lý thuyết cơ sở về tập thô, em sẽ trình bày các khái niệm cơ bảncủa tập thô như sau:

 Hệ thông tin / quyết định

 Quan hệ bất khả phân biệt

I.2 Hệ thông tin / quyết định

Một tập dữ liệu có thể biểu diễn dưới dạng một bảng, trên đó mỗi dòng biểudiễn thông tin ứng với một đối tượng, mỗi cột biểu diễn một thuộc tính có thể đođược của mỗi đối tượng (do các chuyên gia hay người sử dụng cung cấp) Bảngnày được gọi là một hệ thông tin

Hình thức hơn, hệ thông tin là một cặp S = (U, A)

Trong đó U là một tập hữu hạn khác rỗng các đối tượng gọi là tập vũtrụ hay là tập phổ dụng, A là một tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính

Với mỗi u  U và a  A, ta ký hiệu u(a) là giá trị của đối tượng u tạithuộc tính a

Nếu gọi Ia là tập tất cả giá trị của thuộc tính a, thì u( a)  Ia với mọi u 

U Bây giờ, nếu B = {b1 , b2 , ,bk}  A, ta ký hiệu bộ các giá trị u(bi) bởi u(B).Như vậy, nếu u và v là hai đối tượng, thì ta sẽ viết u(B) = v(B) nếu u(bi) = v(bi),với mọi i =1, 2, , k

Ví dụ 1: Một hệ thông tin đơn giản:

Trong nhiều ứng dụng, ta thấy có 1 sự phân loại kết quả Đó là sự mô tả trithức bởi một thuộc tính đặc trưng phân biệt được gọi thuộc tính quyết định Hệthống này là một hình thức học có giám sát Các hệ thông tin theo loại này đượcgọi là các hệ quyết định Như vậy, một hệ quyết định là một hệ thông tin có dạng(U;A  {d}), trong đó d  A là thuộc tính quyết định Các thành phần thuộc tínhcủa A được gọi là các thuộc tính điều kiện hay gọi đơn giản là các thuộc tính.Thuộc tính quyết định có thể có nhiều hơn hai giá trị mặc dù thường gặp là thuộctính nhị phân.

Ví dụ 2: Một hệ thông tin có thêm thuộc tính quyết định (thi đậu) với hai khả

năng kết quả có hoặc không:

Trong đó:

U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 }

A = {độ tuổi, số buổi, thi đậu}

Trong bảng này, các bộ x3 và x4 cũng như x5 và x7 có cùng giá trị củacác thuộc tính điều kiện (độ tuổi và số buổi) nhưng cặp x3 và x4 có kết quả thi đậukhác nhau trong khi cặp x5 và x7 có cùng kết quả thi đậu

Độ tuổi Số buổi Thi đậu

I.3 Quan hệ bất khả phân biệt

Một hệ quyết định thể hiện tri thức về các đối tượng trong thế giới thực Tuynhiên trong nhiều trường hợp bảng này có thể được tinh giảm do tồn tại ít nhất haikhả năng dư thừa thông tin sau đây:

Nhiều đối tượng giống nhau hay không thể phân biệt với nhau lại được thểhiện lặp lại nhiều lần

Một số thuộc tính có thể là dư thừa, theo nghĩa khi bỏ đi các thuộc tính này thìthông tin do hệ quyết định cung cấp mà chúng tâm sẽ không bị mất mát

Một quan hệ nhị phân R  X x X được gọi là quan hệ tương đương khi có cáctính chất sao:

Tính phản xạ (xRX với mọi x)

Tính đối xứng (nếu xRy thì yRx)

Tính bắc cầu (nếu xRy và yRz thì xRz)

Một quan hệ tương đương R sẽ phân hoạch tập đối tượng thành các lớptương đương, trong đó lớp tương đương của một đối tượng x là tập tất cả các đốitượng có quan hệ R với x

Xét hệ thông tin S = (U, A), với mỗi tập thuộc tính B  A tạo ra một quan hệ hai ngôi trên U, ký hiệu IND(B):

INDs(B) = {( u, v)  U 2 | a  B, a(u) = a(v)}

INDs(B) được gọi là quan hệ bất khả phân biệt theo B Dễ kiểm chứng đây

là một quan hệ tương đương trên U Với mọi đối tượng u  U, lớp tương đương của u trong quan hệ INDs(B) được kí hiệu bởi [u]B.

Thuật toán xác định lớp tương đương:

Gọi O là tập các đối tượng

Gọi B là tập các thuộc tính

Gọi L là tập các lớp tương đương

Ví dụ 1: Xét hệ quyết định trên ví dụ 2 phần hệ thông tin / quyết định

Với tập hợp {số buổi}, các bộ x3 và x4 thuộc cùng một lớp tươngđương và bất khả phân biệt Tương tự cho các bộ x5, x6 và x7 thuộc vào các lớptương đương Quan hệ tương đương IND trên các tập thuộc tính {độ tuổi},{sốbuổi}, {độ tuổi, số buổi} cho ta phân hoạch tập U như sau:

IND({độ tuổi}) ={{x1,x2,x6}; {x3,x4}; {x5,x7}}

IND({số buổi}) ={{x1}; {x2}; {x3,x4}; {x5,x6,x7}}

IND({độ tuổi, số buổi }) ={{x1}; {x2}; {x3,x4}; {x5,x7}; {x6}}

Ví dụ 2: Xét hệ quyết định sau:

Trong đó:

U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6}.

A = {Đau đầu, Đau cơ, Nhiệt độ, Cúm}.

Trong bảng, các bệnh nhân x2, x3 và x5 không phân biệt được đối với thuộc tính Đau đầu, bệnh nhân x3 và x6 không phân biệt được đối với thuộc tính Đau cơ, Cúm và bệnh nhân x2, x5 không phân biệt được đối với thuộc tính Đau

đầu, Đau cơ và Nhiệt độ

Do đó:

IND( {Đau đầu}) = {{x1, x4, x6},{x2, x3, x5}}

IND( {Đau cơ}) = {{x1, x3, x4, x6}, {x2, x5}}

Cho một hệ thống thông tin S = (U, A), với mỗi tập con X  U và B  A,

Ký hiệu R = IND(B), ta có 2 tập con sau :

BX = { x | [x]B  X }

và B X = { x | [x]B  X  }

Trong đó BX, B X lần lượt gọi là B-xấp xỉ dưới và B- xấp xỉ trên của tập

X

Tập BX bao gồm tất cả các phần tử của U chắc chắn thuộc vào X.

Tập B X bao gồm các phần tử của U có khả năng được phân loại vào

những phần tử thuộc X ứng với quan hệ R.

Từ hai tập xấp xỉ người ta định nghĩa các tập:

BN B (X) = B X - BX: B- miền biên của X.

POS B (X) = BX: B-vùng dương của X.

NEG B (X) = U - B X: B-vùng âm của X.

Trong trường hợp BN B (X)  , X được gọi là tập thô, ngược lại X được gọi

∝ B ( X )= Card(R ( X ))

Card(R ( X ))=|R ( X )

R ( X )|

Trong đó card(X) = |X| là lực lượng (số phần tử) của tập X

Rõ ràng 0 ≤ R (X) ≤ 1 Nếu R (X) = 1, ta nói X là chính xác đối với R,còn R (X) < 1 thì X được gọi là thô đối với R.

Thuật toán xác định xấp xỉ dưới:

Gọi X là tập các đối tượng

Gọi B là tập các thuộc tính

Gọi B(X) là xấp xỉ dưới

Thuật toán:

Bước 1: Khởi tạo B(X) = Ø

Xác định tập các phân hoạch P của tập vũ trụ U tạo bởi BBước 2 : U1 = U

Nếu U1  Ø thì thực hiện bước 3, ngược lại thực hiện bước 5Bước 3: Xét x  U1, tìm phân hoạch Pi  P sao cho: x  Pi

Nếu Pi  X thì B(X) = B(X)  Pi

Ui = Ui \ PiBước 4 : Thực hiện bước 2

Bước 5 : Kết thúc

Thuật toán xác định xấp xỉ trên:

Gọi X là tập các đối tượng

Gọi B là tập các thuộc tính

Gọi B (X) là xấp xỉ trên

Thuật toán:

Bước 1: Khởi tạo B (X) = Ø

Xác định tập các phân hoạch P của tập vũ trụ U tạo bởi BBước 2 : X1 = X

Nếu X1  Ø thì thực hiện bước 3, ngược lại thực hiện bước 5

Bước 3: Xét x  X1, tìm phân hoạch Pi  P sao cho: x  Pi

B (X) = B (X)  Pi

Với mọi p  Pi  Xi, Xi = Xi \ {p}

Bước 4 : Thực hiện bước 2

Bước 5 : Kết thúc

Ví dụ 1: Xét hệ quyết định trên ví dụ 2 phần hệ thông tin / quyết định

Gọi tập đối tượng X = {x | Thi đậu(x) = có} = {x1, x4, x6}

Như vậy lớp quyết định thi đậu là thô vì vùng biên khác rỗng

Ví dụ 2: Xét hệ quyết định trên ví dụ 2 phần quan hệ bất khả phân biệt

Gọi tập đối tượng X = {x | Cúm(x) = có} = {x1, x2, x3, x6}

và B={ Đau đầu, Đau cơ }

Có hai khả năng dư thừa trong một hệ thông tin, đó là :

 Các đối tượng giống nhau theo một tập thuộc tính đang quan tâmđược lặp lại nhiều lần

 Một số thuộc tính có thể được bỏ đi mà thông tin chúng ta đang quantâm do bảng quyết định cung cấp vẫn không bị mất mát

Với trường hợp thứ nhất, khái niệm lớp tương đương hiển nhiên cho ta mộttiếp cận tự nhiên trong việc tinh giảm thông tin cần lưu trữ trong một hệ thông tin:chỉ cần sử dụng một đối tượng để đại diện cho mỗi lớp tương đương Trong phầnnày ta tập trung vào loại dư thừa thông tin thứ hai, đó là chỉ giữ lại những thuộctính bảo toàn quan hệ bất khả phân biệt, do đó bảo toàn khả năng xấp xỉ tập hợptrong một hệ thông tin

Xét hệ thông tin A = (U,A) và hai tập thuộc tính P, Q  A Thuộc tính a  Pđược gọi là có thể bỏ được trong P nếu IND(P) = IND(P – {a}), ngược lại ta nói a

là không thể bỏ được trong P Rõ ràng thuộc tính có thể bỏ được không là tăng

hoặc giảm khả năng phân loại khi có hoặc không có mặt thuộc tính đó trong P Tậptất cả các thuộc tính không thể bỏ được trong P được gọi là lõi (core) của P, kýhiệu là CORE(P) Lưu ý rằng lõi có thể là tập rỗng, khi đó tập con của P với lựclượng bằng card(P) – 1 đều giữ nguyên khả năng phân loại của P

Khi loại ra khỏi P một số thuộc tính có thể bỏ được thì ta được một tập rútgọn của P Nói cách khác, rút gọn của một tập thuộc tính P là tập thuộc tính B  Pgiữ nguyên khả năng phân loại của P, hay IND(B) = IND(P) Dễ dàng thấy rằng, vìlõi của P là tập các thuộc tính không thể bỏ được của P nên tất cả các rút gọn của Pđều chứa tập thuộc tính lõi

Một rút gọn B của tập thuộc tính P được gọi là rút gọn hoàn toàn nếu với mọitập thuộc tính B’  B, B’ không là rút gọn của P Như vậy rút gọn hoàn toàn là tậpthuộc tính nhỏ nhất trong tất cả các rút gọn có thể có của P và được ký hiệu làRED(P)

Tính chất: Tập thuộc tính lõi của P là giao của tất cả các rút gọn hoàn toàn

của P, tức là CORE(P)=  RED(P)

I.5.2 Ma trận phân biệt

Với S là một hệ thông tin với n đối tượng, ma trận phân biệt của S là một matrận đối xứng n x n với các giá trị cij được định nghĩa như sau:

cij = {a ¿ A | a(xi) ¿ a(xj)} với i,j = 1,…,nMỗi dòng bao gồm tập giá trị các thuộc tính khác nhau với các đối tượng xi và

xj

Ma trận phân biệt không chỉ được định nghĩa trên tập tất cả các thuộc tính của

hệ thông tin mà còn có thể được xây dựng trên một tập thuộc tính B  A bất kỳ.Trong trường hợp đó, phần tử cij là tập các thuộc tính trong B phân biệt hai đốitượng xi,xj

Xét ma trận phân biệt được xây dựng trên tập thuộc tính B  A Giả sử tậpthuộc tính B phân hoạch tập đối tượng thành các lớp tương đương X1, X2,…, Xk và

do hai đối tượng thuộc một lớp tương đương thì nhận giá trị như nhau tại các thuộctính trong B nên thay vì xây dựng ma trận phân biệt giữa từng cặp đối tượng, taxây dựng ma trận phân biệt giữa từng cặp lớp tương đương

Khi đó, phần tử cij, i, j  {1,2, …,k} là tập hợp thuộc tính phân biệt hai đốitượng bất kỳ thuộc hai lớp tương đương Xi và Xj hay có thể nói cij là tập các thuộctính phân biệt

Ví dụ 1: Cho hệ quyết định như sau :

Khi đó, ma trận phân biệt sẽ được tính như sau :

Ví dụ 2: Cho hệ quyết định như sau :

Ví dụ 3: Cho hệ quyết định như sau :

Khi đó, ma trận phân biệt sẽ được tính như sau :

Headache

Muscle

Headache , Muscle, Temp

Ví dụ 4: Cho hệ quyết định như sau :



Khi đó, ma trận phân biệt sẽ được tính như sau :

Ví dụ 5: Cho hệ quyết định như sau :

Cao Thị Thuỳ Linh – MSHV: CH1101099 Trang 18

Khi đó, ma trận phân biệt sẽ được tính như sau :

Gia cảnh

Quốc tịch,Gia cảnh

Quốc tịch,Gia cảnh

Quốc tịch,Gia cảnh

Vóc dáng,Gia cảnh

Khi đó, ma trận phân biệt sẽ được tính như sau :

I.5.3 Hàm phân biệt

Hàm phân biệt fs của hệ thông tin S là một hàm bool của m biến bool a*

Lưu ý :

 Các toán tử  và  sử dụng trong hàm phân biệt không phải là các toán

tử Boolean vì chúng không nhận các giá trị true hoặc false mà thể hiện cho ngữnghĩa có mặt hay không có mặt của một thuộc tính nào đó

 Hàm phân biệt có thể xem như một tập các tập hợp Và cũng giốngnhư với ma trận phân biệt, tập nhỏ nhất có giao với tất cả các phần tử chính là cácrút gọn của hệ thông tin tương ứng

Ví dụ 1: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 1 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(a,b,c) = (a  c)  b  c  (a  b)

Ví dụ 2: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 2 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(a,b,c,d) = (b  c  d )  (b  c)  b  (b  d)  (c  d)  (a

 b  c  d )  (a  b  c )  (a  b  c  d )  (a  b  c  d )  (a  b  c)  (a  b  c  d ) (a  b  c  d )  (a  b)  (c  d )  (c  d )

Ví dụ 3: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 3 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(Headache, Muscle pain, Temp) = Temp  Temp  (Headache  Temp)  (Headache  Temp)  (Headache  Muscle pain)  (Headache

 Muscle pain  Temp)  (Headache  Temp)  Temp  (Muscle pain  Temp)

Ví dụ 4: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 4 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(Trời, Gió, Áp suất) = (Trời  Gió)  (Trời  Áp suất)  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời  Áp suất)  (Trời  Áp suất)  Trời  Trời  (Trời  Áp suất)  Áp suất  (Gió  Áp suất)  Gió  (Gió  Áp suất)  Trời  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời  Gió)

Ví dụ 5: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 5 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(Vóc dáng, Quốc tịch, Gia cảnh)

= Quốc tịch  (Vóc dáng  Quốc tịch)  (Vóc dáng  Quốc tịch)  (Vóc dáng Gia cảnh)  (Gia cảnh  Quốc tịch)  Gia cảnh  (Vóc dáng  Quốc tịch)  Quốctịch  Quốc tịch  (Vóc dáng  Quốc tịch Gia cảnh)  (Quốc tịch  Gia cảnh) (Quốc tịch  Gia cảnh)  Gia cảnh  (Vóc dáng  Quốc tịch Gia cảnh)  (Vócdáng  Gia cảnh)

Ví dụ 6: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 6 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(Kích thước, Màu sắc, Hình dạng)

= (Kích thước  Màu sắc  Hình dạng)  Hình dạng  (Kích thước  Màu sắc Hình dạng)  (Kích thước  Hình dạng)  (Kích thước  Màu sắc  Hình dạng) (Màu sắc  Hình dạng)  (Kích thước  Màu sắc  Hình dạng)  (Kích thước  Hìnhdạng)  Màu sắc  (Kích thước  Màu sắc  Hình dạng)  (Màu sắc  Hình dạng) (Màu sắc  Hình dạng)

Ví dụ 7: Dựa vào ma trận phân biệt trong ví dụ 7 phần ma trận phân biệt, ta

tính được hàm phân biệt như sau :

Hàm phân biệt F(a,b,c,d) =(a  b  c  d)  (a  c  d)  (a  b  c)  (b  c )  (a 

b  d)  d  (a  b  c  d)  (b  c  d)  (a  b  c  d)  (a  b  c)  (a  b  d)  (a  b  c

 d)  (b  c)  (a  b  c  d)  (b  c)  (a  b  c  d)  d  (a  c  d)  (a  d)

I.5.4 Tính Reducts từ hàm phân biệt

Các luật được sử dụng để rút gọn hàm phân biệt:

 Luật giao hoán

a  b = b  a

a  b = b  a

 Luật hấp thụ:

(a  b)  a = a(a  b)  a = a

Thuật toán tìm Reducts:

Gọi A = (U, C  D) là hệ thông tin

Gọi R là tập rút gọn

Thuật toán:

Bước 1: Tính POSR (D) và đặt m=| POSR (D) |

Bước 2: Với mọi a  A

Tính POSR \ {a} (D) và ma = | POSR \ {a} (D) |Nếu ma = m thì R = R \ {a}

Bước 3: R’ = R

Ví dụ 1: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 1 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(a,b,c) = (a  c)  b  c  (a  b)

= c  (a  c)  b  (a  b) (luật giao hoán)

= c  b (luật hấp thụ)Vậy Reducts = {b, c}

Ví dụ 2: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 2 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(a,b,c,d)

= (b  c)  (b  d) (luật phân bố)

Vậy Reducts1 = {b, c} và Reducts2 = {b, d}

Ví dụ 3: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 3 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(Headache, Muscle pain, Temp )

= Temp  Temp  (Headache  Temp)  (Headache  Temp)  (Headache  Muscle pain)  (Headache  Muscle pain  Temp)  (Headache 

Temp)  Temp  (Muscle pain  Temp)

= Temp  (Headache  Temp)  (Headache  Muscle pain)

 (Headache  Muscle pain  Temp)

 (Muscle pain  Temp)

(luật lũy đẳng)

= Temp  (Headache  Muscle pain)  (Muscle pain  Temp)

(luật hấp thụ)

= Temp  (Muscle pain  Temp)  (Headache  Muscle pain)

(luật giao hoán)

= Temp  (Headache  Muscle pain) (luật hấp thụ)

= (Temp  Headache)  (Temp  Muscle pain ) (luật phân bố)Vậy Reducts 1 = { Temp, Headache } và Reducts 1 ={ Temp, Muscle pain }

Ví dụ 4: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 4 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(Trời, Gió, Áp suất)

= (Trời  Gió)  (Trời  Áp suất)  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời 

Áp suất)  (Trời  Áp suất)  Trời  Trời  (Trời  Áp suất)  Áp suất  (Gió 

Áp suất)  Gió  (Gió  Áp suất)  Trời  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời  Gió

 Áp suất)  (Trời  Gió)

= (Trời  Gió)  (Trời  Áp suất)  (Trời  Gió  Áp suất)  Trời 

Áp suất  (Gió  Áp suất)  Gió (luật lũy đẳng)

= (Trời  Gió)  (Trời  Gió  Áp suất)  (Trời  Áp suất)  Trời 

Áp suất  (Gió  Áp suất)  Gió (luật giao hoán)

= (Trời  Gió)  Trời  Áp suất  Gió (luật hấp thụ)

= Trời  Áp suất  Gió (luật hấp thụ)Vậy Reducts = { Trời, Gió, Áp suất }

Ví dụ 5: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 5 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(Vóc dáng, Quốc tịch, Gia cảnh)

= Quốc tịch  (Vóc dáng  Quốc tịch)  (Vóc dáng  Quốc tịch)  (Vócdáng  Gia cảnh)  (Gia cảnh  Quốc tịch)  Gia cảnh  (Vóc dáng  Quốc tịch) Quốc tịch  Quốc tịch  (Vóc dáng  Quốc tịch Gia cảnh)  (Quốc tịch  Giacảnh)  (Quốc tịch  Gia cảnh)  Gia cảnh  (Vóc dáng  Quốc tịch Gia cảnh) (Vóc dáng  Gia cảnh)

= Quốc tịch  (Vóc dáng  Quốc tịch)  (Vóc dáng  Gia cảnh)  (Giacảnh  Quốc tịch)  Gia cảnh  (Vóc dáng  Quốc tịch Gia cảnh)

(luật lũy đẳng)

= Quốc tịch  (Vóc dáng  Gia cảnh)  (Gia cảnh  Quốc tịch)

 Gia cảnh (luật hấp thụ)

= Quốc tịch  (Vóc dáng  Gia cảnh)  Gia cảnh (luật hấp thụ)

= Quốc tịch  Gia cảnh (luật hấp thụ)

Vậy Reducts = { Quốc tịch , Gia cảnh }

Ví dụ 6: Dựa vào hàm phân biệt trong ví dụ 6 phần hàm phân biệt, ta tính

được Reducts như sau :

Hàm phân biệt F(Kích thước, Màu sắc, Hình dạng)