phương pháp phần tử hữu hạn

BÀI GIẢNG Phương pháp phần tử hữu hạn TS. Quách Hoài Nam Bộ môn Cơ học – Vật liệu Trường Đại học Nha Trang    02/2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG _____________________________________________________ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc __________________________________________ ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN 1. Thông tin về học phần Tên học phần: Phương pháp phần tử hữu hạn Mã số: 75504 Số tín chỉ: 2 Học phần tiên quyết: Sức bền vật liệu Bộ môn quản lý: Cơ học – Vật liệu 2. Thông tin về giảng viên TT Giảng viên Bộ môn Điện thoại Email 1 TS. Quách Hoài Nam Cơ học – Vật liệu 2220747 namqh@ntu.edu.vn 3. Thông tin về lớp học Tên lớp: 52XD1 Thuộc chuyên ngành: CN Kỹ thuật xây dựng Sĩ số: Học kỳ: II, 2011- 2012 4. Địa điểm và thời gian dạy – học Thời gian Địa điểm T2 T3 T4 T5 T6 T7 CN Lên lớp G5.103, Trung tâm Máy tính - 15g30’- 17g10’ - 15g30’- 17g10’ - - - Hướng dẫn VP khoa Sau Đại học 9g- 10g 9g- 10g 5. Mục tiêu Sau khi học xong học phần, sinh viên có thể: - Nắm được ý tưởng, các khái niệm cơ bản, trình tự tính toán của PPPTHH; - Áp dụng PPPTHH để tính kết cấu (xác định chuyển vị, nội lực và ứng suất trong kết cấu có dạng thanh); - Sử dụng được một trong số phần mềm thông dụng để tính kết cấu. 6. Mô tả Học phần cung cấp kiến thức cơ bản cho sinh viên về phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng phương pháp này trong tính toán kết cấu có dạng thanh. Trong khuôn khổ học phần, sinh viên được sử dụng phần mềm phần tử hữu hạn để tính kết cấu. Học phần được học sau học phần Sức bền vật liệu và là cơ sở để sinh viên nghiên cứu các học phần chuyên ngành có đề cập 2 đến tính toán, thiết kế kết cấu theo độ bền cũng như hỗ trợ tốt cho sinh viên trong quá trình thực hiện đồ án tốt nghiệp. 7. Nội dung Số tiết TT Chủ đề Lý thuyết Thực hành Tự NC 1. Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn 5 0 10 2. Trình tự tính toán kết cấu theo phương pháp PTHH 5 0 10 3. Tính kết cấu dầm 4 2 10 4. Tính kết cấu dàn phẳng 4 2 10 5. Tính kết cấu dàn không gian 2 1 5 6. Tính kết cấu khung phẳng 2 1 5 7. Tính kết cấu khung dàn 2 1 5 8. Tính kết cấu khung không gian 2 1 5 Tổng 26 8 60 8. Tài liệu Mục đích sử dụng TT Tên tác giả Tên tài liệu Năm xuất bản Nhà xuất bản Địa chỉ khai thác tài liệu Học Tham khảo 1 Quách Hoài Nam Tập bài giảng 2012 Nội bộ × 2 Quách Hoài Nam Thực hành phương pháp phần tử hữu hạn với chương trình RDM 2012 Nội bộ × 3 Nguyễn Xuân Lựu Phương pháp phần tử hữu hạn 2007 Giao thông - Vận tải Thư viện × 4 Chu Quốc Thắng Phương pháp phần tử hữu hạn 1997 Khoa học & Kỹ thuật Thư viện × 5 Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa Phương pháp phần tử hữu hạn 2007 Khoa học & Kỹ thuật × 9. Kiểm tra - Đánh giá 9.1.Thang điểm: - Điểm đánh giá bộ phận được chấm theo thang điểm 10 (từ 0 đến 10), làm tròn đến một chữ số thập phân. - Điểm học phần là tổng điểm của tất cả các điểm đánh giá bộ phận của học phần 3 nhân với trọng số tương ứng. Điểm học phần làm tròn đến một chữ số thập phân, sau đó được chuyển thành điểm chữ như sau: Loại Thang điểm số Thang điểm chữ Đạt 9 – 10 A Giỏi 8,5 – 8,9 A - 8,0 – 8,4 B + Khá 7,0 – 7,9 B 6,5 – 6,9 B - 6,0 – 6,4 C + Trung bình 5,5 – 5,9 C 5,0 – 5,4 C - 4,5 – 4,9 D + Trung bình yếu 4,0 – 4,4 D Không đạt 3,0 – 3,9 D - Kém 0 - 2,9 F 9.2.Các hoạt động kiểm tra - đánh giá TT Hoạt động kiểm tra - đánh giá Hình thức đánh giá Trọng số (%) 1 Tham gia học trên lớp Quan sát, điểm danh 10 2 Tự nghiên cứu Chấm bài tập 10 3 Kiểm tra giữa kỳ Viết (tự luận) 15 4 Báo cáo thực hành Chấm báo cáo 15 5 Thi kết thúc học phần Viết 50 10. Kế hoạch dạy - học Buổi Nội dung Tài liệu Bài tập Phần I: Lý thuyết 14/2 - Giới thiệu về học phần - Giới thiệu PPPTHH - Bài toán phân tích tĩnh kết cấu [1], [3] 1.1, 1.2 và 1.3 16/2 - Cơ sở của PPPTHH + Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu + Phương pháp Rayleigh – Ritz [1], [3] 1.4 và 1.5 1.6 21/2 - Phương pháp PTHH dựa trên chuyển vị [1], [3] 23/2 - Thực hành tính kết cấu theo PPPTHH [1] 1.8, 1.9 và 1.10 - Một số trường hợp đặc biệt: + phần tử chịu lực phân bố + biến thiên nhiệt (tải nhiệt) + chuyển vị cưỡng bức/ áp đặt [1] 1.11 và 1.12 1.13 1.14 28/2 - Giải bài tập - Tính kết cấu dầm: + Lý thuyết dầm chịu uốn + Phần tử dầm phẳng + Phần tử chịu lực phân bố đều [1], [3] 2.4 2.6, 2.7 và 2.8 2.9, 2.10 và 2.11 01/3 - Tính kết cấu dầm (tt): + Phần tử chịu lực khác + Chuyển vị cưỡng bức [1], [3] 2.12, 2.13, 2.14 và 2.15 2.16 06/3 - Tính kết cấu dầm (tt): [1], [3] 4 + Gối đàn hồi + Khớp xoay 2.17, 2.18 và 2.19 2.20 và 2.21 08/3 - Kiểm tra giữa kỳ (được sử dụng tài liệu) 13/3 - Tính kết cấu dàn phẳng: + Phần tử dàn phẳng [1] 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 và 3.5 15/3 - Tính kết cấu dàn phẳng: + Bài toán đối xứng + Gối xiên [1], [3] 3.6, 3.7 và 3.8 3.9 20/3 - Phần tử dàn không gian - Tính khung phẳng + Phần tử khung phẳng [1] 3.12, 3.13 4.1, 4.2, 4.3 và 4.4 22/3 - Tính kết cấu khung dàn + Phần tử thanh chịu xoắn + Phần tử khung dàn [1] 4.5, 4.6 4.7 27/3 - Tính kết cấu khung không gian + Phần tử khung không gian [1] Phần II: Thực hành trên máy tính (phần mềm RDM) 29/3 - Bài 1: Tính dầm phẳng - Bài 2: Tính dàn phẳng [2] 03/4 - Bài 3: Tính khung phẳng - Kiểm tra thực hành [2] 05/4 - Giải bài tập - Ôn tập [1] 11. Lịch kiểm tra – đánh giá TT Hoạt động kiểm tra – đánh giá Ngày giao Hạn nộp 1 Tham gia học tập trên lớp - - 2 Tự nghiên cứu (bài tập) Mỗi tuần Tuần kế tiếp 3 Kiểm tra giữa kỳ 08/3 08/3 4 Báo cáo thực hành 29/3 03/4 5 Thi kết thúc học phần 4/2012 4/2012 12. Yêu cầu đối với sinh viên Trong quá trình học, sinh viên phải: - Tham dự đầy đủ các buổi lý thuyết và thực hành. - Làm đầy đủ và nộp đúng hạn các bài tập mà giảng viên giao. Sinh viên không nộp bài tập đúng hạn hoặc chép của người khác sẽ bị điểm 0 ở bài tập đó. - Tham dự kiểm tra giữa và cuối kỳ cũng như thi kết thúc học phần. 5 Chương 1: Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 1.1. Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)  Là phương pháp số vạn năng và hiệu quả trong giải quyết các bài toán kỹ thuật.  Cho phép tìm dạng gần đúng của hàm biểu diễn đại lượng cần tìm trong miền xác định V trên cơ sở xác định trong các miền con V e (phần tử)  PPPTHH cho phép giải quyết các bài toán: o Phân tích kết cấu (tĩnh và động, tuyến tính và phi tuyến) (ứng dụng đầu tiên). o Cơ học chất lỏng o Truyền nhiệt (heat transfer) o Cơ học đất (geomechanics) o Cơ sinh học (biomechanics) o Trường điện từ  PPPTHH được ứng dụng trong các lĩnh vực: o Cơ khí, o Xây dựng, o Hàng không, tàu thủy, ô tô a) Tính đâm va của ô tô b) Tính bền kết cấu tàu c) Tính dòng chảy trong ống Hình 1.1. Một số ứng dụng của PPPTHH 6 1.2. Sơ lược về sự ra đời của PPPTHH  Năm 1943, nhà toán học Courant sử dụng lời giải dạng liên tục trên từng đoạn cho bài toán xoắn thanh mà về sau được thừa nhận là đã đưa ra những ý tưởng cơ bản của PPPTHH.  Năm 1956, Turner và ctv sử dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử dụng các phần tử tam giác ba nút.  Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn đã được thừa nhận về mặt toán học và được áp dụng rộng rãi cho các bài toán trường như truyền nhiệt, nước ngầm, trường điện từ và các lĩnh vực khác.  Các phần mềm PPPTHH cỡ lớn đã xuất hiện trong những năm 1970.  Vào cuối những năm 1980, đã có những chương trình cho máy tính cá nhân.  Cho đến giữa những năm 1990, trên toàn thế giới có khoảng 40.000 bài báo và đầu sách về PPPTHH và các ứng dụng của nó. 1.3. Các chương trình tính kết cấu theo PPPTHH  Cho nghiên cứu và giáo dục: trong các trường đại học để nghiên cứu và học tập: + RDM – Viện Đại học Công nghệ Le Mans, Pháp. + CALFEM – Viện Đại học Lund, Thụy Điển. + FEAPpv – Viện Đại học California, Mỹ.  Cho thương mại: tại các công ty, xí nghiệp: + SAP + STAAD + ANSYS + ABAQUS + ALGOR + NASTRAN + SAMCEF + COMSOL + STRAND7  Để biết thêm về các phần mềm PTHH, tham khảo trên Wikipedia tại địa chỉ: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages 2. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU 2.1. Khái niệm về bài toán phân tích tĩnh kết cấu  Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị của kết cấu dưới tác dụng của tải tĩnh. 7  Các giả thiết nghiên cứu tương tự như Sức bền vật liệu: vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính; biến dạng và chuyển vị của kết cấu đủ nhỏ. 2.2. Các phương pháp cơ bản trong phân tích tĩnh kết cấu 2.2.1. Theo kết quả nhận được  Phương pháp giải tích: lời giải là một hàm phụ thuộc vào các tọa độ không gian. • Phương pháp trực tiếp (còn gọi là phương pháp véctơ): giải trực tiếp phương trình vi phân chủ đạo của bài toán. • Phương pháp năng lượng: dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó như nguyên lý bảo toàn cơ năng, nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu….  Phương pháp số: lời giải là một tập hợp giá trị số của đại lượng cần tính tại một số hữu hạn điểm trên miền tính. Cụ thể, có các phương pháp sau: • Phương pháp sai phân hữu hạn. • Phương pháp phần tử hữu hạn. • Phương pháp phần tử biên…. 2.2.2. Theo ẩn số chính  Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử dụng phổ biến trong Sức bền vật liệu  Phương pháp chuyển vị: lấy chuyển vị làm ẩn số chính, là khởi nguồn của phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.  Phương pháp hỗn hợp: coi lực và chuyển vị là độc lập nhau và tìm đồng thời. 2.3. Ví dụ về thanh chịu lực dọc trục (kéo /nén đúng tâm)  Xét 1 thanh thẳng có tiết diện không đổi chịu lực dọc trục như trên hình 1.2. Hình 1.2. Thanh chịu lực dọc trục  Phương trình tương thích: quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị: dx du x = ε (1.1) u = chuyển vị dọc trục của mặt cắt ngang có tọa độ x, ε x = biến dạng dài tỉ đối tại đó. 8 Hình 1.3. Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng  Phương trình vật liệu: nếu vật liệu làm việc trong miền đàn hồi ta có định luật Hooke: xx E εσ = (1.2) E = mô-đun đàn hồi của vật liệu, σ x = ứng suất pháp trên mặt cắt ngang, ε x = biến dạng dài tỉ đối. Hình 1.4. Biểu đồ kéo vật liệu dẻo  Phương trình cân bằng: được thiết lập khi xét cân bằng của phân tố trên hình 1.5b. ( ) 0=+ xq dx dN (1.3) Hình 1.5. Cân bằng của phân tố thanh chịu lực dọc trục  Thay (1.1) vào (1.2) → mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị: 9 dx du E x = σ (1.4)  Nếu σ x = const trên mặt cắt ngang → quan hệ giữa lực dọc và chuyển vị: dx du EAAN x == σ (1.5)  Thay (1.5) vào (1.3) → phương trình vi phân chủ đạo của bài toán: ( ) 0 2 2 =+ xq dx ud EA (EA = const) (1.6) A = diện tích tiết diện, q(x) = cường độ của lực phân bố (hình 1.2)  Năng lượng biến dạng (còn gọi là thế năng biến dạng đàn hồi) tích lũy trong thanh có chiều dài L: ∫       = L dx dx du EAU 0 2 2 1 (1.7) Ví dụ 1.1. Biết L, A và E. Xác định u và N theo phương pháp trực tiếp. Hình 1.6. Lời giải  Phương trình vi phân chủ đạo: 0 2 2 =+ p dx ud EA (1)  Và các điều kiện biên: 0)0( = = xu (2) 0)( === =Lx dx du EALxN (3)  Tích phân 2 vế của phương trình (1) 2 lần: Cpx dx du EA =+ (4) DCx px EAu +=+ 2 2 (5)  Từ các ĐKB (2), (3) và các phương trình (4), (5), tìm được các hằng số tích phân: pLC = (6) [...]... của phần tử Bước 3 Thiết lập phương trình phần tử: Phương trình phần tử biểu diễn mối quan hệ giữa lực đặt tại các nút của phần tử với chuyển vị tại các nút tức bậc tự do của phần tử Để thiết lập phương trình phần tử ta có thể dùng một số cách như phương pháp chính tắc (sử dụng nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu), hay phương pháp trực tiếp Cần lưu ý, mặc dù phương pháp trực tiếp đơn giản và dễ... cách thành lập phương trình phần tử theo phương pháp chính tắc như trên, chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp Mặc dù phương pháp này đơn giản và 18 dễ hiểu hơn nhưng chỉ áp dụng được cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò xo hay thanh chịu lực dọc trục Bước 4 Thiết lập phương trình kết cấu Sau đây, ta tìm hiểu cách thành lập phương trình kết cấu từ các phương trình phần tử cũng như việc... gọi là phần tử Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử gọi là điểm nút hay nút Bước 2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử: Vì chưa biết trường chuyển vị thực bên trong kết cấu, ta giả thiết nó được xấp xỉ bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần tử - gọi là bậc tự do của phần tử ... Trong hệ tọa độ địa phương xy gắn liền với phần tử, phần tử chỉ có 2 bậc tự do là chuyển vị dọc trục của 2 đầu phần tử: ui, uj Tương ứng với 2 chuyển vị này là 2 lực fi và fj Ee, Ae Le Hình 1.12 Nếu phần tử không chịu lực phân bố thì chuyển vị trong phần tử có dạng tuyến tính: u ( x) = α 1 + α 2 x (1.14) α1, α2 = các hệ số chưa biết Thực hiện đồng nhất chuyển vị tại 2 nút của phần tử: u i = u (0 ) =... đoạn hay 2 phần tử tương ứng với 3 điểm nút hay 3 nút như trên hình 1.11b Do thanh chịu lực dọc trục, tại mọi điểm trong phần tử chỉ có chuyển vị dọc trục và tại 3 nút, có các chuyển vị là u1, u2 và u3, là các ẩn số chính của bài toán 2A A P x L L a) u1 1 (1) u2 (2) 2 u3 x (3) b) R1 0 P c) Hình 1.11 16 x Bước 2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử Xét phần tử thứ e bất kỳ trong 2 phần tử trên Phần tử có chiều... các số hạng vô hướng và thực hiện nhân các ma trận: Ue = [ ] E A 1 ui u j e e 2 Le  1 − 1  u i  − 1 1  u    j  (1.21) Dạng tổng quát của NLBD trong phần tử: Ue = 1 {d e }T [k e ]{d e } 2 (1.22) {de} = véc-tơ chuyển vị nút của phần tử, [ke] = ma trận độ cứng của phần tử So sánh (1.21) và (1.22), ma trận độ cứng của phần tử: − 1  − 1 1  [k e ] = Ee Ae   Le 1 (1.23) Với phần tử đang... trong kết cấu Trong bài toán tĩnh, hệ phương trình kết cấu là hệ phương trình đại số tuyến tính nên ta có thể sử dụng các phương pháp đã biết để giải như: phương pháp thế, phương pháp Gramer hay phương pháp tổng quát hơn là phương pháp khử Gauss Cần chú ý, để có thể giải được hệ phương trình trên, trước tiên ta cần áp đặt các điều kiện biên động học của bài toán 4.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1.6 Bước 1 Rời... phần tử Áp dụng nguyên tắc này, chuyển vị trong phần tử sẽ gồm hai thành phần là chuyển vị gây ra do hai đầu phần tử có chuyển vị (chuyển vị nút) và chuyển vị gây ra do lực phân bố đều trong phần tử Cần lưu ý rằng khi xét ảnh hưởng của yếu tố này ta phải bỏ qua ảnh hưởng của các yếu tố còn lại (bằng không) u ( x ) = N i ( x )ui + N j ( x )u j + qx(Le − x ) 2 Ee Ae (1.35) Do đó, lực dọc trong phần tử: ... cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò xo hay thanh chịu lực dọc trục Kết quả ta nhận được phương trình có dạng: [ke ]{d e } = { f e } (1.12) Bước 4 Thiết lập phương trình kết cấu: 15 Phương trình kết cấu biểu diễn mối quan hệ giữa lực đặt tại các nút của kết cấu với chuyển vị tại các nút tức bậc tự do của kết cấu Để thiết lập phương trình kết cấu ta có thể dùng một số cách như phương pháp chính... Hình 1.18a Lời giải Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Sơ đồ rời rạc và các chuyển vị nút (3 phần tử và 4 nút) 1 3 2 u1 4 u2 2 1 u3 3 u4 Hình 1.18b Bước 2: Tính ma trận độ cứng kết cấu Các ma trận độ cứng phần tử: + Phần tử 1: − 1 2 L − 1 1   [k1 ] = EA   1 + Phần tử 2: − 1 L − 1 1   [k 2 ] = 2 EA   1 + Phần tử 3: − 1 L − 1 1   [k 3 ] = 3EA   1 Ma trận độ cứng kết cấu:  1  2 EA  1 [K . hành phương pháp phần tử hữu hạn với chương trình RDM 2012 Nội bộ × 3 Nguyễn Xuân Lựu Phương pháp phần tử hữu hạn 2007 Giao thông - Vận tải Thư viện × 4 Chu Quốc Thắng Phương pháp phần. sai phân hữu hạn. • Phương pháp phần tử hữu hạn. • Phương pháp phần tử biên…. 2.2.2. Theo ẩn số chính  Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử. dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử dụng các phần tử tam giác ba nút.  Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn