Đề thi HSG Toán 9 Huyện Kim Thành

Phòng giáo dục và đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2013 2014 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức A = 3 2 2 : 1 2 3 5 6 1 x x x x x x x x x + + + + + ữ ữ ữ ữ + + với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của A khi x = 6 2 5 c) Với giá trị nào của x thì 1 A đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 2: (4,0 điểm) Giải các phơng trình sau: a) 4 1 1 2x x x+ = b) 2 2 3 2 1 6 3 1 2 2 2 1x x x x x x+ + + + = + + + + Bài 3: (2,0 điểm) Cho các số dơng a; b; c thoả mãn: ab + bc + ac = 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 9 4 1 1 1 a b c P a b c = + + + + + Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đờng thẳng qua M vuông góc với HC và đờng thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC từ đó suy ra: 2 . AEE ABC S S cos BAC= b) BH.KM = BA.KN c) 5 5 5 5 5 5 4 2 GA GB GH GM GK GN + + = + + Bài 5: (2,0 điểm) Xét 20 số nguyên dơng đầu tiên: 1; 2; 3; 4 20. Hãy tìm số nguyên d ơng k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy đợc hai số phân biệt a và b sao cho a + b là số nguyên tố? Hớng dẫn bài 3: Ta cã: 1 + a 2 = (a + b)(a + c); 1 + b 2 = (b + c)(b + a); 1 + c 2 = (c + b)(c + a) VËy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 1 a b c a b c P a b a c b a b c c a c b a b c = + + = + + + + + + + + + + + ¸p dông B§T cosi ta cã: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 9 4 4 4 P a b c a b a c b c b a c a c b       ≤ + + + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + + + + + +       DÊu = x¶y ra khi: 1 15 7 7 15 b c a b  = =     = =   . Phòng giáo dục và đào tạo huyện Kim Thành Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2013 2014 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu. 2 : 1 2 3 5 6 1 x x x x x x x x x + + + + + ữ ữ ữ ữ + + với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của A khi x = 6 2 5 c) Với giá trị nào của x thì 1 A . Bài 3: (2,0 điểm) Cho các số dơng a; b; c thoả mãn: ab + bc + ac = 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 9 4 1 1 1 a b c P a b c = + + + + + Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng