HSG TP Đà Lạt 13-14

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT NĂM HỌC 2013-2014 Ngày thi: 05/12/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN LỚP 9 (Đề thi gồm có 1 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (1,5 điểm) Chứng minh: 1 √ 3 + 1 3 √ 2 + 1 √ 3  5 12 − 1 √ 6 = √ 3 2 Câu 2: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 − x 2 − 4 Câu 3: (1,5 điểm) Chứng minh: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm một đơn vị là số chính phương. Câu 4: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại M, sao cho M là trung điểm của BD. Chứng minh: S ABC = S ADC Câu 5: (1,5 điểm) Giải phương trình: √ 2x + 1 + √ x − 3 = 4 Câu 6: (1,5 điểm) Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: x 2 − 59 x + 8 Câu 7: (2 điểm) Cho ABC có  A = 60 ◦ . Chứng minh: BC 2 = AB 2 + AC 2 − AB ·AC Câu 8: (1,5 điểm) Chứng minh: Với mọi số n nguyên dương thì: A = 5 n (5 n + 1) − 6 n (3 n + 2 n ) chia hết cho 91. Câu 9: (2 điểm) Cho: 1 a + 1 b + 1 c = 2 và a + b + c = abc. Chứng minh: 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 2 Câu 10: (1,5 điểm) Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ a(b + c) Câu 11: (1,5 điểm) Tìm x, y biết: (x + y) 2 = (x + 1)(y −1) Câu 12: (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu ABC có  C = 2  A và AC=2BC thì ABC là tam giác vuông. 1 . PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT NĂM HỌC 2013-2014 Ngày thi: 05/12/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN