Một số bài toán về hàm số đồ thị

Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Phần I: Đặt vấn đề Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số đó là Số và Hàm số. Khái niệm Hàm số xuyên suốt chơng trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị t- ơng ứng, phàn hàm số đợc phận lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy, bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kì kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao. Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu về tam lý của đối tợng học sinh tôi đã tiến hành nghiên cứu: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị. Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan. Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình, sau đây là nội dung đề tài. Phần II: Nội dung đề tài Chơng I: Lý thuyết cơ bản I/ Khái niệm hàm số: Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số. Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ. 1. ánh xạ: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 2 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị a. Định nghĩa: Cho tập hợp X và Y : f là một ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi phần tử x X với một và chỉ một y Y Ký hiệu: f: X Y x a y = f(x) Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f Y là tập đích của ánh xạ f Phần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. b. Các loại ánh xạ: * Đơn ánh: ánh xạ: : f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là đơn ánh 1 2 1 2 , :x x X x x thì f(x 1 ) f(x 2 ) Hoặc 1 2 ,x x X : f(x 1 ) = f(x 2 ) thì x 1 = x 2 Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 3x * Toàn ánh: ánh xạ: f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là toàn ánh y Y thì : ( )x X f x y = . Hoặc f là toàn ánh phơng trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y Y cho trớc. Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 2x Là một toàn ánh vì phơng trình 2x = y luôn có nghiệm x = 2 y với y xác định. * Song ánh: ánh xạ: f: X Y x a y = f(x) ánh xạ f là song ánh f là đơn ánh và f là toàn ánh. Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 3 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 2/ Hàm số: a.Theo quan điểm hiện đại, đinh nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y. - Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1191 2001) Khái niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 ( đợc nhắc lại trong sách giáo khoa lớp 9) nh sau: Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho t- ơng ứng mỗi giá trị x X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x). Ngời ta viết: f: X Y x a y = f(x) X là tập xác định , x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x. - Trong chơng trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán lớp 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: Giả sử x và y là hai đại lợng biến thiên và nhận các giá trị số. Nếu y thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi là biến số. * Chú ý: Nh vậy hàm số dù đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều có những thuộc tính bản chất: + X và T là tập hai số. + Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác đinh duy nhất một số y Y. + Biến thiện: x và y là các đại lợng nhận giá trị biến đổi. + Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiên phụ thuộc. b. Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp) - Đồ thị của hàm số y= f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x X - Chú ý: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 4 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại + Điểm M(x M ;y M ) đồ thị hàm số y = f(x) y M = f(x M ) c. Cách cách cho một hàm số: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các cách: + Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x) + Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng gia trị + Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số II/ Các hàm số trong chơng trình THCS: 1. Hàm số bậc nhất: a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b, trong đóp a, b là các hằng số xác định a 0, x Ă b. Tính chất: + Tập xác định: Ă + Tính biến thiên; a > 0 thì hàm số đồng biến trong R a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R c. Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x Ă ) là đờng thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B( b a ; 0) + Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm E(1; a). 2. Hàm số bậc hai: a. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax 2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x Ă ) Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 5 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị b. Tính chất: - Tập xác đinh R - Tính biến thiên: + a > 0 Hàm số đồng biến trong ( 2 b a ; + ) và nghịch biến trong ( ; 2 b a ) + a < 0 Hàm số nghịch biến trong ( 2 b a ; + ) và đồng biến trong ( ; 2 b a ) c.Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c (a 0, x Ă ) là Parabol (P) có đỉnh là D( 2 b a ; 4a ) nhận đờng thẳng x = 2 b a là trực đối xứng. Chơng II: Một số dạng bài tập Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số 1/ Đinh nghĩa: Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa. Vì vậy : - Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R - Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: x R biểu thức trong căn 0 2/ Ví dụ: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 6 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x 70 có TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y = 3 2 5 x x có TXĐ { } 5x R x + Ví dụ 3: Hàm số y = 4 1x + có TXĐ: 1 4 x R x 3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số: a. y = 2 2 1 1x x + b. y = 2 1 2 5 3 3 x x x x + + + c. y = 2 4 2x x + Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số + Tập giá trị của hàm số : f: X Y x a y = f(x) là tập giá trị y Y sao cho phơng trình f(x) = y có nghiệm x X 1/ Cách giải: + Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y. + Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong Tập xác định. 2/ Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [ ] 1;1 Giải Ta có x 1 2 2 2 5 7 7x x y 1 2 2 2 5 3 3x x x y Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x [ ] 1;1 là y [ ] 7; 3 Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 7 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y = 6 7x x + Giải áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có: 6 7 6 7 1 1x x x x y + + = Vậy miền giá trị của hàm số y = 6 7x x + với x R là y R, y 1. + Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 2x + 3 với x [ ] 2;3 Giải Hàm số y = x 2 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1 Vậy với x [ ] 2;3 ta có y(2) y(3) 3 6y Vậy miền giá trị của hàm số y = x 2 2x + 3 với x [ ] 2;3 là [ ] 3;6 + Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 2 4 Giải - TXĐ của hàm số là R - Xét phơng trình x 2 - 4 x + 3 = y 2 ( 2) 1x y = + Phơng trình có nghiệm y+1 0 y -1 3/ ứ ng dụng: ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số; Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x x 2 2 Giải Ta có y = 2x - x 2 4 = - (x 2 2x + 1) 3 = - (x 1) 2 3 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 2 6 2 x x x x + + + + (1) Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 8 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Giải Hàm số có tập xác định : R vì x 2 + x + 2 = (x + 1 2 ) 2 + 7 4 7 4 Giả sử y là một giá trị của hàm số Phơng trình 2 2 6 2 x x x x + + + + = y có nghiệm (y - 1)x 2 + (y 1)x + 2y 6 = 0 (2) Có nghiệm + Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm + Xét y 1 Phơng trình (2) có nghiệm 0 (y 1) 2 4(y 1)(2y 6) 0 (y 1)(23 7y) 0 23 1 7 y< Vậy giá trị của hàm số là 23 1 7 y< + Với y = 23 7 ta có x = 1 2 vậy hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = 23 7 tại x = 1 2 + Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x R để hàm số y = 2 2 6 2 x x x x + + + + nhận giá trị nguyên y = 1 + 2 4 2x x+ + Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x 2 + x + 2 nhận giá trị là ớc nguyên của 4. Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x 2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán. + Cách giải từ việc có miền giá trị 23 1 7 y< ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc y = 3 Giải phơng trình 2 2 6 2 x x x x + + + + = 2 x 2 + x - 2 = 0 x = 1; x = -2 Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 9 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 2 2 6 2 x x x x + + + + = 3 2x 2 + 2x = 0 x = 0; x = -1 Vậy x { } 2; 1;0;1 thì y Z ứng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của chúng: Nếu ( ) ( ) f x m g x m với x D thì f(x) = g(x) ( ) ( ) f x m g x m (2) Nếu x 0 D thoả mãn (2) thì x 0 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x 2 2 = 1 2 2 3 4 13x x x x + + + (1) + Tập xác định : R + ta có VT = 6x x 2 2 = 7 (x 3) 2 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3 VP = 1 2 2 3 4 13x x x x + + + 7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 13 2 4 x + Vậy phơng trình (1) 2 6 2 7 1 2 2 3 4 13 7 x x x x x x = + + + = x = 3 Kết luận phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: Giải phơng trình 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 = 16(x - 2x ) = 0 (3) Ta có VT = 16x 4 + 72x 3 81x 2 + 28 16 2 2 7 9 28 4 4 x x ữ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 9 4 Đặt 2x = t 0 =>x = t 2 + 2 ta có VP = 16(t 2 t + 2) Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 10 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị = 16 2 1 7 28 2 4 t + ữ Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = 1 1 9 2 2 4 4 x x = + = Vậy phơng trình (3) 28 9 28 4 VT x VP = = = Kết luận nghiệm của phơng trình là 9 4 x = 4/ Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x 2 3x + 1 trên đoạn: a. [ ] 3;1 b. [ ] 0;2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2 3 8 a b a b b a b a + + ữ ữ Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phơng trình 2 2 2 1 2 1 x y a x y a + = + + = + Tìm a để xy có gia trị lớn nhất. Bài 4: Giải phơng trình a. 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = b. 2 2 4 6 11x x x x + = + Dạng III: Xác định công thức hàm số 1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng. a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d có tính chất: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 11 [...]... 1 + y 2 = 1 Dạng V: Vị trí t ơng đối giữa các đồ thị Cơ sở lý thuyết: + Điểm M(xM; yM) đồ thị hàm số y = f(x) yM = f(xM) + Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung của hai đồ thị Giả sử M(xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x) M đồ thị hàm số y = f(x) và M đồ thị hàm số y = g(x) yM = f(xM) và yM = g(xM) y = f ( x)... + 3) = 2 x + x Dạng IV: Đồ Thị Hàm số 1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số: a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x TXĐ b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng Cách vẽ: - Lấy 2 điểm có toạ độ thoả mãn công thức hàm số b a Chẳng hạn A(0, b) và B(- ; 0) - Vẽ đờng thẳng đi qua A và B c/ Đồ thị hàm số bậc hai: y = ax2 + bx... Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0; y0) Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (1) Cách giải bài toán: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 25 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị - Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) (1) bằng phơng pháp đồ thị - Vẽ đồ thị. .. hiện: Vũ Văn Thế 18 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị d/ Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối: y x với x 0 Chẳng hạn: y = x = -x với x 0 Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác của các góc vuông I và II (hình 1d) 0 x hình 1d e/ Đồ thị hàm phần nguyên: y = [ x ] trong đó [ x ] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá x + Đồ thị hàm số y = [ x ] với 1 x < 3 có dạng bậc thang... đối giữa đppf thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình y = f ( x) y = g ( x) 1/ Cách giải : a bài toán xácc định vị trí tơng đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2) + Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị các hàm số là nghiệm của hệ: Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 22 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị (1) (2) y... tập về hàm số và đồ thị Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 0 khi x= 1 4/ Bài tập Bài 1: Cho hàm số y = x 2 4 x + 4 + 4 x 2 + 4 x + 1 + ax a.Xác định a để hàm số luôn đồng biến b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm đợc Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 3 x 2 + 2 x + 1 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ xOy vẽ tập hợp các điểm... thị hàm số y = f(x) + Hàm số và đồ thị của nó tơng ứng là 1-1 1/ Cách giải bài toán: Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m Giải + Biểu diễn tạo độ của M theo tham số Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế 31 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM) + Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y =... x 0 1 -1 y 3 1 -3 Đồ thị: y 3 2 1 -3 -2 -1 1 Vũ Văn Thế 3 0 -1 Ngời thực hiện: 2 x 20 Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị Nhận xét : đồ thị hàm số y = -x 2 + 2 x + 2 nhận trục tung làm trục đối xứng 3/ ứng dụng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Nhận xét: điểm thấp nhất( cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ... xét: + Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung + Hàm số y = f( x ) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận truc tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần: Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0 Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung + y = x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ vẽ đờng biểu diễn mối quan hệ 2/ Ví dụ: Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số. .. của hàm số ta có thể vẽ đồ thị của hàm số rôi tìm điểm cao nhất( thấp nhất của đồ thị Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất cua hàm số y = x 1 + x 2 Giải 2x 3 (x>2) Ta có y = 1 (1 x 2) -2x + 3 (x2); y = 2x + 3 (x . phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị + Mỗi hàm số có một đồ thị xác định duy nhất và ngợc lại + Điểm M(x M ;y M ) đồ thị hàm số y = f(x) y M = f(x M ) c. Cách cách cho một hàm số: Với. phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị 2/ Hàm số: a.Theo quan điểm hiện đại, đinh nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số. + Dạng IV: Đồ Thị Hàm số 1/ Nhắc lại về đồ thị hàm số: a/ Định nghĩa: Đồ thị Hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x; f(x)) với x TXĐ b/ Đồ Thị Hàm số bậc nhất